广西壮族自治区玉林市水鸣中学2022年高三数学文模拟试卷含解析

广西壮族自治区玉林市水鸣中学2022年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数则下列关于函数的零点个数的判断正确的是(

)A.当时，有3个零点；当时，有2个零点B.当时，有4个零点；当时，有1个零点C.无论为何值，均有2个零点D.无论为何值，均有4个零点参考答案：B

2.已知函数f(x)为(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(2012)＋f(2013)的值为A．－2

B．－1

C．0

D．1参考答案：D略3.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形区域的A处于C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域．该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为(

) A． B．1﹣ C． D．1﹣参考答案：B考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：求出有信号的区域面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．解答： 解：信号覆盖范围为阴影区域，其面积之和2=2，则该地点无信号的面积S=e2﹣2，则对应的概率P==1﹣；故选：B．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，平面图形面积的计算，根据条件求出对应的面积是解决本题的关键．4.是定义在R上的奇函数，满足，当时，，则的值等于 （

）

A． B． C． D．参考答案：B略5.若，则的值为A． B．

C． D．参考答案：D6.已知变量，满足约束条件，则的最大值为

（

）

A．2

B．

C． D．参考答案：A略7.已知抛物线，圆，直线，自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B8.如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象．已知n分别取±2，四个值，与曲线c1、c2、c3、c4相应的n依次为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】幂函数图象及其与指数的关系．【专题】数形结合．【分析】由题中条件：“n取±2，±四个值”，依据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象特征可得．【解答】解：根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象，当n＞0时，n越大，递增速度越快，故曲线c1的n=2，曲线c2的n=，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n=，曲线c4的﹣2，故依次填2，，﹣，﹣2．故选A．【点评】幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．9.在区间[﹣1，5]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】几何概型．【分析】在该几何概型中，其测度为线段的长度，根据P（|x|≤m）=得出m﹣（﹣1）=3，即可求出m的值．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，∵x∈[﹣1，5]，又|x|≤m，得﹣m≤x≤m，∴|x|≤m的概率为：P（|x|≤m）==，解得l=3，即m﹣（﹣1）=3，∴m=2．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，是事件发生的概率与构成该事件区域的长度成比例，是基础题．10.函数的零点个数是

(A)0

(B)l

(C)2

(D)4参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，，则角A的大小为

.参考答案：12.已知sinx=2cosx，则sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x=．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）由于sinx=2cosx，可得tanx=2．利用“弦化切”可得=【解答】解：∵sinx=2cosx，∴tanx=2．那么sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x===．故答案为【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．13.一个直径等于2的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点,使，为半圆上的一个动点，、分别为在、上的射影。当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值是________________.参考答案：略14.定义在R的函数y=，如果函数图象上任意一点都在曲线y2=|x|上，则下列结论正确的是

__

（填上所有正确结论的序号）

①f(0)=0；

②函数y=值域为R；

③函数y=是奇函数；

④函数y=的图像与直线x=1有且仅有一个交点；

⑤函数y=的图象与直线y=1最多有两个交点参考答案：①④⑤①当时所以成立;②函数的图像可能都在轴上方，错误;③函数可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能非奇非偶;④根据函数定义，函数的图像与直线有且仅有一个交点.正确;⑤函数的图像与直线可能有一个，两个，也可能没有交点.15.的展开式中的常数项的值是__________．（用数学作答）参考答案：60【分析】根据二项式定理确定常数项的取法，计算得结果.【详解】因为，所以令得，即常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.16.函数的定义域为

参考答案：略17.设数列都是等差数列,若,则______。参考答案：35

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣．利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）∵=，解f′（x）＞0，得；解f′（x）＜0，得．∴函数f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．故f（x）在x=取得最大值，且．（2）函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，c==g（x），则=．令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．∴c．②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣，得到c=lnx﹣=m（x），则=＞0，故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=．综上①②可知：当时，方程|lnx|=f（x）无实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．19.（12分）（2014春?赤坎区校级期末）已知函数f（x）=log3．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅲ）当x∈[﹣，]时，函数g（x）=f（x），求函数g（x）的值域．参考答案：【考点】对数函数图象与性质的综合应用．

【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据对数式的真数部分大于0，构造关于x的不等式，解不等式可得函数f（x）的定义域；（II）根据函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=﹣f（x），结合函数奇偶性的定义，可得结论；（III）当x∈[﹣，]时，先求出真数部分的取值范围，进而可得函数g（x）的值域．解：（I）要使函数f（x）=log3的解析式有意义，自变量x须满足：＞0，解得x∈（﹣1，1），故函数f（x）的定义域为（﹣1，1），（II）由（I）得函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log3=log3（）﹣1=﹣log3=﹣f（x）．故函数f（x）为奇函数，（III）当x∈[﹣，]时，令u=，则u′=﹣＜0，故u=在[﹣，]上为减函数，则u∈[，3]，又∵g（x）=f（x）=log3u为增函数，故g（x）∈[﹣1，1]，故函数g（x）的值域为[﹣1，1]．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的定义域，值域，奇偶性，解分式不等式，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．20.已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣x）（I）若a=﹣1，求f（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），AB的中点为C（x0，0），求证：f′（x0）≠0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，根据函数的单调性确定a的范围即可；（Ⅲ）根据ln﹣=0，得到ln﹣=0，设t=（0＜t＜1），则lnt﹣=0，令u（t）=lnt﹣（0＜t＜1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（I）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=+2ax﹣a=，当a=﹣1时，f′（x）=，由f′（x）=0，∴x=﹣或x=1，x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）单调递增极大值单调递减∴x=1时，f（x）极大值=0，无极小值．（Ⅱ）f′（x）=，∵f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0在（0，+∞）内有解，即关于x的不等式2ax2﹣ax+1＜0在（0，+∞）内有解，若a=0，则f′（x）=＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不存在单调递减区间；若a＞0，则函数y=2ax2﹣ax+1的图象是开口向上的抛物线，且恒过点（0，1），要使关于x的不等式2ax2﹣ax+1＜0在（0，+∞）内有解，则应有，∴a＜0或a＞8，由于a＞0，∴a＞8；若a＜0，则函数y=2ax2﹣ax+1的图象是开口向下的抛物线，且恒过点（0，1），关于x的不等式2ax2﹣ax+1＜0在（0，+∞）内一定有解．综上，a＜0或a＞8；（Ⅲ）依题意：x1+x2=2x0，假设结论不成立，即f′（x0）=0，则有，①﹣②，得ln+a（﹣）﹣a（x1﹣x2）=0，∴ln+a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣a（x1﹣x2）=0，由③得，+a（x1+x2）﹣a=0，∴ln﹣=0，即ln﹣=0，设t=（0＜t＜1），则lnt﹣=0，﹣﹣﹣④令u（t）=lnt﹣（0＜t＜1），∴u′（t）=＞0，∴u（t）在（0，1）上为增函数．∴u（t）＜u（1）=0，即lnt﹣＜0，与④式矛盾∴假设不成立，∴f′（x0）≠0．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．21.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求面积的最大值．参考答案：（1）；（2）【详解】试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为（）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积当时，S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.22.（12分）（2014?厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段EF段GH段堵车概率xy平均堵车时间（单位：小时）a21经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵