五年级上册数学培优奥数讲义-第16讲 估算与近似值

第16讲估算与近似值知识与方法1、在计数、度量和计算过程中，得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。但在大多数情况下，得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数，这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。取近似值的方法一般有：（1）四舍五入法；（2）去尾法；（3）进一法。2、在某些计算中，我们要估算出结果的整数部分，往往不需要通过直接计算得出。可通过将算式整体放大或者整体缩小的方式，将计算结果限定到一定的范围内，从而得到想要的结果，这种方法叫做放缩法。初级挑战1有一列数，第一个数是15，第二个数是20，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数。那么第19个数的整数部分是多少？思维点拨：根据题意可将这列数依次往下写出来：15，20，（），（），（），（）…，观察后面的数整数部分的特点。

答案：写出这列数为：15、20、17.5、18.75、18.125、18.4375…不难发现，从18.75开始后面的数都是比18大，比19小，整数部分都是18。所以第19个数的整数部分是18。能力探索1有一列数，第一个数是25，第二个数是32，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数。那么第2013个数的整数部分是多少？答案：写出这列数为：25，32，28.5，30.25，29.375，29.8125，29.59375…，后面的数的整数部分都是29，所以第2013个数的整数部分是29。初级挑战2设A＝0.8＋0.88＋0.888＋0.8888＋0.88888，求A的整数部分。思维点拨：直接相加求和，计算稍复杂，观察题目是要求A的整数部分，可进行估算。放缩法：假设5个加数都比最大的加数0.88888大，不妨设都为0.9，则A小于：（）；假设5个加数都等于最小的加数0.8，则A大于：（）；由此可知（）＜A＜（），从而得出A的整数部分。答案：A的大小在5×0.8＝4和5×0.9＝4.5之间，比4大，比4.5小。所以A的整数部分为4。能力探索21、0.9＋0.99＋0.999＋0.9999＋0.99999的整数部分是多少？答案：设A＝0.9＋0.99＋0.999＋0.9999＋0.99999可知，A大于：0.9×5＝4.5，A小于：1×5＝5，所以它的整数部分肯定是4。2、求5.6＋5.65＋5.665＋5.6665＋…＋5.6666666665的和的整数部分。答案：根据题目条件，可知有10个数相加，记和为A。可知A＞5.6×10＝56，A＜5.7×10＝57。所以和的整数部分为56。中级挑战1设A＝16÷（0.40＋0.41＋0.42＋…＋0.59），求商的整数部分。思维点拨：被除数是16，要确定除数大小之后，才能确定商的大小。采用放缩法来确定除数的范围：假设题中括号里的每个加数都是0.4，则A小于：16÷（）＝（）；假设题中括号里的每个加数都是0.6，则A大于：16÷（）＝（）；由此可知商的取值范围。答案：A小于16÷（0.4×20）＝2，大于16÷（0.6×20）＝，商的整数部分是1。能力探索3设A＝20÷（0.50＋0.51＋0.52＋…＋0.69），求商的整数部分。答案：假设括号中的每个加数都是0.5，20÷（0.5×20）＝2；假设括号中的每个加数都是0.7，20÷（0.7×20）＝20÷14＞1；所以，A大于1，小于2，商的整数部分是1。中级挑战2求31.71901×1.279803的整数部分。思维点拨：直接相乘求积，计算太复杂，通过缩放，可以求出积的范围。（）×（）＜31.71901×1.279803＜（）×（），再确定积的整数部分。答案：设A＝31.71901×1.279803，可知A大于:31.7×1.27＝40.259；A小于:31.8×1.28＝40.704；所以积的整数部分为40。能力探索4求19.9674×2.54913的整数部分。答案：设A＝19.9674×2.54913，A小于:20×2.55＝51；A大于:19.9×2.54＝50.546，所以积的整数部分为50。聪明泉数学家赵爽赵爽，三国时期东吴的数学家，曾注《周髀算经》。他所作的《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》全文五百余字，并附有数幅插图（已失传），这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。拓展挑战5.02×1.29＋5.03×1.28＋5.04×1.27的整数部分是多少？思维点拨：三个乘法算式结果无法比较大小，因此不能直接进行放缩。设A＝5.02×1.29＋5.03×1.28＋5.04×1.27；假设三个乘法算式都为：5.02×1.27，则A大于：5.02×1.27×3＝19.1262；同理，假设三个乘法算式都为：5.04×1.29，则A小于为：5.04×1.29×3＝19.5048。即19.1262＜A＜19.5048，因此A的整数部分是19。能力探索52.94×1.51＋2.93×1.52＋2.92×1.53的整数部分是多少？答案：设A＝2.94×1.51＋2.93×1.52＋2.92×1.53；2.92×1.51×3＜A＜2.94×1.53×3，即13.2276＜A＜13.4946，因此A的整数部分是13。课堂小测：1、有一列数，第一个数是30，第二个数是40，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数。那么第2013个数的整数部分是多少？答案：根据题意得出：30，40，35，37.5，36.25，36.875，36.5625……不难发现后面的数都比36大,比37小，整数都是36。所以第2013个数的整数部分是36。2、设A＝1.09＋1.009＋1.0009＋…＋1.00000000009，求A的整数部分。答案：A小于1.09×10＝10.9；A大于1×10＝10，所以A的整数部分为10。3、设A＝14÷（0.50＋0.51＋0.52＋…＋0.69）。求A的整数部分。答案：14÷（0.7×20）＜A＜14÷（0.5×20）即1＜A＜1.4所以A的整数部分为1。4、求13.98×1.487的整数部分。答案：设A＝13.98×1.487，A小于:14×1.5＝21；A大于:13.9×1.48＝20.572，所以积的整数部分为20。5、8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22的整数部分是多少？答案：设A＝8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22A大于：8.01×1.22×3＝29.3166；A小于：8.03×1.24×3＝29.8716；所以整数部分为29。※6、老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算的答案是12.43，老师说最后一位数字写错了，其它数字都对，这13个自然数的和是多少？答案：小明的计算答案是12.43，只有最后一个数字写错了，即13个自然数的平均数在12.4和12.5之间。可采用放缩法将这13个自然数之和的范围确定。13个自然数的和肯定还是自然数，所以这13个自然数的和是大于或等于12.4×13＝161.2，小于12.5×13＝162.5的自然数，只能是162。课后作业1、8.9＋8.98＋8.998＋…＋8.9999999998的和的整数部分是多少？答案：放缩法：假设这10个加数都是8.9，则结果为8.9×10＝89，假设这10个加数都是9，则结果为9×10＝90，所以89＜和＜90，因此和的整数部分为89。2、求5.2＋5.22＋5.222＋…＋5.2222222222