2021-2022学年高一人教A版数学必修1学案：第三章函数的应用

第三章函数的应用

3.1函数与方程

3.1.1方程的根与函数的零点

1.理解零点的概念.函数的零点与方程根的关系（1'［观想象）.

：22.会求函数零点（数学运算）.

；13.掌握函数零点存在的条件.并会判断函数零点的个数（逻辑推理）.

\标

馋基础认知•自主学习④

1.函数的零点是如何定义的？它与函数的图象、方程的根有什么样的关

导思系？

2.零点存在性定理是什么？它可以求零点吗？

1.函数的零点

⑴函数f（x）的零点是使f（x）=0的实数x.

⑵函数的零点、函数的图象、方程的根的关系.

思考？’

⑴函数的零点是点吗？

提示：不是，是使f(x)=0的实数x,是方程f(x)=0的根.

⑵函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)=O根

的个数有什么关系？

提示：相等.

2.函数的零点存在性定理

⑴条件：函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线,

f(a)f(b)<0.

⑵结论：函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c£(a,b)使f(c)

包，这个c也就是f(x)=O的根.

思考

函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0

时，能否判断函数在区间(a,b)上的零点个数？

提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数.

,基础小测

1.辨析记忆(对的打w"，错的打“X”)

⑴函数y=2x-1的零点是,()］.(x)

提示：函数y=2x-l的零点是;.

⑵函数f(x)=X2+X+1有零点.(X)

提示：因为方程x2+x+l=0的A=l-4=-3<0无根，所以函数没

有零点.

(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上满足f(a)-f(b)>0,则在区间(a,b)±

一定没有零点.(x)

提示：如f(x)=X?在区间(-1,1)上有f(-l)f(l)=1x1=1>0，但是在

区间(-1,1)上有零点0.

2.下列各图象表示的函数中没有零点的是()

选D.结合函数零点的定义可知选项D没有零点，故选D.

3.函数y=x2-4的零点是_______.

令x?-4=0,解得x=±2,

所以函数y=x2-4的零点是±2.

答案:±2

年能力形成•合作探究处

类型一函数零点的概念及求法(数学抽象、数学运算)

题组训练

x2+2x-3,x<0,

1.函数f(x)=的零点是(

-2+Inx,x>0

A.-3,1B.-3,eC.1,e2D.-3,e2

2.求下列函数的零点：

(l)f(x)=x2+7x+6；(2)f(x)=1-log2(x+3)；

x2+2x-3,x<0,

(3)f(x)=2X-1-3；(4)f(x)='

[-2+Inx,x>0.

1.选D.当x<0时，令x?+2x-3=0,

解得x=-3；当x>0时，令-2+lnx=0,解得x=e2.

x2+2x-3xv()

「‘的零点为-3和e<

{-2+Inx,x>0

2.⑴解方程f(x)=x?+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数的

零点是-1,-6.

(2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-

1.

⑶解方程f(x)=2x」-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.

(4)当x<0时，令X?+2x-3=0,解得x=-3；

当x>0时,令-2+lnx=0,解得x=e2.

x2+2x-3x<0

"的零点为-3和e4

{-2+Inx,x>0,

;解题第略

函数零点的求法

⑴求函数的零点即求方程f(x)=0的根，求根时要涉及一元一次、二

次方程，分式方程的解法，有时还需要利用指、对互化解与指数、对

数相关的方程.

⑵在选择题中，也可以利用代入验证的方法求零点.

蜀【补偿训练】

_X_]_

1.函数f(x)=lnx+丁的零点为()

A,

11

A.1B.iC.eD.-

2e

选A.依次检验，使f(x)=0的即为零点.

2.函数y=3x-2的零点是_____.

令3*-2=0,则3X=2,所以x=log32.

答案：log32

3.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明

理由.

(l)f(x)=x2+7x+6；

(2)f(x)=1-Iog2(x+3)；

x2+4x-12

(3)f(x)=-----；-.

x-2

⑴存在•解方程f(x)=x2+7x+6=0,

得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.

⑵存在•解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,

得x=-1,所以函数的零点是-1.

X2+4x-12

⑶存在•解方程f(x)=----------=0,

x-2

得x=-6,所以函数的零点为-6.K类型二判断函数零点的个数

(直观想象、数学运算)

【典例】1.函数f(x)=ln(x+l)-1在定义域内的零点个数为()

A.

A.0B.1C.2D.3

2.若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a^l)有两个零点，则实数a的取值

范围是________.

【思路导引】将判断函数零点个数转化为判断两个函数的交点问题.

1.选C.函数f(x)=In(x+1)-；在定义域｛x|x>-1且x/)｝内的零点个

A.

数，即为f(x)=0的根的个数,即求y=In(x+1)和y=；的图象交点

A.

个数，作出y=In(x+1)和y=；的图象，可得有两个交点.

2.函数f(x)的零点的个数就是函数y=a*与函数y=x+a的图象的交

点的个数，如图，当a>l时，两函数图象有两个交点；当0<a<l时,

两函数图象有一个交点.故a>l.

答案：(1,+00)

.解题策略

利用函数的图象判断零点个数

⑴原理：函数的零点个数仁方程的根的个数仁移项拆分为两个函数,

作图观察交点个数.

⑵关键：拆分成的两个函数应方便作图.

跟踪训练,

1.函数f(x)=InX--的零点的个数是()

x-1

A.0B.1C.2D.3

选C.在同一坐标系中画出y=Inx与y=—^―的图象，如图所示，函

x-1

^y=lnx-^y=二一的图象有两个交点所以函数f(x)=Inx-二一

x-1x-1

的零点个数为2.

2.判断函数f(x)=2x+lg(x+l)-2的零点个数.

方;A：因为f(0)=l+0-2=-1<0,

f(2)=4+lg3-2>0,

所以f(x)在(0,2)上必定存在零点，

又因为f(x)=+1g(x+1)-2在(0,+oo)上为增函数,

故f(x)有且只有一个零点.

方法二：在同一坐标系中作出h(x)=2-和g(x)=lg(x+1)的图

象.由图象知g(x)=1g(x+1)的图象和h(x)=2-2X的图象有且只有一

个交点，

即f(x)=2x+lg(x+l)-2有且只有一个零点.

类型三判断函数零点所在的区间(数学抽象、数学运算)

角度1判断零点所在的区间

【典例】1.由表格中的数据，可以断定方程ex-3x-2=0的一个根所

在的区间是()

X01234

ex12.727.3920.0954.60

3x+22581114

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.函数f(x)=1+ln|的零点所在的大致区间是()

A.A.

A.(1,2)B.(2,e)C.(e,3)D.(3,4)

【思路导引】

1.利用ex与3x+2在区间端点处的大小进行判断.

2.计算在区间端点处的函数值，利用零点存在性定理判断.

L选C.由题意，令f(x)=ex-3x-2,

因为f(2)=e2-3x2-2-7.39-8=-0.61<0；

f(3)=e3-3x3-2-20.09-11=9.09>0,

所以f(2>f(3)<0,所以函数的零点所在区间为(2,3).

2.选A.

iifln

因为f(l)=1>0,f⑵=/+ln2=ln1•可,

且;,e2<1，所以f(2)<0,

故f(l)f(2)<0,故零点所在的大致区间为(1,2).

•变式探究

1.方程=-10g2X的根所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.不确定

选A.函数f(X)=Q+10g2X在(0,+8)上是连续函数，因为f(l)=|

>0,x—>0时f(x)—*-oo,

X

所以f(x)=+log2x的零点所在的区间为(0,1).

2

2.函数f(x)=lnx--的零点所在的大致区间是()

A

A.(1,2)B.(2,3)

C.,1j和(3,4)D.(e,+8)

选B.因为f(l)=-2<0,f(2)=ln2-l<0,

又因为f(x)在(0,+8)上是单调增函数，所以在(1,2)内f(x)无零点.又

2

因为f(3)=In3->0,

所以f(2>f(3)<0.

所以f(x)在(2,3)内有一个零点.

…一角度2…求参数的范围

【典例】若函数f(x)=2ax2-X-1在区间(0,1)上恰有一个零点,则

()

A.a=J或a=lB.a>l或a=0

C.a>1D.a=-J

o

【思路导引】

讨论a=0,a>0,a<0三种情况下，使f(x)在(0,1)上恰有一个零点时,

a满足的条件.

选C.若函数f(x)=2ax2-x-1在区间(0,1)内恰有一个零点,

则方程2ax2-x-1=0在区间(0,1)内恰有一个根,

若a=0,则方程2ax2-x-1=0可化为：-x-1=0,方程的解为-1,

不成立；

f1八

X]+X2=^<0,

若a<0,设方程的两根为X],X2,则<]

xi-x2=-晅>0,

故X1<O,x2<0,不符合题意；

若a>0,则函数图象开口向上，又f(0)=-1<0,若函数在(0,1)上恰

有一个零点,则f⑴=2a-1-1>0,所以a>l.综上：a>l.

*解题策略

1.判断函数零点所在区间的三个步骤

⑴代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.

⑵判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.

⑶结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数.

则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有

一个零点.

2.关于含参数的函数零点

含参数的函数零点问题往往涉及一元一次、一元二次函数的图象和性

质.

⑴若二次项系数中含有字母，则讨论系数是否为零，其实质是区分

一次函数和二次函数.

(2)对于二次函数，则要结合二次函数的图象、端点值、二次方程中△、

根与系数的关系求解.

题组训练、

1.二次函数f(x)=ax2+bx+c(xeR)的部分对应值如表：

X-3-2-101234

y6m-4-6-6_4n6

不求a,bq的值判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是()

A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)

C.(-1,1)和(1,2)D.(-8,-3)和(4,+刈

2.若a<b<c，则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-

a)的两个零点分别位于区间()

A.(a,b)和(b,c)内

B.(-8,a)和(a,b)内

C.(b,c)和(c,+oo)内

D.(-oo,a)和(c,+oo)内

3.函数f(x)=|2X-2|-b有两个零点，求实数b的取值范围.

1.选A利用f(a)f(b)<0,则f(x)=0在(a,b)内有根来判定.因为f(-

3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以在(-3,-1)内必有根.又因为f(2)

=-4<0,f(4)=6>0,所以在(2,4)内必有根.

2.选A.因为f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),所以

f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b),因为a<b

<c,

所以f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,

所以f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.

3.由f(x)=|2X-2|-b=0，得2-2|=b.

在同一平面直角坐标系中分别画出y=2-2|与y=b的图象，如图所

则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)=|2x-2|-b

有两个零点.

第【补偿训练】

在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()

A.1B.(0,

选C.显然f(x)为定义在R上的连续函数.如图，作出y=eX与y=3

-4x的图象，由图象知函数f(x)=ex+4x-3的零点一定落在区间

(0,胃内，又咐=%-2<0,剧二#-1>0,所以零点所在

的区间为《，1

教师

专用备选类型一元二次方程根的分布(直观想象、数学运算)

【典例】关于x的一元二次方程ax?-2(a+l)x+a-1=0,求a为何

值时

⑴方程有一正一负根？

(2)方程两根都大于1?

【思路导引】

题意一画草图一转换为数量关系—求解

令f(x)=ax2-2(a+l)x+a-1.

(1)方程有一正一负根时，f(x)对应的图象只有如图①、②两种情况.

fa>0,fa<0,

因此f(x)=0有一正一负根等价于或解得

[f(0)<0[f(0)>0,

0<a<l.

所以0<a<l时，方程有一正一负根.

(2)方程两根都大于1时，f(x)对应的图象只有如图③、④两种情况.

因此f(x)=0两根都大于1等价于

a>0,a<0,

A>0,A>0,

<2(a+1)或v2(a+1)解得"0.

2a2a

J(1)>0J(1)<o.

所以不存在实数a，使方程两根都大于1.

解题策略

有关一元二次方程根的分布问题

⑴转化为相应的二次函数问题，并画出符合题意的函数的大致图象.

(2)结合图象考虑以下四个方面：①A与。的大小；②对称轴与所给端

点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向.

⑶写出由题意得到的不等式(组).

(4)由得到的不等式(组)去验证图象是否符合题意.

这类问题充分体现了函数与方程的思想,也体现了方程的根就是函数

的零点.在写不等式时要注意条件的完备性.

跟踪训练

本例已知条件不变，求a为何值时

⑴方程有唯一实根？

(2)方程一根大于1,一根小于1?

⑴令f(x)=ax2-2(a+l)x+a-1.

当a=0时，方程变为-2x-1=0,即x=-；,符合题意；

当a#0时，令△=4(a+1)2-4a(a-1)=0,解得a=-1.

所以当a=0或-g时，方程有唯一实根.

(2)因为方程有一根大于1,一根小于1.

f(x)大致图象如图①，②.

[a>0,[a<0,

所以必须满足或解得a>0.

[f(1)<0[f(1)>0.

所以当a>0时，方程有一根大于1,一根小于1.

除学情诊断•课堂测评处

1.函数f(x)=x-2+log2x,则f(x)的零点所在区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

选B.f(l)=-1+log2l=-1,f(2)=log22=1,所以f(l).f(2)