2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 　 第一章　1-2　数列的函数特性、递推公式 课件（35张）

激趣诱思斐波那契,意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部,其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》.《算盘全书》中有一个著名的兔子繁殖问题:如果一对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄),而每一对子兔在出生后第三个月里又能生一对兔子.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子?从第1个月开始,以后每个月的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,这就是著名的斐波那契数列.这个数列的规律是递推关系:Fn=Fn-1+Fn-2(n>2,n∈N+).其中Fn表示第n个月的兔子的总对数.那么什么是递推关系呢?知识梳理一、数列的单调性一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,那么这个数列叫作递增数列.注意n∈N+如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即an+1<an,那么这个数列叫作递减数列.如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.注意n∈N+名师点析1.数列的单调性可以借助数列对应的图象直观理解,数列是一种特殊的函数,可以把数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数;2.数列的图象是散点图.微判断(1)如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列.(

)(2)无穷数列不可能是常数列.(

)××微练习下列叙述正确的是(

)A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}C.数列0,1,0,1,…是常数列答案

D二、数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的递推公式.

不是所有的数列

都能写出递推公式名师点析通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.微练习设数列{an}满足a1=1,an=1+

(n∈N+,n>1),则a3=

.

课堂篇探究学习探究一作数列的图象并判断其单调性例1作出下列数列的图象,并根据图象判断数列的单调性.(1)数列{an}的通项公式是an=2n+3;(2)数列{bn}的通项公式是解

(1)作图如下:由图知数列{an}是递增数列.(2)作图如下:由图知数列{bn}是递减数列.反思感悟数列的单调性除了画出散点图进行判断外,还可以根据数列单调性的定义,利用an+1与an的大小进行判断.变式训练1已知数列{an}的通项公式为an=-n2+2n-2.画出数列{an}的图象,并判断其单调性.解

作图如下:由图知数列{an}为递减数列.探究二数列单调性的应用答案

D解析

结合函数的单调性,要使{an}递增,则应有

解得2<a<3,故选D.反思感悟利用数列{an}的单调性解决问题时,要结合函数单调性的知识,同时要注意数列本身的特性,如n的取值是正整数.变式训练2已知数列{an}满足an=

(n∈N+),若对于任意n∈N+都有an>an+1,则实数a的取值范围是

.

探究三数列的递推公式及应用角度1

由数列的递推公式求数列的项

例3若数列{an}满足a1=2,an+1=,n∈N+,求a2021.反思感悟数列的递推公式反映的是数列相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项,而递推公式则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项.若求项数很大的项,则应考虑数列是否具有某种规律性.变式训练3(多选题)已知数列{an}中,a1=3,an+1=-,能使an=3的n可以为(

)A.22 B.24 C.26 D.28答案

AD所以数列{an}是周期为3的数列,故a22=a28=3.角度2

由数列的递推公式求通项公式例4(1)对于任意数列{an},等式:a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N+)都成立.试根据这一结论,完成问题:已知数列{an}满足:a1=1,an+1-an=2,n∈N+,求数列{an}的通项公式;素养形成思想方法——函数思想在数列最值问题中的应用典例(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N+.①数列中有哪些项是负数?②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1)(n∈N+),试问数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.思路分析

(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.(1)解

①an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.∵n∈N+,∴数列中第1,2,3,4,5项为负数,即-10,-12,-12,-10,-6.∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,反思感悟求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.变式训练若已知数列的通项公式an=,n∈N+,试求该数列{an}的最小项.当堂检测1.若数列{an}满足an=3n,则数列{an}是(

)A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.以上都不对答案

A解析

an+1-an=3n+1-3n=2×3n>0,∴an+1>an,即{an}是递增数列.2.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(

)A.an=an-1+2(n≥2)B.