2021-2022学年度强化训练北师大版九年级数学下册第三章 圆难点解析练习题

北师大版九年级数学下册第三章圆难点解析

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，劭是。。的切线，NBCE=30°,则N，=（）

A.40°B.50°C.60°D.30°

2、如图，色△/式1中，N4=90°,N8=30°,AC=1,将放△46C延直线/由图1的位置按顺时针

方向向右作无滑动滚动，当/第一次滚动到图2位置时,顶点1所经过的路径的长为（）

Si图2

A(4+6)3R(8+4百加r(4+5拘万

D.--------------L•----------------------D.(2+6)〃

636

3、如图，点/、B、C在。。上，/物456°,则N8%的度数为（)

A.28°B.102°C.112°D.128°

4、如图，点A,B,C在。。上,△045是等边三角形，则4cB的大小为（

A.60°B.40°C.30°D.20°

5、如图，18是。。的直径，弦COLAS,ZCDB=30°,CD=2^则阴影部分图形的面积为

()

2%

A.4万B.24C.兀D.

T

6、如图，已知。。中，4403=5()。，则圆周角N4CB的度数是()

C.100°D.30°

7、已知。。的半径等于5,圆心0到直线，的距离为6,那么直线/与。。的公共点的个数是

()

A.0B.1C.2D.无法确定

8、如图，点4B,。在。。上，AACB=3V,则N4%的度数是()

A.73°B.74°C.64°D.37°

9、如图，AB是。。的直径，C、。是。。上的两点，若N8OC=13/，则NA0C=()

C.25°D.30°

10、如图，为是。O的切线，切点为4尸0的延长线交。。于点6,若/尸=40。，则D8的度数为

().

B

A.20°B.25°C.30°D.40°

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在中，BC=4,以点A为圆心，2为半径的。A与BC相切于点3,交AB于点E,交

AC于点F,点尸是0A上一点，且/£7平'=40。，则图中阴影部分的面积是.

2、如图，力6是半圆。的直径，46=4,点G〃在半圆上，OCLAB,8。=2co，点2是利上的一个

动点，则出斗〃p的最小值为.

3、如图，正六边形/比颂内接于。0,若。。的周长为8万,则正六边形的边长为

4、用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为.

5、已知正六边形的周长是24,则这个正六边形的半径为.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在平面直角坐标系xOv中，点M在x轴上，以点〃为圆心的圆与x轴交于火1,0）,8（4,0）两点，

对于点？和。"，给出如下定义：若抛物线尸加+加+。何#0）经过48两点且顶点为R则称点P

为。M的“图象关联点”.

（1）已知以5,2）,F（|,-4）,G（3,l）,呜，3）,在点后F,G,〃中，0M的"图象关联点”是

_____»

（2）已知。M的”图象关联点”夕在第一象限，若。尸=判断。。与。仞的位置关系，并证

明；

（3）已知C（4,2）,0（1,2）,当0M的“图象关联点”产在0M外且在四边形力吸内时，直接写出

抛物线y=+c中d的取值范围.

2、如图，AC是。。的直径，PA、阳是。。的切线，切点分别是点4、B.

(1)如图1,若/的C=25°,求/尸的度数.

(2)如图2,若必是劣弧上一点，NAMB=NAOB,BC=2,求心的长.

3、如图，在R/AABC中，ZACB=90°,Q?平分ZACB.。为边■上一动点，将△。尸8沿着直线加翻

折到QPE，点£恰好落在J2DP的外接圆。。上.

(1)求证：〃是48的中点.

(2)当NBDE=60。，8尸=近时，求〃C的长.

(3)设线段如与O。交于点0,连结QC,当勿垂直于的一边时，求满足条件的所有NQCB的

度数.

备用图

4、如图，点C是以月6为直径的半圆。上一点，且AB=2,4)平分NBAC交8c于点0,0平分

NBCA交AD于点、P,PF±AC,PELBC.

P

A

OB

(1)求证：四边形CW为正方形;

(2)求ACBC的最大值；

(3)求的最小值.

AC

5、如图，在△力比'中，以46为直径的。。交6C于点〃，与。的延长线交于点发。。的切线所与

4c垂直，垂足为我.

(1)求证：AB=AC.

(2)若CF=2AF,AE=\,求。。的半径.

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

连接08,根据同弧所对的圆周角相等，等角对等边，三角形的外角性质可得4如=60。，根据切线

的性质可得/08。=90。，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得/D.

【详解】

解：连接。8

B

BE=BE

:.NBAE=NBCE=30。

■：OB=OA

ZOfiA=ZOAB=30°

NBOD=NOBA+ZOAB=60°

・••劭是00的切线

:.ZOBD=90°

/.ZD=30°

故选D

【点睛】

本题考查了切线的性质，等弧所对的圆周角相等，直角三角形的两锐角互余，掌握切线的性质是解题

的关键.

2、C

【分析】

根据题意，画出示意图，确定出点A的运动路径，再根据弧长公式即可求解.

【详解】

解：根据题意可得，般的运动示意图，如下:

股中，ZJ=90°,N6=30°,AC=1,

.•.ZAC8=60。，BC=2,AB^BC—C?=5

由图形可得，点A的运动路线为，先以C为中心，顺时针旋转120。，到达点A，经过的路径长为

塔二="，再以4为中心，顺时针旋转150。，到达点七,经过的路径长为空£01=也，

18031806

顶点1所经过的路径的长为=空+也=9®,

366

故选：C

【点睛】

此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点A的运动路线.

3、C

【分析】

直接由圆周角定理求解即可.

【详解】

解：•.•/力=56°,与/60C所对的弧相同，

：.ZBOC=2ZA=112Q,

故选：C.

【点睛】

此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的

圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.

4、C

【分析】

由△OAB为等边三角形，得：N4除60°,再根据圆周角定理，即可求解.

【详解】

解：•••△。钻为等边三角形，

.,./加庐60°,

ZACB=-AA0B=-X60°=30°.

22

故选C.

【点睛】

本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键.

5、D

【分析】

根据垂径定理求得诲小道；然后由圆周角定理知后60°.然后通过解直角三角形求得线段

0C,然后证明△况&△皿取得到S△谢=%的求出扇形面积，即可得出答案.

【详解】

解:设四与必交于点后

♦.38是。0的直径，弦,CDLAB,0)=20如图，

:・c吟CD-6ZCEO=ZDEB=90°,

•:NCDB=30°,

：.ZCOB=2ZCDB=&0°,

：.ZOCE=30°,

：.OE=-OC,

2

・・.BE=OE=-OB=-OC

22f

XVOC2=CE2+OE\即。。2=!。。2+3

4

・・・OC=2,

在△。丝和△皮液中，

/OCE=NBDE

<Z.CEO=ZDEB,

OE=BE

：./\OCE^/\BDE(/MS),

•・S&DEB-SMEO

...阴影部分的面积9ssi形蹲*Z=

3603

故选D.

【点睛】

本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇

形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形。仍的面积是解此题的关键.

6、B

【分析】

根据圆周角定理，即可求解.

【详解】

解：*/ZACB=-ZAOB,ZAOB-50°,

ZACB=25°.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角

的一半是解题的关键.

7、A

【分析】

圆的半径为八圆心到直线的距离为4当4r时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当"=r时，

圆与直线相切，直线与圆有一个交点，时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可

得答案.

【详解】

解：：。。的半径等于r为8,圆心0到直线，的距离为“为6,

/.d>r,

・・・直线，与。。相离，

...直线/与。。的公共点的个数为0,

故选A.

【点睛】

本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对

应的公共点的个数是解本题的关键.

8、B

【分析】

根据圆中同弧或等弧多对应的圆周角是圆心角的一半，可知娇2/4应=74°,即可得出答案.

【详解】

解：由图可知，

N/I仍在。。中为AB对应的圆周角，N4/在。。中为AB对应的圆心角，

故：ZAOB=2ZACB=74°.

故答案为：B.

【点睛】

本题主要考查的是圆中的基本性质，同弧对应的圆周角与圆心角度数的关系，熟练掌握圆中的基本概

念是解本题的关键.

9、C

【分析】

根据圆周角定理得到N8%的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论.

【详解】

解：〈NB0C=13Q°,

：.ZBD(=-Z800=65°，

2

•.38是。。的直径，

：.ZADB=^O°,

：.ZAD(=90Q-65°=25°,

故选：C.

【点睛】

本题考查「圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

10、B

【分析】

连接勿，如图，根据切线的性质得N为390°,再利用互余计算出N40斤50°,然后根据等腰三角

形的性质和三角形外角性质计算/6的度数.

【详解】

解：连接。4如图，

•.•必是。。的切线，

：.OAVAP,

二/必/90°,

：.ZAOP=50°,

*：OA=OB,

：.ZB=AOAB,

YNAO六/m/OAB,

.\Zi?=yZA0P=1X50°=25°.

故选：B.

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构

造定理图，得出垂直关系.

二、填空题

【分析】

连接4。，由圆周角定理可求出ZE4F=8()。，即可利用扇形面积公式求出书形次.由切线的性质可知

AD1.BC,即可利用三角形面积公式求出S“.8c.最后根据%=S&ABC-$扇形而尸,即可求出结果.

【详解】

如图，连接

,/ZEPF=40°,

ZE4F=2ZEPF=80°,

._804xAE2_80/x2?_84

・・扇形以尸―一丽—360~~9

・・•/%是。。切线，且切点为〃，

AADLBC,AD=2,

・・SMBC~~,BC=-x2x4=4.

22

S明=s^ABC-s扇形以〃,

q4防

S阴=4一至

故答案为：4-萼.

9

【点睛】

本题考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式.连接常用的辅助线是解答本题的关键.

2、2石

【分析】

如图，连接被PA,PD,如.首先证明为=加，再根据厩阳=9必。力〃求出加即可解决问题.

【详解】

解：如图，连接4〃，PA,PD,0D.

,：OCVAB,OA=OB,

：.PA=PB,4C0B=9Q°,

,•*BD=2CD，

：.ZDOB=-X90°=60°,

3

•：OD=OB,

△物是等边三角形，

，/4®=60°

♦.36是直径，

:.NAD8=90°,

AD-AB'sinZABD-2^3,

PB^PgPA+PDNAD,

:.PDyPB，26,

.•.9期的最小值为2石,

故答案为：2后.

【点睛】

本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思

想思考问题.

3、4

【分析】

由周长公式可得半径为4,再由正多边形的中心角公式可得正六边形/比W中心角为60。，即可

知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF边快.

【详解】

的周长为8万

.♦.00半径为4

,/正六边形ABCDEF内接于。。

正六边形ABCDEF中心角为3哼60°-=60°

6

...正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的

正六边形ABCDEF边长为4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了正多边形的中心角公式，正"边形的每个中心角都等于幽，由中心角为60。得出正六边

n

形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键.

4、1

【分析】

先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r,列出

方程求解即可得.

【详解】

解：：半径为2的半圆的弧长为：|x2^x2=2^r,

围成的圆锥的底面圆的周长为2口

设圆锥的底面圆的半径为r,贝U：

2nr-2%,

解得：r=\,

故答案为：1.

【点睛】

题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题

关键.

5、4

【分析】

由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即

可求解.

【详解】

解：•.•正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，

而三角形的边长就是正六边形的半径，

又•••正六边形的周长为24,

...正六边形边长为24+6=4,

正六边形的半径等于4.

故答案为4.

【点睛】

此题主要考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题.

三、解答题

Q2

1、(1)F,H-,(2)相切，见解析；(3)-1<a<-y

【分析】

(1)根据抛物线的对称性求出顶点横坐标，然后判断即可；

(2)连接/¥,过点〃作物于M证明=即可；

(3)求出点P纵坐标为1.5或2时的函数解析式，再判断a的取值范围即可.

【详解】

解：(1)•••抛物线产”+版+{"0)经过A(1,O),3(4,0)两点且顶点为R

则顶点。的横坐标为1+三4=]5,

；在点EF,G,〃中，F(|T，呜，3)横坐标为T，

.•.在点反F,G,〃中，0M的”图象关联点”是凡H；

故答案为：F,H；

(2)8与。必的位置关系是：相切.

为。"的直径,

M为的中点.

,：A(1,0),B(4,0),

AM=-.

2

：.OM=~.

2

连接期

•.•"为。〃的“图象关联点”，

.•.点产为抛物线的顶点.

.•.点P在抛物线的对称轴上.

.•./¥是4?的垂直平分线.

：.PMLAB.

过点必作船归_利于N.

S&OMP=^OMPM=^OPMN.

OP=2PM

3

二。与。"相切

(3)由(1)可知，顶点尸的横坐标为g,由(2)可知。"的半径为1.5,

已知C(4,2),0(1,2),当。"的“图象关联点”尸在外且在四边形业;切内时，

顶点P的纵坐标范围是大于L5且小于2,

当抛物线顶点坐标为(2.5,2)时，设抛物线解析式为y=a(x-2.5y+2,把A(l,0)代入得，

Q

2

0=a(l-2.5)+2,解得，a=--:

当抛物线顶点坐标为(2.5,1.5)时，设抛物线解析式为y=a(x-2.5y+1.5,把A(l,0)代入得,

2

2

0=«(1-2.5)+1.5,解得，a=--;

Q7

'a的取值范围一2<a<—£

93

【点睛】

本题考查了二次函数的综合和切线的证明，解题关键是熟练运用二次函数的性质和切线判定定理进行

求解与证明.

2、(1)50°；(2)2+

【分析】

(1)由题意先根据切线长定理得到为=如，则利用等腰三角形的性质得/必生/尸胡，再根据切线的

性质得4%C=90。，于是利用互余计算出N阳庐65°,然后根据三角形内角和定理计算NP的度数.

(2)根据题意圆的内接四边形的性质得出Z4MB+NC=180。，进而判定△而/?为等边三角形利用其

性质结合勾股定理即可求出/I。的长.

【详解】

解：(1)•处、阳是。。的切线，4c是。。的直径，

:.PA=PB,OA±PA,

:.NPAB=NPBA,ZPAC=90°.

'：ABAC=25°,

ZPAB=APAC-NBAC=90°-25°=65°,

在△PA8中，ZP=1800-ZPAB-NPBA=180°-2ZPAB=180°-2x65°=50°.

(2)•.•四边形〃内接于。O,

?.ZAM6+NC=180°,

XVZAMB=ZAOB,ZAOB=2NC,

，N/U/8+NC=2NC+NC=180°,

ZC=60°,

♦.3C为。。的直径，

ZA5c=90°,ZR4C=30°,

，ZPAB=APAC-ABAC=90°-30°=60°.

又：PA=PB,

：.ZYPAB为等边三角形，

AP=AB,

在RtZ\ABC中，ZABC=90°,ZBAC=30°,BC=2,

：.AC=2BC=4,贝uAB=VAC。-BC?=J42-方=26，

：.AP=AB=2y/3.

【点睛】

本题考查切线长定理和切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或

论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.

3、(1)证明见解析；(2)石+1；(3)当勿垂直于△旌的一边时，ZQCB=15°或22.5°.

【分析】

(1)由翻折的性质可得N作/%?，再由/比杵即可得到/庐CD-BD,再由角平分线

的定义得到/B=NQCB=g/4cB=45。，则N劭R90°,即可利用三线合一定理得到除被即，是

48的中点；

(2)由△勿及是△7方翻折得到，ZBDP=ZEDP=|ZBDE=30°,如图所示，过点。作朋1"

于尸，先利用勾股定理求出3尸=P/=1,得到£>P=2"=2,即可求出DFHDP^-PF。=6则

CD=BD=DF+BF='\；

(3)分当如时，当应工的时，当皿C0时三种情况进行讨论求解即可得到答案.

【详解】

解：(1)•.•△加归是△〃阳翻折得到，

：.乙氏4DEP,

又,：NDC六NDEP,

:.乙件/DCP,

：.CD=BD,

,：ZACB=90°,CD平■分乙ACB,

：.ZB=ZDCB=-ZACB=45°=ZA,

2

:.NBDC=9Q°,CA=CB,

:.B2AD(三线合一定理)，

是〃的中点;

(2)△加发是aiW翻折得到，

/.NBDP=NEDP=-NBDE=30°,

2

如图所示，过点。作加_1_48于E

:./PF//PFF9G°,

:.D42PF,

・・・/庆45°,

:./BP产90°-N庐45°,

：.ZBPF-ZB,

：.BF=PF,

:BF2+PF2=BP2=2^

:.BF=PF=\,

：.DP=2PF=2,

・•・DF7DP?-PF?=6,

:.CD=BD=DF+BF=&\;

B

(3)如图所示，当的，如时，

•：ZCDQ=90°,

.•.%为圆。的直径，

二由垂径定理可知版2=AQ,

/.ZDCQ=ZPCQ=|ZDCB=22.5°,即NQC8=22.5°；

如图所示，当龙D时，设"与&交于点凡连接〃；

•.•△叱是△展翻折得到，

:.NQDP=NEDP,BADE,

又,：BWCD,

：.CD=ED,

，乙DEO乙DCE,

：.4DE(^4DC丹4ECk乙EC打转。,

,.,NQDP=NQCP,ZECP=ZEDP,

：.ZQCP=ZECP,

:./DEONQC抖45°,

又,：CQ1DE,

AZ<7^90°,

：.ZFCE+ZFE(=90a,

.,./0丽45°+NQCKNECP=9Q°,即3NS45°=90°,

：.ZQCP=15°,即NMM5°,

♦.•当必工制时，£点要在切的下方，此时圆。与直线物的交点在物的延长线上,

不存在夕红的这种情况，

二综上所述，当OC垂直于△力火的一边时，4QCF15°或22.5°.

【点睛】

本题主要考查了折叠的性质，圆周角定理，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角

三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相

关知识.

4、(1)见详解；(2)2；(3)y/2+l.

【分析】

(1)由圆周角定理，得到NACB=90。，得到四边形的为矩形，再由角平分线的性质定理，得到

P&PF,即可得到结论成立；

(2)过点C作磔，48,当CG最大时，4c.sc有最大值，利用三角形的面积公式，即可求出答案；

(3)设PE=PF=CE=CF=x,由相似三角形的判定和性质，得到与+上=L则x取最大值时,

ACDCx

」+上有最小值，然后求出x的最大值，即可得到答案.

ACDC

【详解】

解：(1)证明：

♦.38为直径，

ZACB=90°,

VPFVAC,PEA.BC,

：.ZPFC=ZPEC=9Q°,

...四边形CEPF是矩形,

•.・<T平分N8C4,

PF=PE,

...四边形曲'为正方形；

(2)过点。作CGVAB,如图:

GOB

由SMBC=|AB.CG=1ACRC可知，

当CG最大时，AC.3C有最大值,

即CG=gAB=；x2=l；

由三角形的面积公式，则

S^BC=^AB.CG=^AC.BC,

"：AB=