地震工程学9（弹塑性结构地震反应分析）

同济大学Tongji

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Prevention

第九章弹塑性结构地震反应分析翟

永

梅同

济

大

学土木工程学院上

海

防

灾

救

灾

研

究

所地

震

工

程

学同济大学Tongji

University弹塑性动力分析的一般过程串联多自由度体系分析平面框架模型多维地震波作用下的平－扭耦联系统22011-5-26

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Prevention第九章

弹塑性结构地震反应分析上海防灾救灾研究所Shanghai

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University9.1

弹塑性动力分析的一般过程•

结构弹塑性地震反应问题是地震工程学研究的热点之一。•

一般结构物都在强震中会进入弹塑性变形阶段。•

结构的弹塑性反应与线性反应的表现有很大不同：

结构的基本动力特性变化整体结构的动力反应特征不同•

引用弹塑性分析的概念和具体做法，有利于研究结构地震反应的本质特征，有助于揭示设计结构的最不利薄弱环节。同济大学Tongji

University一、动力方程二、刚度修正技术三、一般分析过程

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Prevention9.1

弹塑性动力分析的一般过程上海防灾救灾研究所Shanghai

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University一、动力方程•&

&

&&

&

&结构在多维地震波作用下的一般动力方程为：

[M

]{U&}

+

[C]{U}

+

[K

]{U}

=

−[M

]{U&g}结构弹塑性动力分析的基本过程与之相类似：

[M

]{U&}

+

[C

]{U

}

+

{F

}

=

−[M

]{U&

g

}唯一的变化在于恢复力向量{F}代替了弹性力向量

[K]{U}，这种形式上的替代使我们可以方便地考虑结构的非线性增量方程

。同济大学Tongji

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Prevention&&

&

&&一、动力方程

对单自由度体系，结构在时刻

tj+1的反应可以用tj的反应迭加

一个线形增量:

f

j+1

=

f

j

+kjΔUj

对多自由度体系，则有

{F}j+1

={F}j

+[K]{ΔU}j

进而得出结构非线性增量方程:[M]{ΔU}j

+[C]{ΔU}j

+[K]{ΔU}j

=

−[M]{ΔUg}j上海防灾救灾研究所Shanghai

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University一、动力方程

用动力分析的逐步积分法，

可以方便地实现结构弹塑性动力

分析计算。

在非线性大变形阶段，结构

变形可能进入恢复力下降段，即

出现负刚度。在负刚度条件下各

数值积分方法的稳定性与正刚度

条件有所不同。同济大学Tongji

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Prevention二、刚度修正技术•

结构线性地震反应分析与非线性地震反应分析的主要差别

在于刚度矩阵是否变化。对于弹塑性结构，在每一步增量

反应计算之先，要先行修正刚度矩阵中各元素的量值，此

即刚度修正技术。•

修正刚度矩阵的过程实质是重新形成总刚度矩阵的过程。

在这里，区分总刚度矩阵、单元刚度矩阵、刚度系数、截

面抵抗矩等概念十分重要。修正刚度矩阵与应用恢复力模

型的联系途径是通过这些概念转换的。这一途径可用图6.2

加以说明。上海防灾救灾研究所Shanghai

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Prevention逐步积分法计算结构非弹性地震反应的关键

：方法：根据t时刻的结构受力和变形状态

采用结构构件滞回模型

确定t时刻各构件的刚度按照一定的结构分析模型确定

[K]确定任意t

时刻的总体楼层侧移刚度矩阵

[K]

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University[K]

的确定上海防灾救灾研究所Shanghai

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University二、刚度修正技术•

以常见的三线型刚度退化型

模型介绍刚度修正技术。骨

架曲线包括了开裂点、屈服

点、极限荷载点等界点。滞

回曲线由最大变形点指向和

刚度退化规则加以规定。在

动力计算开始前要存贮骨架

曲线界点值，在计算中要存

贮反向曾经经历过的变形最

大值和损伤状态值。同济大学Tongji

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Prevention二、刚度修正技术（1）根据变形速度的符号判定变形方向，然后判明本步变形

绝对值是否超过同方向历史最大变形绝对值。当超过时，

则加载点必在骨架曲线上，此时，可将本步累积变形值与

骨架曲线界点变形值相比较。超过界点值时改变状态标识

变量并修正刚度；不超过界点值时，不修正刚度。而当不

超过历史最大变形绝对值时，应进一步判明相邻时刻内力

是否反号，反号时，则修正刚度，否则不修正刚度；

（2）当相邻时刻变形速度值发生变化时，变形反向，此时，

取卸载段退化刚度为本步刚度值。上海防灾救灾研究所Shanghai

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University二、刚度修正技术（续）同济大学Tongji

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Prevention二、刚度修正技术

在刚度修正技术中，还有界点刚度转换问题，即在前

后两时刻刚度发生变化（即恢复力曲线有转折）时，需将

时间步长分割，求出刚度发生变化时（即到达恢复力曲线

的转折点）的时刻。在此时刻之前按原刚度计算，在此时

刻之后按改变后的刚度计算。上海防灾救灾研究所Shanghai

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University三、一般分析过程•

弹塑性结构反应分析的思路分为三个基本组成部分：

数值积分

反应值迭加

刚度修正•

一般的分析流程见图6.5。同济大学Tongji

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Prevention•三、一般分析过程同济大学Tongji

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Prevention第二节

串联多自由度体系分析

当不考虑结构扭转振动和土－结相互作用时，一般

多层结构或高耸结构可以抽象为一个底部嵌固的串联多

自由度体系。一、剪切模型二、弯剪模型同济大学Tongji

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Prevention一、剪切模型•

当结构的变形主要表现为集中质量层之间的错动，且这种错动可

视为层间剪切角变位的结果时，则可将结构简化为剪切模型。•

一般说来，高宽比不大的多层建筑、强梁弱柱的框架体系等可以

作为剪切结构考虑。=

⎢⎨⎬Ki

=

3其中yi为第I层的位移

，⎥⎨

yβ

=GAh2同济大学Tongji

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Prevention一、剪切模型•

由于不考虑楼板的转角变形，因此，剪切模型的层间单元刚度

µ为剪应力不均匀系数；h为层高；A，J分别为截面积和惯性矩•

根据Q－Δ恢复力关系进行动力分析时，弹性层间刚度为：−

K

i

⎤⎧

y

i

⎫矩阵服从以下关系：⎧Q

iA

⎫

⎡

K

i⎩Q

iB

⎭

⎣−

K

i

12EJ

h

(1+2β)

⎬K

i

⎦⎩

i−1

⎭

6μEJ

，iKQ

iΔ

i=idQ(t)dΔi(t)•

在弹塑性阶段，则有：Ki(t)=上海防灾救灾研究所Shanghai

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University二、弯剪模型•

高宽比大于4的结构、强柱弱梁型结构和高耸结构等，在结构振动时，弯曲效应不容忽视。应采用同时考虑弯曲变形和剪切变形的弯剪模型。上海防灾救灾研究所Shanghai

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University二、弯剪模型•

层间单元刚度矩阵服从下述一般关系：

⎧QiA

⎫

⎡

K4i

−K4i

−K3i

−K3i⎤⎧ui

⎫

4i

4i

3i

⎥

K3i

K2i为区别剪切模型，这里以u为水平位移，而θ为转角未知量。式中刚度系数的具体形式见公式6.15。同济大学Tongji

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Prevention二、弯剪模型

弯剪模型区别于剪切模型的根本点在于前者需考虑楼层处的弯曲转角。引用静态凝聚原理，则不增加动力方程的自由度数。将总刚度矩阵中与转角有关的刚度系数并入仅与水平位移有关的刚度系数项。

自由振动的动平衡方程可以表示为：其中

[K]=[Ku]−[Kuθ][Kθθ]同济大学Tongji

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Prevention二、弯剪模型

从上述方程的后一组n个方程中可以解出：

{θ}=

−[Kθθ]−1[Kθu]{u}

代入前一组n个方程可得：[K]称为弯剪模型的等效结构侧移刚度矩阵。[Kθu]−1同济大学Tongji

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Prevention二、弯剪模型&&

&

&&

[M]{U}+[C]{U}+[K]{U}=

−[M]{Ug}引用等效侧移刚度矩阵，动力方程如上式所示，动力自由

度数等于集中质量个数。同济大学Tongji

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Prevention第三节

平面框架模型

•

平面框架模型就是将一般框架结构单独抽出一榀或经某种

假定简化为一榀框架所假定的模型。

•

这种模型的弹塑性动力反应分析一般以梁、柱构件作为最

小单元进行分析。

•

典型的构件模型有杆端弹塑性弹簧模型、分割梁模型、假

设变形函数模型等。同济大学Tongji

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Prevention第三节

平面框架模型一、杆端弹塑性弹簧模型二、分割梁模型三、半刚架模型同济大学Tongji

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Prevention一、杆端弹塑性弹簧模型

•

这种类型的基本思想在于把杆件中的塑性变形全部集中在

杆端，并以杆端等效的弹塑性回转弹簧等价地表示。弹簧

之间的杆件仅发生弹性变形。

•

模型的基本假定：

（1）杆件的弹塑性变形状态可以用图6.8等价地表示；

（2）杆端塑性转角只与本端弯矩增量有关；

（3）采用以单根构件试验为基础的杆端力矩－杆端转角恢

复力关系作为基准恢复力曲线，而不考虑各构件相互联结

的影响。上海防灾救灾研究所Shanghai

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University一、杆端弹塑性弹簧模型同济大学Tongji

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Prevention二、分割梁模型

•

杆端弹簧模型把沿杆件分布的损伤分别集中于杆端，并假

定杆端塑性转角增量仅与本端弯矩增量有关。这些假定在

反弯点位置偏离构件中点很远的场合是不适用的。

•

分割梁模型是把构件分割成若干个沿杆轴线的假想并列杆

件，各杆件仅在杆端相连，而沿杆轴各点上则有不同的变

形。

•

依据采用的恢复力骨架曲线的不同，分割梁模型又有双分

量模型、三分量模型等类型。同济大学Tongji

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Disaster

Prevention1、双分量模型

（见图6.11）•

克拉夫设想将杆分割为刚度分别为pK和qK的两个平行的分杆

，从而引出双分量模型的概念，图6.11表示这种分解与合成

的全过程。•

根据杆端转角的大小，杆件将分别处于两端弹性连接，一端

弹性连接、另一端塑性铰接或两端塑性铰接等不同状态。•

双分量模型的单元刚度矩阵可由各分杆端部连接部分的变形

相容条件和各杆的力平衡条件来确定。（见P178）•

双分量模型不考虑刚度退化和反向的最大点指向，卸载时采

用原点加载刚度，反向加载时亦如此。•

双分量模型不能表示工程结构构件的刚度退化性质。同济大学Tongji

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Prevention1、双分量模型

（见图6.11）•

图c表示第一分杆的恢复力曲线，它表示一根完全弹性杆，图e表示第二分杆的恢复力曲线，它对应一根弹塑性杆。上海防灾救灾研究所Shanghai

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University2、三分量模型

（见图6.13）•

三分量模型与双分量模型的唯一差别在于它用三根分杆模拟恢复力模型，图6.13表示其刚度分解过程和各分杆的恢复力曲线。•

构件两端分别有弹性、开裂、屈服等三个不同状态，因此有九种不同的刚度矩阵。图6.14表示了考虑刚度退化的恢复力情况。•

应当指出，分割梁模型中的单元刚度矩阵是全量型的，而杆端弹簧模型则为增量型的。上海防灾救灾研究所Shanghai

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University2、三分量模型

（见图6.13）同济大学Tongji

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Prevention三、半刚架模型

•

采用杆系模型进行弹塑性动力分析中，一个比较突出的问

题就是结构的计算自由度多，计算工作量大。因此，在上

述杆系模型的基础上，发展了半刚架模型的简化动力分析

方法。•

基本的半刚架简化方法有两类：

将各构件特性集成

将各构件特性平均)

b

=

2∑

(

EI

)

bi∑2∑同济大学Tongji

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三、半刚架模型•

如图6.15所示，对于一般的n跨平面刚架结构，依据同一楼

层各节点的转角变形与剪切变形相等的假定，可导出将平面

框架转化为图示半刚架的规则如下：

（1）弹性参数

n+1

i=1

ni

=1(梁弯曲刚度：

EI柱高：H

c

=

H

ci梁长：

L

b

=

ni

=

1

n

i

=

1(

EI

)

bi

(

EI

)

bi

L

bi∑

(M∑(M

s

b

=

2α∑(M

s

bi上海防灾救灾研究所Shanghai

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三、半刚架模型•（2）

恢复力特性参数柱初始屈服弯矩：柱极限屈服弯矩：梁初始屈服弯矩：n

+1i=1s)

ci(M

s

)

c

=

αn

+1i=1p)

cip)

c

=(M(M

n)

)

i=1

n

)

式中引入α为反映原框架各层的梁、柱受力不均匀因而屈服不同时发生所造成的影响，称之为半框架初始屈服折减系数，一般可取α＝0.7－0.9。∑

i=1

(

p1)bi上海防灾救灾研究所Shanghai

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University三、半刚架模型•

对于图6.16所示的三折线型恢复力骨架曲线，转化恢复力特性参数尚包括刚度折减系数p1

可取为：1

n+1

i=11

nn•

梁刚度折减系数：p1)b

=(同济大学Tongji

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Prevention第四节

多维地震波作用下的平－扭耦联系统

由于设计要求和随机因素的影响，实际结构都可视为非对

称结构。在多维地震波作用下，非对称结构的振动一般表现为

平移与扭转耦合的振动形式。

根据基本抗侧力构件双向相互作用的强弱，把平－扭耦联

振动问题按结构材料类型分为：

弱相互作用模型

强相互作用模型

一、一般平－扭耦联系统的动力方程

二、弱相互作用模型

三、强相互作用模型同济大学Tongji

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Prevention一、一般平－扭耦联系统的动力方程

•

一般平－扭耦联系统的平面结构形式如图6.18所示。

•

对此类结构形式进行平扭耦合振动分析时，一般沿用楼板平

面内无限刚性和平面外完全柔性的假定。

•

楼板刚性假定，即不考虑楼板在平面内的剪切变形与弯曲变

形。

•

楼板平面外完全柔性的假定，则可以不考虑楼板与框架梁的

共同作用。

•

可根据结构形式将支承构件分组为若干平面子结构（如一榀

平面框架或一片剪力墙），然后根据楼板平面内无限刚性假

定来考虑各平面子结构在楼板平面内的协同工作。上海防灾救灾研究所Shanghai

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University一、一般平－扭耦联系统的动力方程上海防灾救灾研究所Shanghai

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University一、一般平－扭耦联系统的动力方程•

平面子结构在自身主轴方向产生单位层间位移所需力为k（即层间刚度），则平面子结构i由于位移矢量而引起的沿子结构轴向的力为:•

ai为子结构主

轴方向与x轴

的夹角，xi，

yi为子结构中

性轴与主轴交

点处的坐标值

，ri为坐标系

原点到子结构

主轴的距离∑∑GA

=

∑

∑•

平面子结构的等效抗剪刚度为：h上海防灾救灾研究所Shanghai

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University•一、一般平－扭耦联系统的动力方程•

式中j为单个构件序号；m为子结构中构件个数。+=jj•

平面子结构的抗弯刚度为：

EI

mj

=1EA

jl

2

mj

=1(

EI

)j

m

mj=1

j=112(EI

)