2021-2022学年高二数学教案09（A基础）球（教师版）

第9课：球

1、理解球的定义和相关定义（球面、球心、球半径、球直径、大圆、小圆）：

2、理解经度纬度的定义，并会根据经度纬度去求相应量；

教学目标3、能够解释球的体积的公式由来，并能熟记球的体积公式；

4、能够理解球的表面积的公式由来，并能熟记球的表面积公式；

5、会求以球为载体的相关几何体的几何量.

1、理解球的定义和相关定义（球面、球心、球半径、球直径、大圆、小圆）；

重点2、能够熟记求得体积公式和表面积公式；

3、会求以球为载体的相关几何体的几何量.

难点会求以球为载体的相关几何体的几何量.

定义

______________________________

球］_球的体积以球为载体的相关运用

球的表面积

（-）多面体

乂知识梳理

球

和圆柱、圆锥一样，球也是一个旋转体.如下图，将圆心为。的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周,

所形成的几何体叫做球，记作球0.

半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做球面,

点0到球面上任意一点的距离都相等，点0叫做球心，

把原半圆的半径和直径分别叫做球的半径和直径.

与圆柱和圆锥只有一条轴不同，球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每

条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径

假设我们用一个平面a去截球，得到的截面是什么图形呢？

由直线与平面垂直的性质可知，过球心。有且只有一条直线与平面c垂直.设这条直线与球面的交点分别

是A和6,则是球。的一条直径.如上右图，设平面a与的交点是。1,C是平面a与球面的任

一公共点.连接。C,在R/AOOC上，由勾股定理，易知为定值，与C点的选取无关.这就是说，

在平面a上。到定点Oi的距离为定值，所以平面a与球面的交线是一个以。|为圆心，为半径的圆.特

别地，若平面a经过球心，则。।与。重合，此时的截面称为球的大圆.

，例题精讲

球及其截面

【例1】下列说法中正确的个数是（）

①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；

②球面上任意两点的连线是球的直径；

③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆；

④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面；

⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球;

⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面.

A.0B.1C.2D.3

【难度】★★★

【答案】D

【解析】①正确；当球面上两点的连线经过球心时，这两点的连线才是球的直径，故②错误；

③用•个平面截个球，得到的截面是圆面，而不是一个圆，故③错误；

④正确；曲面所围成的几何体叫做球，故⑤错误；⑥正确；故正确说法为①④⑥，共3个.故选：D

【例2】如图所示的平面结构(阴影部分为实心，空白部分为空心)，绕中间轴旋转一周，形成的几何体为

()

LLJ

A.一个球B.一个球中间挖去一个圆柱

C.一个圆柱D.一个球中间挖去一个棱柱

【难度】★★

【答案】B

【解析】由题意，根据球的定义，可得外面的圆旋转形成一个球，根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋

转形成一个圆柱，所以绕中间轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱，故选B.

【例3】湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24O"，深为的空穴，则这球的

半径为cm.

【难度】★★★

【答案】13；

【解析】设球的半径为Rem，将球取出，留下空穴的直径为24cm,深8c“2,

则截面圆的半径为12cm,球心距为d=（R-8）cm,又由/?2=r+1，即R2=I22+（R—8）2,化简得

208-167?=0,解得R=13.故答案为13.

【例4】球的两个平行截面的面积分别为5万，8万两截面之间的距离为1,求球的半径.

【难度】★★★

【答案】3

【解析】解：设半径为及圆心为国（画图，将空间图形化为平面图形，•个圆，圆内有两条相距1的两条

平行弦）大弦长3，小弦长3，大弦距离向I，回ij小弦的距离|区

,若两弦在圆心的同侧则|囚乂［匚j~~若两弦在圆的异侧，则|冈•

即I网I，整理得I网-I，无意义

综上得，的研究球的半径为3

巩固训练

1、下列说法正确的是（

A.到定点的距离等于定长的点的集合是球

B.球面上不同的三点可能在同一条直线上

C.用一个平面截球，其截面是一个圆

D.球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面

【难度】★★

【答案】D

【解析】对于4球是球体的简称，球体的外表面称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体

,是实心的，故A错；

对于8,球面=-09上不同的三点一定不共线，故B错；

对于C,用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C错，

对于。，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线必垂直于该截面，故。正确.

故选：D.

2、如图，将阴影部分图形（三角形关于1对称）绕示直线1旋转一周所得的几何体是（）

A.圆锥

B.圆锥和球组成的简单几何体

C.球

D.一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体

【难度】★★

【答案】D

【解析】由题意知，三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形成的几

何体是球，故阴影部分旋转一周后形成的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单儿何体，故选D.

3、若球的半径为10cm,一个截面圆的面积是36万a??,则球心到截面圆心的距离是（）

A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm

【难度】★★★

【答案】C

【解析】由截面圆的面积为36万an?可知，截面圆的半径为6cm,则球心到截面圆心的距离为

冈田I，故选：C.

4、设M,N是球心。的半径QP上的两点，且NP=MN=OM,分别过作垂线于OP的面截球

得三个圆，则这三个圆的面积之比为（）

A.3：5：6B.3：6：8C.5：7：9D-5：8：9

【难度】★★★

【答案】D

【解析】设分别过N,M,O作垂线于。尸的面截球得三个圆的半径为叵二，球半径为国贝I：

国一

同，.这三个圆的面积之比为:|叶|故选D

（二）球的体积

土知识梳理

球的体积

和柱体、锥体一样，也可以应用祖眶原理求出球的体积.由对称性，我们只要讨论半球的体积.按照祖

啮原理的方法，我们需要构造一个几何体，使其与半球的高相等，并且任一平行于底面的截面面积也都

相等.为此，我们先来看半球的结构.如下图，可知R/APOQ、圆弧AEP、矩形POA。绕尸O旋转一

周得到的旋转体分别是圆锥、半球和圆柱.这三个旋转体被经过01与尸。上任意一点且平行于底面的平

面所截，得到的截面面积分别是码G?,,加9c2.

设球的半径为R,因为。£：2=7?2一=℃,。|。=火，所以。也2=002一℃2,也即

7lO[E2—7lOyC'—TtOfi1.

因此，我们可以这样来构造所需的几何体:

取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的

圆锥，如上图.由上面的讨论可知，如果把这个旋转体和半球夹在两个平行平面之间，它们与任一给定

的平行平面的截面面积均相等.于是由祖迪原理，有/1球=标/_:兀1此/=三兀7店由此就得到了球

的体积公式

，例题精讲

祖瞄原理

【例5】如图，取一个底面半径和高都为A的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心

为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为的半球放在同一水平面。上.用一平行于平面a的平面去

截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为次和与环，那么（）

A.冈B.|冈|C.冈D.不确定

【难度】★★★

【答案】嘀

【解析】解：根据题意：Q①半球的截面圆：|冈I，|臼|，

②坐一个底面半径和高都为国勺圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的I■.底面为底面，下底面圆心为顶点的

圆锥，

响I，国，

根据①②得出：I网

故选：嘀

球体积公式

【例6】（1）已知球的半径为3,则它的体积为

【难度】★

【答案】耳.

【解析】解：球的半径为3,则它的体积为S.故答案为：InjjI-

（2）已知三个球的半径昌|回回茜足7]

【难度】★★

【答案】国

【解析】解：因为|叵]|,所以，冈同理冈

由面得冈,它们的体积昌昌昌茜足的等量关系是:

国~故答案为：凶一.

外接球

【例7】（1）若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）

B.冈CRD.国

【难度】★★★

【答案】C

因为正方体的体对角线长为其外接球的宜径，所以球的直径为国,即半径।闪J,故其体积为

【解析】

冈

.故选：C.

（2）棱长为后的正四面体的外接球体积为.

【难度】★★★

【答窠】

【解析】如图，棱长为正的正四面体可以嵌入到棱长为卵立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的

立方体的外接球相同.设立方体的外接球半径为百则।冈所以立方体外接球的体积

问.故正四面体的外接球体枳为Ej故答案为：『।

【例8】（1）已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为（

）

A5有R575r472n4V2

3636

【难度】★★★

【答案】C

【解析】设圆柱的底面半径为，球的半径为导则圆柱的高为2r，

作出球与圆柱的轴截面，如图：

。1

g乃R3

则OO|_LqA,所以/?=必彳=后r，所以%=3___=生色.故选：C

%兀*2r3

2

（2）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为一万的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（）

3

243128八128-256

A.——B.---C.---D.—

256243729729

【难度】★★★

【答案】c

【解析】解：设圆锥的母线长为则展开后扇形的弧长为|囚

再设圆锥的底面圆半径为，可得冈

即।冈I，圆锥的高为叵］

设圆锥外接球的半径为⑼则0,解得

圆锥的体积为V,=g万产x20r,圆锥外接球的体积匕=g乃x（段）=:琶，

203

~Vnr128

,该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为孟「~=亍莉.故选：C.

3272

内切球

【例9】（1）如图所示，有一个很漂亮的中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了

一个方案：构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为

________平方米.

【难度】★★★

【答案】300万

【解析】过球心作与正三棱柱底面平行的截面，如图,

所以T]

（2）若在母线长为5,高为4的圆锥中挖去一个小球，则剩余部分体积的最小值为

【难度】★★★

【答案】

【解析】如图是圆锥的轴截面，它的内切圆是圆锥的内切球的大圆.设半径为导

巩固训练

1、祖也是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“累势既同，则积不容异”称为祖晅原理.原理的意思是

两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等.设A,3为两个同高的几何体，p-.A,B

的体积不相等；瓦辟等高处的截面积不恒相等.根据祖晅原理可知，耶印勺母u

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.必要而不充分条件D.充分而不必要条件

【难度】★★★

【答案】目

【解析】解：由题意，命题瓦I，目勺体积不相等，命题直I，木等高处的截面积不恒相等，则同|

,回勺体积相等，向二|，目上等高处的截面积恒相等，所以|,但因不能推出耳，所以目南

的充分不必要条件，故辟取分不必要条件.故选：与

2、两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为

【难度】★★

【答案】向|

.故答案为：目

【解析】解：设大球的半径为法则根据体积相同，可知0，即回

3、某长方体的长、宽、高分别为4,4,2,则该长方体的体积与其外接球的体积之比为.

【难度】★★

Q

【答案】—

9万

【解析】因为长方体的长、宽、高分别为4,4,2,所以其体积为南~|；

其外接球直径为I国卜故r可~|；所以其外接球体积为冈，

328R

因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为——=——，故答案为：——

364949乃

4、如图，已知圆锥底面圆的直径A3与侧棱SA，SB构成边长为2石的正三角形，点C是底面圆上异于4

,B的动点，则S,A,B,C四点所在球面的半径是（）

A.2B.26C.4D.与点C的位置有关

【难度】★★★

【答案】A

【解析】如图，设底面圆的圆心为0,5,A,B,C四点所在球面的球心为回，连接耳,则耳ZI平面向

且回在线段向上.因为直径AB与侧棱SA，S3构成边长为26的正三角形，易知|冈|，|冈

设球回的半径为凡在|冈|中,由勾股定理得a,解得后j~~i.故选:A.

5、已知正方体的内切球（球与正方体的六个面都相切）的体积是学乃，则该正方体的表面积为（）

A.16B.36C.96D.216

【难度】★★

【答案】国

【解析】解:

，得耳二则正方体的棱长为国二1，那么正方体的表面积

故选：国

6、伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图

案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是

圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（）

A.1:2:3B.1：V2：V3C.1：V2:3D.2:3:6

【难度】★★★

【答案】A

【解析】设球的半径为，则圆锥的底面半径为小高为2r，圆柱底面半径为「，高为2r，

•・•圆锥体积：y=31乃产9.27=］2乃/a,球的体积匕=§4万q73,圆柱的体积匕=》r92.2厂=2万ra3,...

不，）：（2»，）=g：q：2=i：2：3即圆锥、球、圆柱的体积比为1:2:3,故选：A

7、如图，在四棱锥P—438中，。是正方形的中心，POJ_底面ABCD,PA=^5,43=2,则

四棱锥尸-ABC。内切球的体积为（)

A.24打C,2万D.居

B.------兀

54272754

【难度】★★★

【答案】国

【解析】解：由।耳ZI底面目二1，171I，与二!，口「正方形与二1的中心，那么I低I.则

a.那么，四棱锢,"1的体积a.设四棱锥内切

球半径为口那么

IX

.解得冈可

则四棱锥内切球的体积；故选：目

（三）球的表面积

工知识梳理

球的表面积

由于球面是由圆弧绕一条直线旋转而成的曲面，不能像圆柱和圆锥那样展开为平面图，因此只能采取其

他的办法来求球的表面积.

如上图，假设我们像地球上的经线和纬线那样，用〃个平行于赤道圆的小圆，及"个经过直径口的大圆

的圆周，把球面分割为很多的“小块”+块）.当"很大时，这些“小块”变得很小，可以近似地看

作是一个平面四边形，以它们为底，球心。为顶点，可以得到很多的棱锥，所有这些棱锥的高都约等于

球的半径A.设这些棱锥的底面积分别为5«=1，2,3,4「一），则所有棱锥的体积之和约等于球的体积，即

加+g码+泗+…=gR(*+S2+S3+…卜/

当〃越来越大时，B+$2+$3+…）越来越接近于球的表面积s球，3R（*+S?+$3+…）也越来越接近球

v%店匕3万内=1RS

体积球而‘3，所以’33.由此可以推得球的表面积为

球的表面积是大圆面积的4倍

例题精讲

【例10］（1）半径为2的球的表面积为.

【难度】★

【答案】16万

【解析】解：球的半径为2,所以球的表面积为：4万，=16万,故答案为：16万

（2）将一个球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的（）

A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍

【难度】★★

【答案】B

【解析】解：设球的半径为r,则原来的表面积5=4万,，当半径变为原来的2倍时，即半径为2r,

则表面积为S=4）（2厂＞=4万，x4,即这个球的表面积就变为原来的4倍.故选：B.

【例H】（1）棱长为2的正方体的外接球的表面积为（）

A.目B.SC.国D.

【难度】★★

【答案】国

【解析】解：由于正方体与外接球之间的关系为正方体的对角线长即为球的直径，

则I而I，即|日|，则球的表面积为|冈|.故选：国

（2）已知球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为0;U

A.国B.国C国D.|口|

【难度】★★★

【答案】B

【解析】解：由于球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，所以球的半径为2R=疹了=2应，解得/?=夜

设球体的内接圆柱的底面半径为r，设圆柱的高为人则厂=府-心22-£,

所以圆柱的侧面积S=2仃h=2乃•-5•Zi=2万•-4)2+4,

当1〃=2时，侧面积的最大值为4万.故选：B.

【例12】《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖席，在如图所示的鳖膈A8CD中，A3,平

面BCD,S.AB=BD=CD=1,则此鳖腌的外接球的表面积为.

【难度】★★★

【答案】0

【解析】解：由题意知，|日将该三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高都是1,既是楼长

为1的正方体，则外接球的直径等于正方体的对角线，设外接球的半径为⑼则|也|,

所以外接球的表面积I囚1，故答案为：0

A

巩固训练

1、若一个实心球对半分成两半后表面积增加了4万c〃K则原来实心球的表面积为（）

A.A/tcnrB.8万。裙C.1lyicnvD.\67rcnr

【难度】★★

【答案】国

【解析】解：设原球的半径为⑼由题意可得，|w|，甲来实心球的表面积为国

故选：口|

2、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）

A.2乃B.4兀C.8乃D.16〃

【难度】★★

【答案】国

【解析】解：由己知球的宜径为2,故半径为1,其表面积是|）|,应选国

3、已知棱长为呼正方体的外接球表面积等于内切球体积的6倍，则实数与］___________

【难度】★★

【答案】3

【解析】解：棱长为中正方体，外接球直径|WI，内切球直河可"I，

或卜接球表面积百内切球体积冈

＞解得I叼1故答案为：3.

4、已知直三棱柱ABC-A4G的侧棱长与底面边长均为2（直三棱柱的侧棱与底面垂直），E为"的中点

,则三棱锥E-880的外接球的表面积为（）

A25420万

A.-----B.8万C.124D.

3

【难度】★★★

【答案】A

【解析】解：如图,

设国和巨I的交点为口I连接可，明■-:棱柱巨

,目冈可得底面三角形百二|的外心国y耶底面上的射影，即耳ZI平向向二|，可知

连接向］，设三棱锥而］的外接球的半径为紧।则国

车棱锥臼］的外接球的表面积为s-一.故选：⑼

实战演练

一、填空题（共6小题）

1、球的表面积是其大圆面积的倍.

【答案】4

【解析】解：设球的半径为⑼则大圆面积为同,表面积为|可|,甲的表面积是其大圆面积的4倍.

故答案为:4.

2、若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为.

【答案】国

【解析】解：由已知两个球的表面积之比是耳，所以两个球的半径之比是耳，所以两个球的体积之比同

；故答案为：|n^|.

3、若球的半径为2,则与球心距离为6的平面截球所得的圆面面积为.

【答案】曷

【解析】解：根据题意，截球所得圆的半径|臼与鹿球所得圆的面积为：与

故答案为：马

4、过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60。，则该截面的面积是

【答案】与

【解析】解：设截面的圆心为国由题意得：响［向二］,Ig

答案：

5、已知三棱锥P-/WC的三条侧棱两两垂直，且分别长为2、4、4,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为

【答案】国I

【解析】解：思:.棱锥臼I的三条侧棱两两垂直,口^看作长方体的一角，

其外接球直径即为长方体的体对角线长，为向

故答案为：耳

6、连接球面上任意两点的线段称为球的弦，已知半径为5的球上有两条长分别为6和8的弦，则此两弦中点

距离的最大值是.

【答案】7

【解析】解：如图，是球的一个大圆，其包含了两条平行的弦，

由圆中线段的关系，得：I冈I，I冈L

誉i目中要求的是最大值，只有在球心的不同侧一种情况，卬弦中点距离的最大值是7.

故填：7.

二、选择题（共4小题）

7、过球面上两点可能作出的球的大圆（）

A.0个或1个B.有且仅有1个C.无数个D.一个或无数个

【答案】D

【解析】解：经过球的直径的截面，得到大圆：当球面上两点与圆心的一条直线，截面有无数个；

当球面上两点与圆心的不在一条直线时，截面只有一个，因此过球面上两点可能作出的球的大圆：一个或

无数个.

故选：D.

8、己知四面体43CZ）中，CDJL平面4?C,ABA.BC,AB=CD^4,3c=3,则四面体43CZ）的外接球

的表面积为（）

A.25TTB.4brC.32nD.64万

【答案】喃

【解析】解：由题意将该四面体放在长方体中，可得长方体的长宽高分别为，3,4,4,设外接球的半径为

目则|冈|,所以外接球的表面积向

9、已知圆锥SO'的轴截面是边长为6的正三角形，在圆锥内部放置一个球O,则球O的表面积的最大值为（

）

C.3万D.12万

【答案】D

【解析】解：如图为圆锥鼻的轴截面，回

由题若使球o的表面积的最大，则球。4圆锥相切时满足题意.

设H为切点，球O的半径为r,则=r,在RtASHO和Rt△SOB中，sinNOSH=sinZ.GSB,

―g---=—<解得r=百，得球O的表面积为S=4/=12万，故选：D-

3V3-r6

10、已知正三棱柱的高与底面边长均为2,则该正三