2024届高考数学解析几何专项练【配套新教材】（11）含答案

2024届高考数学解析几何专项练【配套新教材】（11）1.已知双曲线C的焦点坐标为，，实轴长为4.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得，求的面积.2.已知双曲线(，)的左、右焦点分别为，，斜率为-3的直线l与双曲线C交于A，B两点，点在双曲线C上，且.（1）求的面积；（2）若(O为坐标原点)，点，记直线，的斜率分别为，，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.3.已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在AB上；②；③.4.回答下列问题：（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；（2）已知椭圆的离心率，求m的值.5.已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当时，的面积为，求此双曲线的方程.6.已知双曲线,右焦点到渐近线的距离为.(I)求双曲线E的方程;(Ⅱ)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,是否存在直线使得在问题中的是为90°的直角三角形?若问题中的三角形存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.问题:是否存在过右焦点的直线与双曲线E的右支相交于两点,__________,使得是为90°的直角三角形?7.已知，分别是双曲线的左、有焦点，，P是C上一点，，且.（1）求双曲线C的标准方程.（2）经过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点O作（O为坐标原点），垂足为M.则在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.8.给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点M到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是.（1）对于顶点在原点O的抛物线C，从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是，并说明理由；（2）过点的任意一条直线l与交于A，B两点，试探究是否总有？请说明理由.9.设抛物线的顶点在坐标原点,焦点F在x轴正半轴上,过点F的直线l交抛物线于两点,线段的长是8,的中点到y轴的距离是3.(I)求抛物线的标准方程;(Ⅱ)设直线的斜率分别为,直线l的纵截距为1,此时数列满足.设数列的前n项和为,已知存在正整数m,使得,求m的值.10.已知抛物线与圆交于点,点N在x轴的上方,.(1)求抛物线C的方程.(2)若平行于x轴的直线l交直线于点P,交抛物线C于点Q,且,求直线的方程.答案以及解析1、（1）答案：解析：由条件知，，，双曲线C的标准方程为.（2）答案：面积为1解析：由双曲线的定义可知，.，，，的面积.2、（1）答案：解析：依题意可知，，，则，，又，所以，解得(舍去)，又，所以，则，所以的面积.（2）答案：为定值-1解析：由(1)可解得.所以双曲线C的方程为.设，，则，则，.设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得，由，得.由一元二次方程根与系数的关系得，，所以.则，故为定值-1.3、（1）答案：解析：由题意得，，解得，，所以双曲线C的方程为.（2）答案：见解析解析：设直线PQ的方程为，由题意知.由得.，故，故，，.设，则，，于是，.因为，，所以，.因此，.因此点M的轨迹方程为.选择①②作为条件，证明③成立.由可得直线AB的方程为.点M的坐标满足，解得，.设，，，.由，解得，.同理可得，.于是，.因此点M为AB的中点，即.选择①③作为条件，证明②成立.当直线AB的斜率不存在时，点M与点重合，此时点M不在直线上，矛盾.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，，.由，解得，.同理可得，.于是，.因为点M在直线上，所以，即.因此.选择②③作为条件，证明①成立.由可得直线AB的方程为，设，，，.由，解得，.同理可得，.设AB的中点为，则，.因为，所以点M在AB的垂直平分线上，即M在直线上.由，得，，即M恰为AB的中点.因此点M在直线AB上.4.答案：（1）（2）解析：（1）所求双曲线与双曲线有相同焦点，设所求双曲线的方程为，双曲线过点，，或（舍）.所求双曲线方程为.（2）椭圆方程可化为，，，，，，由，得，解得.5.答案：（1）（2）解析：（1）由题易得，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，因为，所以，故所求双曲线的渐近线方程是.（2）因为，所以由余弦定理得，即①，由双曲线的定义得，，平方得，②，①-②得，，根据三角形的面积公式得，所以，由（1）中得，故所求双曲线方程是.6.答案：(I)(Ⅱ)若选①:;若选②：;若选③：解析：(I)由题意可得解得,所以双曲线E的方程为.(Ⅱ)若选①:设,若直线与x轴垂直,则,则,显然直线不存在;若直线与x轴不垂直,设直线的方程为,联立消去y可得.由题意可知两点都在双曲线的右支上,所以,所以,解得或,,.因为为直角三角形,所以,所以,整理得,解得或(舍).所以直线的方程为.若选②：设,若直线与x轴垂直,则,,显然直线不存在;若直线与x轴不垂直,设直线的方程为,联立消去y可得.由题意可知两点都在双曲线的右支上,则,所以,解得或,,.因为为直角三角形,所以,所以,整理得,解得或(舍),所以直线的方程为.若选③:设,若直线与x轴垂直,则,,所以直线的方程为;若直线与x轴不垂直,设直线的方程为,联立消去y可得,由题意可知两点都在双曲线的右支上,则,所以,解得或.,.因为为直角三角形,所以,所以.此时无解,所以直线的方程为.7.答案：（1）（2）在x轴上存在定点，使得为定值解析：（1）由题意得，因为，，所以，又，所以，解得，所以，，所以双曲线C的标准方程为.（2）由（1）得，设，，则，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，联立直线l与双曲线C的方程，消去x得，，，.因为直线BD的斜率，所以直线BD的方程为，若在x轴上存在定点N，使得为定值，则直线BD过x轴上的某个定点.在直线BD的方程中，令，得，所以直线BD过定点.因为，所以为直角三角形，取OE的中点，则，为定值.综上，在x轴上存在定点，使得为定值.8.答案：（1）选择①③.理由见解析（2）无论l如何变化，总有解析：（1）选择①③.理由如下：因为抛物线的焦点在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合.又因为抛物线的准线方程为，所以条件④不适合题意.当选择条件③时，设，则，此时适合题意.故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是.（2）假设总有，由题意得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，由得，.因为直线与抛物线交于不同两点，所以恒成立，设，，则，，所以，所以，所以.综上所述，无论l如何变化，总有.9.答案：(I)(Ⅱ)2021解析：(I)设抛物线的标准方程为.由题意及抛物线的定义可知.又线段的中点到y轴的距离为3,,,,∴抛物线的标准方程为.(Ⅱ)依题意可知直线l过点和,可得直线I的方程为.由消去x并整理得,则,,则,即,由此可得,,.由,得.又,∴正整数m的值为2021.10.答案：(1)(2)解析：(1)由抛物线与圆的对称性及,点N在x轴的上方,得点N的纵坐标为p.代入,解得,则点.将点N的坐标代入,解得.所以抛物线C的方程为.(2)由(1)知,,所以直线的方程为.设直线l的方程为,则,所以.由,得,所以点Q的坐标为.设直线的斜率为k,则,所以直线的方程为.即.2024届高考数学解析几何专项练【配套新教材】（12）1.如图，已知椭圆.设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段AB上，直线PA，PB分别交直线于C，D两点.（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求的最小值.2.在平面直角坐标系中,已知双曲线的离心率为,直线与双曲线C交于两点,点在双曲线C上.(1)求线段中点的坐标;(2)若,过点D作斜率为的直线与直线交于点P,与直线交于点Q,若点满足,求的值.3.已知椭圆的一个顶点为，焦距为.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当时，求k的值.4.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点.（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，证明：直线HN过定点.5.已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在AB上；②；③.6.已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点，的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.

（1）求椭圆C的方程.（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.7.已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求l的斜率；（2）若，求的面积.8.已知抛物线，抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3.（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D.是否存在这样的直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.9.在平面直角坐标系Oxy中，点M到点的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.（1）求轨迹C的方程；（2）设斜率为k的直线l过定点，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.10.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）已知，设点（且）为椭圆E上一点，点B关于x轴的对称点为C，直线AB，AC分别交x轴于点M，N，证明：.（O为坐标原点）

答案以及解析1.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）设是椭圆上任意一点，

由，知，

故的最大值是，

即点P到椭圆上点的距离的最大值为.（Ⅱ）易知直线AB的斜率存在，设直线AB：，

联立直线AB与椭圆的方程，整理得，

设，，则，.

直线PA的方程为，代入，

整理得.

同理可得，，

则

，当且仅当，即时等号成立，

所以当时，取得最小值，为.2.答案：(1)(2)解析：本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的综合应用.(1)依题意,双曲线C的离心率,则,故双曲线C的方程为.联立得,且.设,则.设线段的中点为,故,将代入直线,得,故线段的中点坐标为.(2)依题意,,则双曲线C的方程为.直线,又点在双曲线C上,所以,故直线的方程为.由题可知,点均不重合,由易知为的外心,设,则,即,即.线段的垂直平分线的方程为,线段的垂直平分线的方程为.联立得联立解得,同理.故,故解得代入方程,得,即,则.3.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）-4解析：（Ⅰ）依题意可知，

得，故椭圆E的方程为.（Ⅱ）由题可知直线BC的方程为，

设，，

联立直线BC和椭圆E的方程，得，

整理得，

，，

由得，

易知直线AB的斜率，

直线AB的方程为，令，可得点M的横坐标，同理可得点N的横坐标.

，得.故k的值为-4.4.答案：（1）；

（2）直线HN过定点解析：（1）椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，

可设椭圆E的方程为，

又椭圆E过，，得，

E的方程为.（2）当直线MN的斜率不存在时，，

由，得，.

结合题意可知，，

过M且平行于x轴的直线的方程为.

易知点T的横坐标，直线AB的方程为即，

由，得，.

，，

，即.

当直线MN的斜率存在时，如图，设，，.

由，得，，，.过M且平行于x轴的直线的方程为，

与直线AB的方程联立，得，得，

.

，，

，

即.

令，得.

，

，

，

，

，

，

直线HN过定点.综上，直线HN过定点.5、（1）答案：解析：由题意得，，解得，，所以双曲线C的方程为.（2）答案：见解析解析：设直线PQ的方程为，由题意知.由得.，故，故，，.设，则，，于是，.因为，，所以，.因此，.因此点M的轨迹方程为.选择①②作为条件，证明③成立.由可得直线AB的方程为.点M的坐标满足，解得，.设，，，.由，解得，.同理可得，.于是，.因此点M为AB的中点，即.选择①③作为条件，证明②成立.当直线AB的斜率不存在时，点M与点重合，此时点M不在直线上，矛盾.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，，.由，解得，.同理可得，.于是，.因为点M在直线上，所以，即.因此.选择②③作为条件，证明①成立.由可得直线AB的方程为，设，，，.由，解得，.同理可得，.设AB的中点为，则，.因为，所以点M在AB的垂直平分线上，即M在直线上.由，得，，即M恰为AB的中点.因此点M在直线AB上.6.答案：（1）；（2）是定值，.解析：解：（1）由已知，A，B的坐标分别是，，由于的面积为3，①，又由，化简得②，①②两式联立解得：或（舍去），，，椭圆方程为；（2）设直线PQ的方程为，P，Q的坐标分别为，则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标，直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标，，把直线代入椭圆得，由韦达定理得，，是定值.7、（1）答案：-1解析：由题设得，解得.所以C的方程为.设l的斜率为k，，.当时，.由得，故.由得，即.①由得，即.同理可得.由得，即.②由①②得.因此l的斜率为-1.（2）答案：解析：由题意，不妨设AP的倾斜角为，且，则为.C的渐近线的斜率为，由得，得，所以，.直线AP的方程为，代入得，所以，.直线AQ的方程为，代入得，所以，.又易知，所以的面积为.8.答案：（1），准线方程为（2）存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或解析：（1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以，解得，所以，所以准线方程为.（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，.由消去y，得.令，解得.所以且.由根与系数的关系得，.解法一：直线BF的方程为，又，所以，所以，因为，所以直线DE与直线AF的斜率相等.又，所以.整理得，即，化简得，，即.所以，整理得，解得.经检验，符合题意.所以存在这样的直线l