2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编 概率统计（学生版+解析版）（共2讲）

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题56概率统计第一讲

1.[2021年吉林预赛】某食品厂制作了4种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡

片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品小明一次性购买该种食品6袋，那么小明获奖的概

率是.

2.[2021年全国高中数学联赛A卷一试】一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.

随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为的,。2，。3,则事件+

a3l+la3-ail=6”发生的概率为.

3.（2021年全国高中数学联赛B卷一试】设的,a2,是1,2,…,10的一个随机排列，则在

。遂2，。2a3,…，这9个数中既出现9又出现12的概率为.

4.【2020年福建预赛】在以凸18边形的顶点为顶点构成的三角形中，任取一个三角形,则所取的三角形与该

18边形无公共边的概率为.

5.【2020年甘肃预赛】从1,2,…,10中任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为

6.[2020年吉林预赛】两人轮流投掷色子，每人每次投掷两个，第一个使两个色子点数之和大于6者为胜，否

则轮到另一个人投掷.则先投掷人获胜的概率为.

7.【2020年新疆预赛】由集合｛1,2,3,4,…,10｝中选出5个数，组成该体合的子集，从这些子集中任取一个，

则取出的子集满足该子集中的5个数中任意两个数的和都不等于11拿概率为.

8.【2019年全国】在1,2,3…，10中随机选出一个数“，在-1,-2,-3.…，-10中随机选出一个数江则

/+匕被3整除的概率为.

9.【2019年江苏预赛】从L2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数，并从小到大排成一数列，此数列为等比数列

的概率为—.

答案《

【解析】满足条件的等比数列共有4个1,3,9;2,4,8;4,6,9.

故所求概率P=A=A

10.【2019年上海预赛】某侦查班有12名战士，其中报务员3名现将这12名战士随意分成三组，分别有3名、

4名、5名战士则每一组均有1名报务员的概率为.

11.[2019年新疆预赛】随机取一个由0和1构成的8位数，它的偶数位数字之和与奇数位数字之和相等的

概率为.

12.【2019年贵州预赛】已知m。{11,13,15,17,19},nG{2000,2001,……,2019}则nf的个位数是1的概率为一

13.【2018年江苏预赛】将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数随机填入3X3的方格表中，每个小方格恰

填写一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概率是.

14.[2018年重庆预赛】从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率

15.【2018年安徽预赛】从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s24l的概率

16.【2018年山东预赛】甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；

前一场的输者，则下一场先掷.若第一场甲先掷，则甲匾得第n场的概率为.

17.【2018年湖北预赛】一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数

的概率为.

18.【2018年甘肃预赛】某市公租房房源位于4B,C三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房

子.申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意4位申请人中，恰有2人申请4小区房源的

概率是.

19.【2018年福建预赛】从如图所示的，由9个单位小方格组成的，3x3方格表的16个顶点中任取三个

顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为.

20.【2018年全国】将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为小b,c,d,e,f,则Hc+时是偶数的概率

为.

21.12018高中数学联赛A卷（第01试）】将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为”,，c,d,e,f,则

。历+的,是偶数的概率为.

22.【2018高中数学联赛B卷（第01试）】将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为，b,c,d,e,f,

则时c+d牙是奇数的概率为.

23.12017高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，点集K=｛（x,y）\x,y=~\,0,1在

K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为6的概率是.

24.12017高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系，中，点集K=｛（x,y）\x,y=—1,0,1｝.在

K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.

25.【2017年天津预赛】正2017边形4遇2”/2017内接于单位圆。，任取它的两个不同顶点4,勺则编「明〉

之的概率是.

26.【2017年福建预赛】将8个三好生名额分配给甲、乙.丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分

到2个名额的概率为.

27.【2017年湖北预赛】六个人围成一圈玩掷硬币游戏（硬币质地均匀），每人掷一次硬币.规定：硬币反面朝上

的要表演节目，正面朝上的不用表演，则没有两个表演者相邻的概率为.

28.【2017年陕西预赛】袋中装有2个红球,3个白球、个黄球，从中任取4个球,则其中三种颜色的球都有的

概率是.

29.[2017年甘肃预赛】某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中

的机会均等），则在男生甲被选中的情况下,男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是.

30.【2017年贵州预赛】掷一枚硬币，每次出现正面得1分，出现反面得2分.反复掷这枚硬币，则恰好得n分的

概率为.

31.【2017年安徽预赛】设正八面体的边长是1,则其两个平行表面之间的距离是.

32.【2017年安徽预赛】设n是正整数，随机选取｛1,2，…/｝的非空子集A和民则4nB不是空集的概率是一

33.[2017年广东预赛】从各位数字两两不等且和为10的所有四位数中任取两个数，则2017被取到的可能

性为.

34.[2017年广西预赛】一名篮球队员进行投篮练习.若第n次投篮投中，则第n4-1次投篮投中的概率为玄若第

n次投篮不中，则第n+1次投篮投中的概率为|.若该队员第1次投篮投中的概率为|,则第4次投篮投中的概率

为.

35.[2017年新疆预赛】在边长为3的正方形中随机选取n个点，其中与正方形的顶点距离小于1的点有m个,

则用随机模拟的方法得到的圆周率兀的试验值为.

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题56概率统计第一缉

1.【2021年吉林预赛】某食品厂制作了4种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡

片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品小明一次性购买该种食品6袋，那么小明获奖的概

率是.

【答案】gl

【解析】总共有46种可能，其中获奖的情况可分为两类，第一类是有3袋食品的卡片相同的获奖情况（即

AAABCD）有瑶x4!种，第二类是有两组2袋食品的卡片相同的获奖情况（即AABBCD）有竿x4!种.

所以概率是爱.

2.[2021年全国高中数学联赛A卷一试】一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.

随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为由,。243,则事件”|即-a2|+|a2-

a3\+|a3-%|=6”发生的概率为.

【答案】；

a

【解析】注意到|@i-a2\+\a2-Q3I+1。3-i\=2%跄%-Zm.map因此，掷得的三个点数的,a?，的满足

条件，当且仅当最大数与最小数之差为3,即是X，%++3的一个排歹lj,其中％E{1,2,3},d6

{0,123}.

对每个xG{1,2,3},当d=0或d=3时,%，工+d,x+3各有3种不同的排列，当d=1或d=2时,+d,x+3

各有6种不同的排列.

因此，满足条件的点数出,。2，03有3x（2x34-2x6）=54种情况.

从而所求概率为号=

6，4

3.[2021年全国高中数学联赛B卷一试】设的,。2,…,a]。是12…,10的一个随机排列，则在

2a3,…，。9。10这9个数中既出现9又出现12的概率为.

【答案吗

【解析】一个随机排列满足要求当且仅当该排列中1.9两数相邻，且2,6与3,4中至少有一对数相邻.现计算这

样的排列的个数N.设这些排列中2,6相邻的排列有Ni个，3,4相邻的排列有4个,2,6与3,4两对数都相邻的

排列有N3个.

为计算M，先将1,9两数“捆绑”,2,6两数“捆绑”，并将它们与剩下的6个数进行排列，有8!种方式，又考虑到1,9

的次序与2,6的次序，得Ni=2?x8!.

23

类似可知N?=2x8!,N3=2X7!.

由容斥原理，N=M+N2-必=8x(8!-7!)=7x8!.

因此,所求概率为卷=点

4.【2020年福建预赛】在以凸18边形的顶点为顶点构成的三角形中，任取一个三角形,则所取的三角形与该

18边形无公共边的概率为.

【答案】卷

【解析】以凸18边形的顶点为顶点的三角形个数为C"

对于凸18边形的任意一个顶点A,要取与凸18边形无公共边的三角形的一个顶点，则三角形的另两个顶点

B,C不能为顶点4在凸18边形中的两条边的另两个顶点，只是其他15个顶点中的不相邻的两个顶点，共有

C%-14种不同的选取方法.故与原凸18边形无公共边的三角形个数为]x18(Cfs-14).

因此,所求的概率为当上4=袅.

5.【2020年甘肃预赛】从1,2,…,10中任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为

【答案】J

O

【解析】设取出的三个数为a>b>c.由题意，知a、c奇偶性相同.故p=g髻=M=；.

1206

6.[2020年吉林预赛】两人轮流投掷色子，每人每次投掷两个，第一个使两个色子点数之和大于6者为胜，否

则轮到另一个人投掷.则先投掷人获胜的概率为.

【答案】g

【解析】同时投掷两个色子点数和大于6的概率为2=白，从而，先投掷人的获胜概率为

3612

V+舄¥X5+舄尸X5+…

7112

=——X-----寸=一.

121-—17

144

7.【2020年新疆预赛】由集合{1,234,…,10}中选出5个数，组成该体合的子集，从这些子集中任取一个，

则取出的子集满足该子集中的5个数中任意两个数的和都不等于11拿概率为.

【答案】白

【解析】易知由集合{1,2,3,4,…,10}中选出5个数，组成该体合的子集个数为：C;o=252；满足子集中的

5个数中任意两个数的和都不等于11的子集个数，可以这样考虑：先把数字分成5组：

{1,10),{2,9},{3,8},{4,7},{5,6)，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11,所以从每组中任选一个数

字即可，故共可组成2x2x2x2x2=32(个)这样的子集.

所以概率为:。=三=2.

8.【2019年全国】在1,2,3…，10中随机选出一个数。，在-1,-2,-3.…，-10中随机选出一个数6,则

a2+b被3整除的概率为.

【答案】急

【解析】若。仁{1，2,4,5,7,8,10},a2=1mod3.

若a?+b三0mod3nb三一1mod3nbe{-1,-4,-7,-10).

若ad[3,6,9(,a2=0mod3.

若a2+b=0mod3=>a=0mod3nbe{-3,-6,—9).

：.a2+b为3的倍数的概率为殁衿=急

9.【2019年江苏预赛】从123,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数，并从小到大排成一数列，此数列为等比数列

的概率为—.

答叁

【解析】满足条件的等比数列共有4个:1,2,4;1,3,9;2,4,8;4,6,9.

故所求概率P=白=《.

10.[2019年上海预赛】某侦查班有12名战士，其中报务员3名现将这12名战士随意分成三组，分别有3名、

4名、5名战士则每一组均有1名报务员的概率为.

【答案】亮

【解析】注意到，将12名战士随意分成三组，每组分别有3名、4名、5名战士的分法共有C；2CjC：=27720

种淇中，满足每一组均有1名报务员的分法有C犯为:=7560种.

故每一组均有1名报务员的概率为篇=青

11.【2019年新疆预赛】随机取一个由0和1构成的8位数，它的偶数位数字之和与奇数位数字之和相等的

概率为.

【答案噎

【解析】设a是满足题意的8位数，故知其偶数位上的1的个数和在奇数位上的1的个数相同，从而在奇

数位上与偶数位上的1的个数可能为1,2,3或4.注意到首位为1,下面分情况讨论：

⑴奇数位上与偶数位上有1个1,3个0,共有以•Cl=4种可能；

⑴奇数位上与偶数位上有2个1,2个0.共有玛-Cl=18种可能；

⑴奇数位上与偶数位上有3个1,I个0,共有C>Cl=12种可能；

(iv)奇数位上与偶数位上有4个1,共有©■酸=1种可能；

合计共有4+18+12+1=35个满足条件的自然数n.乂因为0和1构成的8位数共有27=128个，从而概率为

35

128,

12.【2019年贵州预赛】已知m。{11,13,15,17,19},nd{2000,2001,……,2019}则nf的个位数是1的概率为一

【答案】|

【解析】3m=11,ne{2000,2001.........2019}时,nf的个位数都是1,此时有20种选法;

当m=13,ne{2000.2004.2008,2012,2016)BJ',mn的个位数都是1,此时有5种选法；

当m=15时,m"的个位数不可能为1,此时有0种选法；

当m=17,ne(2000,2004,2008,2012,2016)lft,mn的个位数都是1,此时有5种选法；

当m=19,ne{2000,2002,2004,……,2018}时,m。的个位数都是I,此时有10种选法；

综上，所求概率为20+5+0+5+102

5X205

13.【2018年江苏预赛】将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数随机填入3x3的方格表中，每个小方格恰

填写一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概率是.

【解析】

要使每行、每列所填数之和都是奇数，必须使每行或每列中要么只有个奇数，要么三个全为奇数，故满足

条件的填法共有日x盘x5!x4/种.因此所求的概率为史等丝=白

14.(2018年重庆预赛】从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率

【答案】搐

14

【解析】

如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状:

对于(1),有3种情况；对于(2),有9种情况：对于(3)；有18种情况；故所求概率为

3+9+18_故答案为：裔

-Cl—-141

15.【2018年安徽预赛】从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s24l的概率

【答案】"

【解析】

/<%2<%的样本方差52=32：=1(/一君241，当且仅当乙、&、与是连续的正整数・

故PG?—2..

故答案为:专

16.【2018年山东预赛】甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；

前一场的输者，则下一场先掷.若第一场甲先掷，则甲赢得第n场的概率为.

【答案】:"21

【解析】

设甲赢得第n场的概率为Pn，在每一场先掷的人赢得的概率为：++...+G）2"T+…=|t

所以Pl=1'Pn=^Pn-l+|（1-Pn-1）=|-^Pn-l'

由此得Pn~1=-^（Pn-1-1），Pl

因此Pn=!+（（-）1，n>l-

17.【2018年湖北预赛】一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数

的概率为.

【答案】"

【解析】

设由、a?、。3、。4分别是四次投掷骰子得到的点数，那么（%,。2，。3，。4）共有64种不同的情况.

如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则

ax<a2<a3<a4.

若％、。2、Q3、。4的值都相等，贝！1（。1，。2，。3，。4）有此种不同的情况；

若出、a2>Q3、4恰好取两个不同的值，则（内,。2，。3，。4）有3盘种不同的情况;

若为、a2>Q3、。4恰好取3个不同的值,则3[,。2，的，。4）有3段种不同的情况;

若a2>。3、@4恰好取4个不同的值，则（%,。2，。3，。4）有C]种不同的情况.

因此，满足的<a2<a3<@4的情况共有此+3cl+3盘+以=126（种）.

故所求的概率为繁=盘

18.【2018年甘肃预赛】某市公租房房源位于4B,C三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房

子.申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意4位申请人中，恰有2人申请4小区房源的

概率是.

【答案】捺

【解析】

本题为古典概型，2=盥等=当

19.【2018年福建预赛】从如图所示的，由9个单位小方格组成的，3x3方格表的16个顶点中任取三个

顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为.

【答案】卷

【解析】

先计算矩形的个数，再计算直角三角形的个数.

如图所示，根据矩形特点，由这16个点可以构成C；XC；=36个不同的矩形.

又每个矩形可以分割成4个不同的宜角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同.

因此，可得4x36=144个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形.

再算直角顶点不在矩形顶点：

（1）在1X2的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为（或,疯,2）的直角三角形两个.而1x2矩

形横向、纵向各有6个，故共有2x12=24个.

（2）在2x3的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为（VI,遍,旧）的直角三角形4个，边长分

别为（企,2口,炳的直角三角形4个.而2x3矩形横向、纵向各有两个，故共有（4+4）x4=32个.

20.【2018年全国】将1,2,3,4,5.6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f,则abc+虑/'是偶数的概率

为•

【答案】"

【解析】先考虑时为奇数的情况，此时"c,可一奇一偶，若为奇数，则。，b,c为1,3,5

的排列，进而d，e,./•为2,4,6的排列，这样有3!x3!=36种情况，由对称性可知，使abc+虑/'为奇数

的情况数为36x2=72种.从而"c+网为偶数的概率为1=1一券=2

o!7NU10

21.12018高中数学联赛A卷（第01试）】将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,,c,d,e,f,则

Mc+呵是偶数的概率为.

【答案】"

【解析】先考虑。儿+时为奇数的情况，此时“be、def-奇」偶，

若。加为奇数，则a、b、c为I、3、5的排列，进而4、e、/为2、4、6的排列，

这样有3!x3!=36种情况，由对称性可知，使。加+则为奇数的情况数为36x2=72种.

从而成+时为偶数的概率为1一号=1一嬴=春

22.12018高中数学联赛B卷（第01试）】将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为，b,c,d,e,f,

则abc+何是奇数的概率为.

【答案】"

【解析】当abc+dgf为奇数时，abc,def必为J一奇一偶，

若“加为奇数，则a,h,c为1,3,5的排列，d,e,于为2,4,6的排列，这样有3以3!=36种情况.由对

称性可知，满足条件的情况数为36x2=72种.

从而所求概率为看=券==

23.12017高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，点集K=｛（x,y）\x,y=~1,0,1在

K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为遥的概率是.

【答案】

【解析】易知K中有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为Cg=84种.

>y

A1.人"人

AxO441

••

44As

将K中的点按如图标记为公,4，•••，4），。，其中有8对点之间的距离为6.

由对称性，考虑取公,4两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7x8=56个三点组（不计每组中

三点的次序）.

对每个A,（i=l,2,8）,K中恰有4+3,4+5两点与之距离为由（这里下标按模8理解），

因而恰有｛4,4+3,4+5｝。=1,2,…,8）这8个三点组被记了两次.

从而满足条件的三点组个数为56-8=48,进而所求概率为患=提

24.12017高中数学联赛B卷(第01试)】在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x,y)\x,y=~1,0,1}.在

K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.

【答案】V

【解析】注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C；=84种.

当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：

⑴三点在一横线或-纵线上，有6种情况.

(2)三点是边长为1,1,近的等腰直角三角形的顶点，有4x4=16种情况.

(3)三点是边长为鱼，或,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,())的有4个，直角顶点位于

(±1,0)、(0,±1)的各有一个共有8种情况.

综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6+16+8=30,

进而所求概率为患=2

8414

25.12017年天津预赛】正2017边形①冬…4oi7内接于单位圆。，任取它的两个不同顶点•厕万•a)>

1的概率是.

【答案】|

【解析】提示:弧•西>：的充要条件是乙W4<60。.对任意给定的A，使得可。々<60。的点为•的取法有

[券Z].2=672种，因此，所求概率为盥=

L6J20163

26.【2017年福建预赛】将8个三好生名额分配给甲、乙.丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分

到2个名额的概率为.

【答案】|

【解析】提示:将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同分配方案有。=

35种.

(用隔板法:将8个名额排成一排,在它们形成的7个空挡中排人3块隔板，则每种排人隔板的方式对应一种名

额分配方式，反之亦然.)

其中,甲班恰好分到2个名额的分配方案有废=10种.

(相当于将6个名额分配给3个班级，每班至少1个名额.)

所以，所求的概率为禁=*

27.【2017年湖北预赛】六个人围成一圈玩掷硬币游戏（硬币质地均匀）海人掷一次硬币.规定：硬币反面朝上

的要表演节目，正面朝上的不用表演，则没有两个表演者相邻的概率为.

【答案吗

【解析】提示:所有情形共有26=64种，满足题设的表演者至多3人.

易知表演人数恰为0,1、3且满足题设的情形种数分别为1、6、2,

而恰有2人表演且满足题设的情形有叱-6=9种.

故所求概率为P=上空=白

28.【2017年陕西预赛】袋中装有2个红球,3个白球、个黄球，从中任取4个球，则其中三种颜色的球都有的

概率是.

【答案w

【解析】提示：从袋中的9个球中任取4个，不同的取法共有弓=126（种），

其中三种颜色的球都有的取法有或+ClClCl+ClClCl=72（种）

故所求概率P=诔=*

29.（2017年甘肃预赛】某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中

的机会均等），则在男生甲被选中的情况下,男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是.

【答案】|

【解析】提示:p=l-第=：.

「65

30.【2017年贵州预赛】掷一枚硬币，每次出现正面得1分，出现反面得2分.反复掷这枚硬币，则恰好得n分的

概率为.

【答案】|+］（-丁

【解析】提示:设得n分的概率为匕.得不到n分的情况只有先得n-1分，再掷出反面，概率为

所以1-4=>%=弹--1）=I-=（Apj（-3n1=-式-丁=4=W+!（一/

31.【2017年安徽预赛】设正八面体的边长是1,则其两个平行表面之间的距离是.

【答案】曰

【解析】提示：不妨设此正八面体的六个顶点的坐标是(土总0,0),(0，士合,0),(0,0,±*).

其两个平行平面x+y+z=±劣之间的距离d=4=T.

V2y63

32.【2017年安徽预赛】设n是正整数，随机选取｛1,2,…,n｝的非空子集4和民则4n8不是空集的概率是一

4n-3n

【答案】

（2n-l）2

【解析】提示乂12…,?1｝共有2"个子集，其中以个子集X满足|X|=个子集y满足xn/=0,1</c<

所求概率是最于a=i或(2"一2"k)=

33.(2017年广东预赛】从各位数字两两不等且和为10的所有四位数中任取两个数，则2017被取到的可能

性为.

【答案】5

48

【解析】提示:方程+X2+x3+X4=10,0SX1<X2<X3<X4W9的整数解有且仅有01，乂2，%3*4)=

(0,1,2,7),(0,1,3,6),(0,1,4,5),(0,2,3,5),(1,2,3,4),

因此符合条件的四位数恰有:4x废x3!+4!=96(T),

故所求概率为竺=

C9648

34.[2017年广西预赛】一名篮球队员进行投篮练习.若第n次投篮投中，则第n+1次投篮投中的概率为玄若第

n次投篮不中，则第71+1次投篮投中的概率为!.若该队员第1次投篮投中的概率为|,则第4次投篮投中的概率

为.

【答案】9

81

【解析】提示:设该队员投进第n-1个球的概率为即.i，投失的概率为1-6-1，

则投进第n个球的概率为g=|即-1+31-fln-l).

即anW(an-I_3an=；+如表.故。4=春

35.【2017年新疆预赛】在边长为3的正方形中随机选取n个点，其中与正方形的顶点距离小于1的点有加个,

则用随机模拟的方法得到的圆周率兀的试验值为.

【答案】?

【解析】提示：由几何概型概率计算公式得字一从而兀若.

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题57概率统计第二讲

1.【2017年内蒙古预赛】在1,2,3,…,9这9个自然数中，任取3个数.记x为这3个数中两数相

邻的组数（例如:若取3个数为1,2,3,则有两组相邻的数为1,2和2,3此时x的值是2）,则x的数

学期望为.

2.[2016年安徽预赛】等可能地随机产生一个正整数xe{1,2,…,2016}.则x在二进制下的

各位数字之和不超过8的概率为.

3.[2016年全国】袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元

纸币和三张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币.则A中剩下的纸币面值之和

大于B中剩下的纸币面值之和的概率为.

4.[2016年新疆预赛】在一个圆上随机取三点，则以此三点为顶点的三角形是锐角三角形

的概率为.

5.【2016年江苏预赛】若小张每天的睡眠时间在6〜9小时之间随机均匀分布，则小张连续

两天平均睡眠时间不少于7小时的概率为.

6.【2016年湖南预赛】在一个均有小正方体的六个面中，三个面上标数字0,两个面上标数

字1,一个面上标数字2.将该小正方体抛掷两次，则朝上的数之积的数学期望为.

7.【2016年湖北预赛】袋子中有五个白球、四个红球和三个黄球，从中任意取出四个球，各

种颜色的球均有的概率.

8.【2016年河南预赛】甲乙两人各自独立地抛掷一枚质地均匀的硬币，甲抛10次，乙抛11

次。则乙出现正面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多的概率为。

9.12016高中数学联赛（第01试）】袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子

B中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下

的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为.

10.【2015年全国】在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为.

11.【2015年上海预赛】投掷两次色子，设第一次、第二次出现的点数分别«、b.则

使得关于x的二次方程/+a%+b=0有两个小于-1的不相等实要的概率为（用

数字作答）.

12.【2015年上海预赛】某地区的电话号码由八个数码组成，且首位数码不为零，则电话

号码的八个数码均不相同的概率为（用小数表示）.

13.【2015年陕西预赛】某人抛掷一枚硬币，出现正面向上和反面向上的概率均为点构造数

歹弧}，使斯=厂’第:欠吵上[记%=的+。2+-“+即则2片0，且58=2的概率

1-1,第n次反面向上.

为（用最简分数作答）.

14.【2015年辽宁预赛】一道数学竞赛题，甲、乙、丙三人单独解出此题的概率分别为工、

ab

二,其中，a、氏c均为小于10的正整数.现甲、乙、丙同时独立解答此题若三人中恰有一人

C

解出此题的概率为卷则三人均未解出此题的概率为.

15.【2015年江苏预赛】随机抛掷三个大小、质地相同的正方体色子.在三个色子所示数字中

最小值是3的概率为

16.【2015年河南预赛】一名篮球运动员进行投球练习.若他投进前一球，则投进后一球的概

率为|;若他投不进前一球，则投进后的一球概率为:已知该队员投进第1球的概率为|.则

他投进第4球的概率为.

17.12015高中数学联赛（第01试）】在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为

18.【2016年陕西预赛】从1,2....20这20个数中，任取三个不同的数.则这三个数构成

等差数列的概率为（）.

A.—B.—C.—D.—

19193838

19.[2016年天津预赛】掷两次色子，用X记两次掷得点数的最大值.则下列各数中,与期望

E（X）最接近的数为（）

A.4B.4工C.5D.5-

22

20.[2015年湖南预赛】将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分,7个剩余分数

的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示,

则7个剩余分数的方差为（）

877

9I010.»91

116366A/7

A.—B.一C.36D.

977

21.【2015年黑龙江预赛】甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a,再由

乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b,其中，a、才€{1,2,…,6}.若怆一团41,则称

甲乙“心相近”。现任意找两人玩这个游戏，则它们心相近的概率为（）。

A.-B.-C.—D.—

991818

22.【2020年甘肃预赛】某校高二男生体育课上做投篮球游戏，两人一组.每轮游戏中，每小组

两人每人投篮两次,投篮命中的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.甲和乙同一小组，甲、乙

投篮命中的概率分别为Pl，

p2-

32

⑴若Pl==T，求在第一轮游戏中他们获得优秀小组的概率.

-4>P23

4

(2)若Pi+p2=3，且游戏中甲、乙二人组要获得优秀小组次数为16次,则理论上至少

要进行多少轮游戏才行?并求此时Pl，p2的值.

23.【2018年甘肃预赛】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，

参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率

依次是m，i，女生闯过一至四关的概率依次是:

65435432

(1)求男生闯过四关的概率；

(2)设彳表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量f的分布列和期望.

24.【2017年甘肃预赛】在一次全省科普知识竞赛中，某市3000名参赛选手的初赛成绩统计

(1)求t的值，并估计该市选手在本次竞赛中,成绩在［80,90)上的选手人数；

(2)如果在本次竞赛中该市计划选取1500人人围决赛，那么进人决赛选手的分数应该如何制

定？

(3)如果用该市参赛选手的成绩情况估计全省参赛选手的成绩情况，现从全省参赛选手中随机

抽取4名选手，记成绩在80(含80)分以上的选手人数为f,试求f的分布列和期望.

25.【2017年黑龙江预赛】某单位甲、乙两个科室人数及男女工作人员分布情况如下表.现采

用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两个科室中共抽取3名工作人员进

行一项关于“低碳生活”的调查.

(1)求从甲、乙两科室各抽取的人数；

(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率；

(3)记f表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求f的分布列及数学期望.

性别

一_、、人数、

男女

科别J''''J

甲科室64

乙科室32

26.[2016年上海预赛】设n为给定的大于2的整数。有n个外表上没有区别的袋子，第

k（k=l,2,…,n）个袋中有k个红球，n-k个白球。将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中

连续取出三个球（每次取出不放回）。求第三次取出的为白球的概率。

27.【2016年甘肃预赛】在某电视娱乐节目的游戏活动中，每人需完成A、B、C三个项目.

已知选手甲完成A、B、C三个项目的概率分别为]1之每个项目之间相互独立.

（1）选手甲对A、B、C三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率.

（2）该活动要求项目A、B各做两次，项目C做三次.若两次项目A均完成，则进行项目

B,并获得积分a；两次项目B均完成，则进行项目C,并获积分3a；三次项目C只要两次

成功，则该选手闯关成功并获积分6a（积分不累计），且每个项目之间互相独立用X表示

选手甲所获积分的数值，写出X的分布列并求数学期望.

28.【2015年黑龙江预赛】在一个盒子中，放有标号分别1、2、3的三张卡片，现从这个盒

子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y,记f=|x-2|+|y-x|。

（1）求随机变量f的最大值，并求事件'取得最大值”的概率；

（2）求随机变量f的分布列和数学期望。

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题57概率统计第二讲

1.[2017年内蒙古预赛】在1,2,3,…,9这9个自然数中，任取3个数.记x为这3个数中两数相邻的组数(例如:

若取3个数为1,2,3,则有两组相邻的数为1,2和2,3此时x的值是2),则x的数学期望为.

【答案】|

【解析】提示：做出如下分布列

012

X

35427

p(%)848484

所以Ex=^x0+卷xl+^x2.

2.[2016年安徽预赛】等可能地随机产生一个正整数x6{1,2,…,2016}.则x在二进制下的各位数字之和不

超过8的概率为.

【答案】g|

【解析】

设xe{l,2,2016}的二进制表示为(X10X9…刀1殉)2,即x=2：：0々2((尢e{0,1}).

特别地，2016的二进制表示为(11111100000)2.

接下来考虑满足>8的x的个数，其充分必要条件为

P=Xt=oxi<5,且q=Xi=oxiN9-p.

如此x的个数为2PW5或点=C^Cl(麾+0)=51.

qN9-p

从而，二进制下的各位数字之和不超过8的x的个数为2016-51=1965.

因此，所求概率黑=绥.

2016672

3.(2016年全国】袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元纸币和三张1元

纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币.则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的

概率为.

【答案】宗

【解析】

一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b,从

而，a<bS5+5=10.故只能从A中取走两张1元纸币，相应的取法数为耨=3.

又此时b>a=2,即从B中取走的两张纸币不能均为1元纸币，相应有或=18种取法.

因此，所求的概率为瞟=德=套

Ge<.»7_LU入OO

4.【2016年新疆预赛】在一个圆上随机取三点，则以此三点为顶点的三角形是锐角三角形的