地震工程学7（线性结构的地震反应分析）

同济大学Tongji

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Disaster

Prevention

第七章线性结构的地震反应分析翟

永

梅同

济

大

学土木工程学院上

海

防

灾

救

灾

研

究

所地

震

工

程

学同济大学Tongji

University

第七章

上海防灾救灾研究所

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Disaster

Prevention线性结构的地震反应分析概述动力方程的建立时域分析方法频域分析方法振型迭加法反应谱理论2同济大学Tongji

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Disaster

Prevention动荷载的分类动荷载确定不确定地震荷载其他无法确定变化规律的荷载

周期非周期

简谐荷载非简谐荷载

冲击荷载

突加荷载

其他确定规律的动荷载风荷载7.1

概述动荷载的定义——大小、方向和作用点随时间变化；在其作用下，结构上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。

自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作

静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。同济大学Tongji

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Disaster

Prevention

输入（地震荷载）

结构（系统）

输出（动力反应）第一类问题：反应分析（结构动力计算）第二类问题：参数（或称系统）识别

输入（地震荷载）

结构（系统）

输出（动力反应）-----正问题-----反问题7.1

概述研究内容和任务

研究地震荷载作用下工程结构地震反应规律及抗震减灾理论。

研究内容：

输入（地震荷载）

结构（系统）

输出（动力反应）上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention

-----反问题

结构（系统）

控制系统（装置、能量）

第四类问题：控制问题

输入（地震荷载）-----控制问题

输出

（动力反应）

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University7.1

概述

第三类问题：荷载识别。

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Disaster

Prevention动力方程的建立动力方程的求解结构抗震试验方法构件、结构的动力性能恢复力曲线、系统识别理论弹塑性结构地震反应分析弹塑性动力分析的一般过程多维地震波作用下的平-扭耦联系统

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University7.1

概述

线性结构地震反应分析结构动力特性及其模型化上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention建筑物震害的工程控制建筑抗震设计隔震与减震地震灾害预测场地地震小区划

建筑物震害预测地下管网的震害预测

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University7.1

概述同济大学Tongji

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Disaster

Prevention线性结构地震反应分析确定性反应分析随机反应分析时域分析法

频域分析法振型迭加法（结构最大反应——反应谱法）（非比例阻尼问题——复模态法）7.1

概述

线性结构——结构变形与外力保持线性关系，外力

去除后，结构变形能完全恢复到原始状态的结构。上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention结构的离散化方法建立动力平衡方程的基本方法一维地震动输入时的动力方程多维地震动输入时的动力方程多点地震动输入时的动力方程

同济大学

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University7.2

动力方程的建立同济大学Tongji

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Disaster

Prevention7.2

动力方程的建立

结构的离散化方法

实际结构质量沿结构几何形状连续分布，属于无限多自由度体系

。这不仅导致分析困难，而且从工程角度也没必要。通过离散化方法

将无限自由度体系转换为有限自由度体系。常用简化方法有：

广义坐标法（形函数法、里兹法）

有限单元法

集中质量法υ(x,t)

=∑ϕi(x)yi(t)υ(x,t)≈∑ϕi(x)yi(t)同济大学Tongji

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Disaster

Prevention

yi(t)

---广义坐标ϕi(x)

---形状函数

ϕi(0)

=ϕi(l)

=

0

υ(x)广义坐标个数即

为自由度个数

∞

i=1

ni=17.2

动力方程的建立

广义坐标法（形函数法、里兹法）

广义坐标法假定结构的位移可以用一个有限级数表示，级数的每一项都

是一个随时间变化的函数和一个指定的形状函数的乘积。

m同济大学Tongji

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Disaster

Prevention7.2

动力方程的建立

广义坐标法（形函数法、里兹法）

通过广义坐标的变换,将无限自由度体系转化成有限自由度体系。

广义坐标法为结构离散化提供了基础。然而，对于杆系结构，往往

不宜直接采用广义坐标法。其原因在于：

1）各根杆件的形状函数不统一；

2）广义坐标没有直观的物理含义，不易于由单根杆件集成为结构；

3）按广义坐标法形成的系数矩阵往往不规则。上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention

m

结点位移个数即

为自由度个数

有限单元法是以节点的位移作为结构的广义坐标，并统一规定了各杆件单元共享的形状函数，使广义坐标获得了直观的物理背景及统一的计算格式。

由于任一节点位移仅影响相临单元，结构的向量方程耦联程度较小，质量矩阵、刚度矩阵等将表现出带状特征，方便计算。

有限单元法可以认为是将体系的刚度、质量、荷载、阻尼“等效”地集中于节点处。实现这种等效的过程是通过形状函数完成各点之间的连续性要求。

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University7.2

动力方程的建立

有限单元法

和静力问题一样，可通过将实际结构

离散化为有限个单元的集合，将无限自由

度问题化为有限自由度来解决。集中在某些几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。

集中质量法是最早提出来的离散化方法。这一方法人为地

把质量集中于一些点处，与之相对应，结构的刚度特性、

阻尼特性、荷载特征则被集中于质量的平移自由度方面

不适当地集中质量可能导致较大的计算误差。应附加动能

等效原则（集中质量前后体系的动能不发生显著变化）。上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention

m

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University7.2

动力方程的建立

集中质量法

将实际结构的质量看成（按一定规则）上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention

mm>>m梁m

+αm梁II2Im+αm柱厂房排架水平振动

时的计算简图(屋架质量远大于柱

子质量)

单自由度体系三个自由度体系

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University7.2

动力方程的建立多自由度体系

同济大学

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三个自由度水平振动时的计算体系

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Disaster

Prevention

v(t)

u(t)

θ(t)

三个自由度构架式基础顶板简化成刚性块复杂体系可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度同济大学Tongji

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Disaster

Prevention7.2

动力方程的建立

•

结构的动力特性

结构受动荷载作用，它的反应不仅和动荷载有

关，而且还和结构本身固有的特性（包括结构阻尼、

频率谱和振型等）有关。结构的固有特性能确定动荷

下的反应程度，因此将它们称作结构的动力特性。

自振频率和频率谱

外界干扰消除后，系统在平衡位置附近所产生的振

动，称作自由振动（无外荷作用的振动）。自由振动

的频率称自振频率。同济大学Tongji

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Disaster

Prevention

•

结构的动力特性

实际结构有小于等于（一般等于）自由度数的自振频率，将其按从小到达依次排列，此排列称作频率谱。

频率谱中最小的频率称作基本频率，简称基频。其后依次称为第二、三频率等。它们可以通过计算和试验得到。

不同结构频率谱的分布是不同的。象单跨梁、不计扭转振动的房屋等，相邻两频率间隔较大，这样的频谱称稀疏型的。

对于空间结构、考虑扭转振动的房屋等，频谱中存在密集区，这样的频谱称密集型的。

结构的动力反应和它的频谱有密切关系。同济大学Tongji

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Disaster

Prevention•

结构的动力特性

结构的振型

当在一定条件下结构按频谱中某一频率振动时，在任意时刻各质量的位移都保持同一比例，也即变形形状是固定的。这一变形形式称作此频率对应的振型。与基频对应的振型称第一振型或基本振型，其他依次称第二、第三振型等等。

振型也可通过计算或实验得到，在多自由度体系分析时，它是重要的工具。同济大学Tongji

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Disaster

Prevention•

结构的动力特性

结构的阻尼

实际结构的自由振动都是衰减的，经一定时间后将仍处于平衡。这说明振动过程有能量耗散，这种能量耗散作用称作阻尼。

产生能量耗散的原因很多，如材料的内摩擦、周围介质对能量的吸收等等。至今为止，阻尼机理仍然是没有解决的问题。

为了在动力分析中考虑阻尼的影响，使分析更符合实际，人们提出了种种关于阻尼的假定。这些假定统称作阻尼理论。同济大学Tongji

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Disaster

Prevention•

结构的动力特性

结构分析中常用“等效粘滞”阻尼。

所谓等效粘滞阻尼是假设：

导致能量耗散是由于存在阻尼力，它和运动的速度成正比，方向和速度方向相反。这比例系数称阻尼系数，其数值由试验确定。cy&

阻尼系数根据这一理论，单自由度的阻尼力为速度同济大学Tongji

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Disaster

Prevention积分变分原理7.3

建立动力平衡方程的基本方法

动平衡法

[M]{u}+[C]{u}+[K]{u}={P}

拉格朗日方程法&&

&

ddt∂W

c

∂y=

p

−∂V

∂y+∂T

∂y∂T

∂y)

−(&同济大学Tongji

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Disaster

Prevention

7.2

动力平衡方程的建立

动平衡法

将惯性力作为一种等效荷载，按静力平衡原理建立平衡方程。

在质点运动的每一瞬时，作用在质点上的所有外力（荷载与约束力）与假想地加在质点上的惯性力互相平衡，可利用静力学的处理方法建立结构的运动方程。P(t)Fs1

=

Fs2

=u

=h上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention

同济大学

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University单自由度体系运动方程h

mEI例-1)

试建立图示结构的运动方程。

解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平

位移。

又设横梁（质量m）位移为u，以它为隔离体，受力如图所示。P(t)&mu&&hFs1

cu

Fs2

u

uuk

2列x方向全部力的平衡方程，即可得结构的运动方程为

mu+

cu+

ku

=

P(t)&&

&图中Fs1和Fs2可由位移法得到

12EI

3f

si

=

∑kiju

jf

ci

=

∑ciju

&

jf

mi

=

∑miju

&&j同济大学Tongji

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Disaster

Prevention弹性力阻尼力惯性力

n

j=1

n

j=1

nj=1

7.2

动力平衡方程的建立

动平衡法影响系数

aij

——由j坐标单位物理量在i坐标方向上所引起的力，可以是刚度、质量、阻尼等。

所有坐标j处的物理量（包括i处）与相应于坐标i处的影响系数乘积之和即为i

坐标方向所受到的力值，如：∑(m

u

&&

+c

u

&

+k

u

)

=

p同济大学Tongji

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Disaster

Preventioni=1，2…nin

jij

j

ij

j

ij

j则全部n个坐标的运动方程即构成以矩阵形式表示的动力方程：

[M]{u}+[C]{u}+[K]{u}={P}&&

&7.2

动力平衡方程的建立

动平衡法

根据动平衡法，上述各力之和等于i坐标处作用的外力pi，即dt

∂y

&同济大学Tongji

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Disaster

Prevention∂Wc

∂y=

p−∂V

∂y+∂T

∂y)−d

∂T

(7.2

动力平衡方程的建立

拉格朗日方程法

将动静法与虚位移原理结合，就得到了动力学普遍方程：受有理想约束的质点系在运

动过程中，其上所受的主动力和惯性力在质点系的任何虚位移上所做的虚功之和为零

。

在质量上考虑惯性力、阻尼力的作用，则在任意瞬时质量应该处于“动平衡”状态，

因此根据虚位移原理，外力（动荷载、惯性力、阻尼力）的总虚功应恒等于总虚变形

功。

只要功、能函数可以用广义坐标表示，就可以由下式导出动力方程，其应用范围不仅

包括线性体系，也可以包含非线性体系：同济大学Tongji

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Disaster

Prevention

7.2

动力平衡方程的建立

拉格朗日方程法拉氏方程的特点（优点）：

•

是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。

•

方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。

•

拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。

拉氏方程的价值

拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。同济大学Tongji

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Disaster

Preventioni&&i=1,2…N

f

mi

=mui

'相对于定参考系的总位移为&&

&&ui'

=ui

+ug

f

mi

=

mi(ui

+ug)则7.2

动力平衡方程的建立

一维地震动输入时的动力方程

定参考系和相对于定参考系作匀速直线运动的参考系都是惯性参考

系，否则为非惯性参考系。

参考系o’x’y’为惯性参考系，oxy为非惯性参考系，只能针对

o’x’y’写出质点惯性表达式：∑[mi(u

&&i+u

&&g)+ciju

&

j+kiju

j]

=

0同济大学Tongji

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Disaster

Preventionag

=ug

,记则i=1，2…n

nj=1&&

&

][M]{u}+[C]{u}+[K]{u}=

−[M

{I}ag

结构反应量是针对动参考系（非惯性参考系）的相对位移、相对速度

、相对加速度反应。7.2

动力平衡方程的建立

一维地震动输入时的动力方程

弹性力及阻尼力仅与相对位移和相对速度有关，故可在定参考系

o’x’y’中应用动平衡法，得到一维地震输入时的动力方程：同济大学Tongji

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Disaster

Prevention•建立运动方程的基本步骤以下讨论中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。

动平衡法列方程的一般步骤为：

1)

确定体系的自由度——质量独立位移数；

2)

建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；

3)

根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；

4)

根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力；

5)

取质量为隔离体并作受力图；

6)

根据动平衡原理列每一质量的瞬时动力平衡方程，此方程就是运动（微分）方程。18EIM1

=

2

M2

=7l同济大学Tongji

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Disaster

Prevention•

运动方程建立举例

两自由度体系运动方程例)

试建立图示结构的运动方程。解：沿位移正向加限制位移的支座如图所示。

由位移法或弯矩分配法可做出支座单位位移的弯矩图如图示。图中

7lmPy(t)

Px(t)1M

1

M1M2M3M

2M4

130EI

212EI

7l

2M3

=6EI

7l

2M4

=30EI18EIM1

=

M2

=

2M3

=M4

=k21

=k11

=7l7lk12

=k22

=7l7l同济大学Tongji

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Disaster

Prevention

M1M2

M3

Py(t)

Px(t)

m

1

k11M

1

k21

k12M

2

k22M4

1•

运动方程建立举例

两自由度体系运动方程图中

7l

2

7l

12EI

6EI

7l

2

7l

2由此可求得图示反力(刚度)系数kij

48EI

−18EI

3

3

−18EI

12EI

3

3⎥⎨v

&&⎬+

⎢c⎥⎨v

&⎬+

⎢k⎥⎨v⎬

=

⎨P

⎬同济大学Tongji

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Disaster

Prevention•运动方程建立举例两自由度体系运动方程fIy&&

&

&&&

&

&⎣k22⎦⎩

⎭

⎩

y⎭k12⎤⎧u⎫

⎧Px⎫c12⎤⎧u⎫

⎡k11c22⎦⎩

⎭

⎣

21⎡m⎢0

0⎤⎧u⎫

⎡c11m⎦⎩

⎭

⎣

21&&&

fdx

由结果可得

Py

fIx

=

−mu;

fdx

=

−c11u−c12v;

fex

=

−k11u−

k12v

fIy

=

−mv;

fdy

=

−c21u−c22v;

fey

=

−k21u−

k22v

列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下记作[k]称刚度阵同济大学Tongji

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Disaster

Prevention•体系运动方程的一般形式

在单自由度和两自由度的基础上，不难推广得到n个自由度体系的情况。

在记[M]—质量阵、[C]—阻尼阵、[K]—刚度阵、[P]eq—等效荷载阵；[d]、[v]、[a]—为位移、速度、加速度阵；

[Δ]P—荷载位移阵情况下

动力方程列式结果

[M][a]+[C][v]+[K][d]=[P]eq同济大学Tongji

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Disaster

Prevention]{θ&})&&

&

&θ&&[M

]{U&}

+

[C

]{U

}

+

[

K

]{U

}

=

−[M

]({

U&

g

}

+

[

X&

&

&目前对地面转动分量的观测资料很少，大部分研究很少考虑转动的影响，而采用更为简单的动力方程：

[M

]{U&}+

[C]{U

}+

[K

]{U

}

=

−[M

]{U&g}7.2

动力平衡方程的建立

多维地震动输入时的动力方程

实际地震动的地面运动，包括六个分量：三个平动分量和

三个转动分量。因此，地震时结构的反应是针对六维非惯

性参考系的反应。同济大学Tongji

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Disaster

Prevention&&&&

&

&&7.2

动力平衡方程的建立

多点地震动输入时的动力方程

对于长跨桥梁、坝体、管道网路等较大范围内的结构，地震波在结

构基础面上的传播要经历一定的时间。即在同一时刻，结构各支撑

点所承受的地面运动是不同的，这就是所谓的多点地震输入问题。

这时必须考虑各支撑点间相对运动引起的结构内的拟静力应力。

[M]{U}+[C]{U}+[K]{U}=[M][K]−1[Kg]{Ugl}

[Kg]为因支座相对运动所产生的弹性耦合矩阵；Ugl

为支座加速

度过程，应注意，对不同的点，在同一时刻的值是不同的，具体

过程由支撑输入地震波的情况决定。当仅考虑单方向水平波的输

入时，不同的

Ug

可只考虑相位差的变化，可引用错时输入的办

法来处理地震反应的计算过程。&&同济大学Tongji

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Disaster

Prevention&&

&

&&7.2

动力平衡方程的建立

多点地震动输入时的动力方程

当地面各点运动加速度过程完全相同，即各支撑点处的相对位移为零，

则

[K]−1[Kg]=

−[I]

运动方程变为：

[M]{

U}+[C]{

U}+[K]{

U}=−[M]{

Ug}同济大学Tongji

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Disaster

Prevention7.3时域分析方法线性加速度方法纽马克β法和威尔逊θ法时域分析方法的收敛性与稳定性阻尼的处理同济大学Tongji

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Disaster

Prevention&&

&

&&

线性加速度方法•运动增量方程：

[M]{ΔU}j

+[C]{ΔU}j

+[K]{ΔU}j

=

−[M]{ΔU

g}j

[M]不随时间变化，如果已知t

时刻[C]、[K]、位移、速度、加

速度（称状态向量），设法从增量方程求得位移、速度、加速

度的增量，则显然可以求得t+Δt时刻状态向量，重复这一过程

即可求得非线性问题的数值解答。Δt

=τ

+τ

+...同济大学Tongji

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Disaster

Prevention内，结构加线性加速度算法假定，在时段速度反应是关于时间的线性函数，即取：&&

&

&&t

j+1

−t

j=

常量=Δ

U&

j

Δ

t&&

&U&

j

=&&U&

j

+1

−

U&

j

Δ

t将位移{U}按泰勒级数在tj附近展开：32τ

+{U}j

3!{U}j

2!{U}j

1!&&&&&&{U(tj

+τ)}={U}j

+

对

τ

求导，{U(t

j

+τ)}={U}j

+{U}jτ

+

1{U&}jτ

2

+...&

&

&&

2

&&

线性加速度方法•运动增量方程：

[M]{ΔU}j

+[C]{ΔU}j

+[K]{ΔU}j

=

−[M]{ΔU

g}j&

U

&&

=

U

j+1

−U

j

=

ΔU

j

=常量

带入上两式，则Δt

Δt同济大学Tongji

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Disaster

Prevention&

&&

&&&

2

6&

&

&&

&&&

2将假定&

2

&&

6

&&{ΔU}j

={U}jΔt

+

1{U}jΔt2

+

1{ΔU}jΔt2{ΔU}j

={U}jΔt

+

1{ΔU}jΔt&

&&

2

&&j&&

&&

&&

(1)(2)

线性加速度方法

当τ=∆t时，

{U(t

j

+τ)}={U}j+1{U}j+1−{U}j

={U}jΔt+

1{U}jΔt2

+

1{U}jΔt3+...

{U}j+1−{U}j

={U}jΔt+

1{U}jΔt2

+...{ΔU}j

=

6

{ΔU2}j

−6

{U}j

−3{U}上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention将上两式带入运动增量方程，即可将原来的增量微分方程化为关于ΔU的代数方程，并令[K]j=[M]+

Δt[C]+[K]3

6Δt2jΔt由（1）可得{ΔU}j

Δt{ΔU}j

=3−3{U}jΔt−

1{U}jΔt&

2

&&&&&

6

&

&&

&

2

&&{ΔP}j

=[M](−{ΔUg}+

Δt{U}j

+3{U}j)+[C](3{U}j

+

Δt{U}j)将上式带入（2）可得

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University线性加速度方法上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Preventionj={ΔP}j[K]j{ΔU}为拟静力荷载向量[K]状态数j为0,1,2,….N，N为计算时程的离散时段数。根据微分方程的初始条件，在任一时刻tj+1,

{U}j均可得知，故可象求解静力位移那样求解上述拟静力增量方程。&&{为拟静力刚度矩阵，ΔP}

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University线性加速度方法则运动增量方程可写为（拟静力增量方程）：同济大学Tongji

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Disaster

Prevention&一时刻的计算反应值

{U}j{U}j&&&&

这样将使动力分析计算中的误差逐级积累，严重时甚至导致结果的发散

为了减少误差积累，可以应用加速度平衡校正算法，根据增量动平衡方程求解{ΔU}

{ΔU}j

=

−{ΔUg}j

−[M]−1([C

{ΔU}j

+[K

{ΔU}j)&&

&&

]

&

]线性加速度方法

特别注意：

拟静力刚度矩阵不仅与[K]有关，而且与质量和阻尼有关；

拟静力荷载向量不仅取决于地震加速度增量，而且取决于前2、计算拟静力刚度矩阵；3、从初始条件、4、求解拟静力增量方程，得到相对位移增量；5、计算相对速度增量，分别迭加相对位移增量与相对速度增量得

到本步末的计算位移与计算速度；6、计算本步加速度增量，迭加加速度增量得本步末加速度计算值7、以本步末的速度和加速度作为初始状态，返回到第3步继续下

一时段的计算。、刚度阵[K]上海防灾救灾研究所Shanghai

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of

Disaster

Prevention

、阻尼阵

[C]{U}0&{U}0开始计算拟静力荷载向量&&

同济大学

Tongji

University

线性加速度方法•线性加速度方法一般步骤：

1、生成质量阵

[M]同济大学Tongji

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Disaster

Prevention线性加速度方法

线性加速度方法特点：

计算和理论分析表明，为使计算有足够的精

度，积分步长应小于系统周期的十分之一。

不仅能用于分析线性结构，而且能用于分析非线

性结构。}

=

{U

j}+{U

&

j}Δt

+

(

−

β

){U

&&}

j

(Δt)

2

+

β{U

&&

j+1}(Δt)

2上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention

同济大学

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University纽马克β法和威尔逊θ法1、纽马克β法是一种将线性加速度方法普遍化的方法。其基本方程为

：显然，线性加速度法是纽马克β法在α＝1/2，β＝1/6时的特例。12{Uj+1&

&

&&

&&{U

j+1}={U

j}+(1−α){U}jΔt

+α{U

j+1}Δt{U

(t

+

θΔt}

=

{U

(t)}

+

{U

&}θ

⋅

Δt

+{U

&&(t)}

+&(t

+θΔt}={U

&(t)}+θΔt{U

&&(t)}+θΔt{U

&&(t

+θ

⋅Δt}同济大学Tongji

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Disaster

Prevention3

6(θΔt)

2

(θΔt)

2{U&(t

+

θ

⋅Δt}&2

2{U

而在t＋θ·Δt时的运动方程为：[M]{

U(t+θ⋅Δ)}+[C]{

U(t+θ⋅Δ)}+[K]{

U(t+θ⋅Δ)}=−[M]{

Ug(t+θ⋅Δ)}&&

t

&

t

t

&&

t纽马克β法和威尔逊θ法2、威尔逊θ法是线性加速度法的变形。两者的区别在于，线性加速度方法

是在时刻t＋Δt使用运动方程，而θ法则将运动方程应用于更后一点时刻

t＋θ·Δt（θ>1）。其基本方程为：上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention应用上述基本公式求得t＋θ·Δt时刻的反应值，再在t与t＋θ·Δt之间作线性内差求得t＋Δt

时刻的反应量作为下一时段计算的初始状态，继续下一步计算。

同济大学

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University纽马克β法和威尔逊θ法上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention

同济大学

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University时域分析方法的收敛性与稳定性1、时域分析的收敛性，是指当步长Δt趋于无穷小时，逐步积

分法解的误差也趋于无穷小。以上方法都是收敛的。2、稳定性，是指差分法在任意时间步长上所得到的解是否会

因为初始条件或计算过程中舍入误差的扩散而导致无限的增

长或振荡问题。若结果不受时间步长的影响，则算法是无条

件稳定的，反之为有条件稳定。同济大学Tongji

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Disaster

Prevention时域分析方法的收敛性与稳定性

纽马克β法，当α＝1/2，β＝1/4时（平均常加速度值）为无

条件稳定的。α＝1/2，β＝1/6时（线性加速度算法）为有条件

稳定的（稳定步长的临界值为Δt

/Tmin<0.55,

Tmin为指定结构最

小周期）。对威尔逊θ法，采用全量形式求解，θ≥1.37时为无

条件稳定的。3、具有收敛性和稳定性的算法并不能保证解的误差在可接受的范

围内，控制计算误差在容许误差范围内的方法与积分步长的选取

密切相关。

对于线性结构，Δt的选取应满足：

Δt＝min{1/6Ts,1/2Te,

ΔT0}

Ts为结构最低周期,Te为地震波最低周期分量，ΔT0为地震波时

程的数值化时间间隔同济大学Tongji

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Disaster

Prevention阻尼的处理

对于均质材料或单一类型的材料，可以采用瑞利

比例阻尼的假定：

[C]=a[M]+b[K]

比例常数可以根据振型分解方法由选定的两个振

型阻尼比和相应的自振频率表示。

ζi

ζ

j

1

1

ωi

ωj

i

j

2

ζ

i、ωi

为第i振型的阻尼比和自振频率。同济大学Tongji

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Disaster

Prevention第三节频域分析方法一、什么是频域分析方法二、频域传递函数三、线性单自由度体系的地震反应四、线性多自由度体系的地震反应上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention同济大学Tongji

University

什么是频域分析方法？••••线性系统的动力响应，在时域内表现为振幅反应时程随时间的变化，在频域内则表现为系统能量在各频段内的分布。时域分析方法的基本思路是将时间过程离散化，在每个小时段内把动力问题化为拟静力问题求解，然后迭加得到总体反应。频域分析的基本思路是将频域离散化，针对每个小频段内的动力问题运用频域传递函数求解，然后迭加得到总体反应。

广泛应用于土结构相互作用的确定性地震反应分析和线性结构的随机地震反应分析等领域。∫e同济大学Tongji

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Disaster

Prevention

频域传递函数

传递函数描述系统输入与输出量之间的一般关系。

频域传递函数描述线性系统输出量与输入量在频域内的传

递关系。设一般的线性系统为：

H(iω)a0y(n)

+

a1y(n−1)

+

a2y(n−2)

+L+

any

=

b0x(m)

+b1x(m−1)

+L+bmx

式中，a，b表示与时间无关的常系数；y为输出量；x为

输入量，（.）表示关于时间t的导数的阶数。

对上式作关于t的傅立叶变换，可得一般项：

∞−

∞a

j

y

(

n

−

j

)e

−

iω

tdt

=

a

j

(ω

i)

n

−

jY

(ω

)∫X(ω)bjxm−j

∞−∞(m−j)

−iωtdt=bj(ωi)同济大学Tongji

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Disaster

Prevention

频域传递函数

n

令：

j=0

m

j=0

则方程化为：

An(iω)Y

(ω)

=

Bm

(iω)X

(ω)

H(iω)

=

An(iω)则方程变为：Y(ω)=H(iω)X(ω)

H(iω)

称为系统的频域传递函数。对于线性系统，计算传递函数时，只要把原微分方程中的微分算子带之以

(iω)n并做简单代数运算即可。同济大学Tongji

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Disaster

Prevention

频域传递函数频域传递函数表示输入为单位谐和激励时的系统稳态反应。是一个复数，H(iω)

可以写成模与幅角的形式：

H(iω)=

H(iω)e−ϕ(ω)i

式中，模

H(iω)

表示系统反应与激励在频域内的幅值比，又称为增益因子；幅角

ϕ(ω)

表示反应与激励之间的相位差，又叫相位因子u

&&+

2ξω

0u

&

+

ω

0

u

=

−u

&&g上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention

同济大学

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University线性单自由度体系的地震反应&&

&

&&2则动力方程变为：线性单自由度体系在一维地震动输入时的动力方程为：

mu

+

cu

+

ku

=

−mu

g

令ω0

=

k

/m,ξ

=c/2mω0由于输入量是地面加速度

ug

而不是地面位移，所以关于输入量的算子D(n)的阶数是零。&&上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention则线性单自由度体系的频域地震反应解为：&&通过傅立叶变换，可以将输入

−ug

转换为频域内的函数：∫

∞−

∞dt−

iω

tP

(ω

)

=

−u&

g

(t

)e&2ω

0

P

(ω

)−

ω

2

+

2ξω

0ω

iu

(ω

)

=21+

2ζω

0ω

iω

0

2

−

ωH

(iω

)

=

同济大学

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线性单自由度体系的地震反应此体系的频域传递函数为：∫u(ω)e

dω上海防灾救灾研究所Shanghai

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Prevention

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University线性单自由度体系的地震反应通过傅立叶逆变换，可将解答u(w)转化为时域反应：

∞−∞iωtu(t)

=

12π同济大学Tongji

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Disaster

Prevention4、采用快速傅立叶逆变换将反应量转化为时域反应

•频域方法进行线性体系地震反应分析的一般步骤1、根据动力方程求出频域传递函数

H(iω)2、用快速傅立叶变换将输入变换为频域内的函数3、应用频率传递函数对每一频率分量求出反应量P(ω)u(ω)u(t)∑同济大学Tongji

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Disaster

Prevention)

线性多自由度体系的地震反应

多自由度体系一般是多输入、多输出系统，因此，频域传递函数有交叉性。交叉性频域传递函数计算的原则是：逐个输入，分离输出。

为此，先定义广义频域传递函数的概念

广义频域传递函数

H

lk

(iω

是指在第k个自由度处输入单位谐和激励时所引起的第l个自由度的输出反应值。因此，当第k个自由度处输入不是单位谐和激励，而是一般的

x

k

(t

)时，则第l自由度处关于频率的反应值为：

Y

lk

(ω

)

=

H

lk

(iω

)

X

k

(ω

)

设线性多自由度体系具有输入的自由度数为m，则所有输入在l

端产生的反应值可由迭加原理给出：klkH

mk

=1(ω

)(iω

)

XY

l

(ω

)

=上海防灾救灾研究所Shanghai

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Disaster

Prevention

同济大学

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University线性多自由度体系的地震反应

采用广义频域传递函数概念进行多自由度体系频域分析的优点在于它提供了一个一般的理论框架，就具体计算而言，这种分析是相当繁琐的。因此实际应用中往往利用振型分解法。即先将多自由度体系转化为一系列等效单自由度体系，然后利用单自由度体系的频域分析方法进行计算，最后应用振型迭加原理给出总体反应。同济大学Tongji

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Prevention第四节振型迭加法一、振型迭加法的引入二、振型时域分析法三、振型频域分析法四、振型分解反应谱法同济大学Tongji

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Disaster

Prevention振型迭加法的引入

线性体系的时域分析法与频域分析法都是从对输入的

离散化着手进行体系动力反应的分析。

振型迭加法则通过对结构振动特征的离散化来实现体

系动力反应的离散化，然后根据实际需要，选取部分主

导特征反应，运用迭加原理求取结构体系的动力反应。

对振动主导特征反应量的计算则可以采用时域分析的

方法，也可以采用频域分析的方法。同济大学Tongji

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Disaster

Prevention振型迭加法的引入

利用振型分解原理，将耦合的动力方程化为解耦的等效

单自由度方程分别求解，然后将各振型反应迭加起来，获取

体系的总动力反应，即为振型迭加法。

在结构体系的运动过程中，前几个低阶振型的运动在总

运动中依次占据主导地位。对于高层建筑或动力自由度较多

的体系，一般选取前9～15个振型，对于大量的较低的一般

性建筑，可以取前1～3个振型分析。mi&

x

&i

+∑cijx

&i

+∑kijxi

=

−mi&

x

&g上海防灾救灾研究所Shanghai

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Prevention

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University•运动方程线性多自由度体系输入一维水平地震动的运动方程mim2m1mNxixg(t)&&

&&

惯性力弹性恢复力

阻尼力&

&

&

Ii

=

mi(xi

+

xg）Si

=

ki1x1

+ki2x2

+LkinxnRi

=

ci1x1

+ci2x2

+Lcinxn运动方程

n

nj=1

j=1&&

&

&&

i

=1,2,LN[m]{x}+[c]{x}+[k]{x}=

−[m]{I}xg(t)∑同济大学Tongji

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Disaster

Prevention•运动方程的解

运动方程的解：采用结构动力学中的振型分解法，多自由

度线性体系的振动位移x(t)可以表示为各振型下位移反应

的叠加（线性组合）。X

jiq

j

(t

)

nj

=

1x

i

(t

)

=3(

)2(

)1(

)121311(t)12122232(t)3132333++同济大学Tongji

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Disaster

Prevention•运动方程的解——续

以两个自由度线性体系为例

将质点

m1和m2在地震作用下任一时刻

的位移

x1(t)和

x2(t)用

其两个振型的线性组合

来表示，即：

x1(t)

=

q1(t)X11

+

q2(t)X

21

⎫

⎬

q1(t)

、

q2(t)是时间的函数，称为广

义坐标，表示在质点任

一

时刻的变位中第一振型

与第二振型所占的分量

。&&

&

&&[m]{x}+[c]{x}+[k]{x}=

−[m]{I}xg(t)代入运动方程∑∑上海防灾救灾研究所Shanghai

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Prevention

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University•运动方程的解——续即当各质点位移式中合，从而使的耦合，即令：阵和刚度矩阵的线性组条件，以消除振型之间jj

振型的振型参与系数。m

i

Xm

i

X

{X

}

Tj

[m]{}{X

}

Tj

[m]{X

}j1ji2ji==

ni=1

ni=1x1

=

x

2

=

L

x

j

=

L

x

n

=

1时的

q

j值。&&

&

&&&&

&

&&γ

j

−

−

−

体系在地震反应中第γ式中

α

1

、

α

2

−

−

−

比例常数

故得：[m][X

]{q}+

(α

1[m]+

α

2[k])[X

]{q}+

[k][X

]{q}=

−[m][x

0]将上式等号两边各乘以

{X

}

Tj，得：{X

}

Tj

[m][X

]{q}+

{X

}

Tj

(α

1[m]+

α

2[k])[X

]{q}+

{X

}

Tj

[k][X

]{q}=

−{X

}

Tj

[m][x

0]根据振型对质量矩阵和

刚度矩阵的正交性，整

理后得

;

2

j

j假定阻尼矩阵是质量矩阻尼矩阵亦能满足正交[c]=

α

1[m]+

α

2[k]

式中

ζ

j

−−−对应于

j振型的阻尼比，

ω

j为相应于第j振型的原频率；

γ

j为第j振型的振型参与系数

求解上式通常利用关于

线性单自由度体系的时域分析方法或频域

分析方法

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University•运动方程的解——续则运动方