多自由度体系近似计算方法课件

多自由度体系近似计算方法3-1

邓柯莱(Dunkerly)法邓柯莱（Dunkerly法）迹法确定系统基频的估算公式方法特点：简单实用定义系统的动力矩阵为n个自由度系统的特征值问题为标准特征值问题多自由度体系近似计算方法3-1邓柯莱(Dunkerly)1若将特征值按降序排列系统的基频为标准特征值问题的特征行列式为动力矩阵的对角线元素由代数方程理论，多项式根与系数关系的韦达定理若将特征值按降序排列系统的基频为标准特征值问题的特征行列式为2动力矩阵A的迹若质量矩阵M为对角阵，动力矩阵的迹为对角线元素M对角线元素1设弹性系统只保留第i个质量mi

及相应的弹簧δii,则系统视为单自由度系统的固有频率为动力矩阵A的迹若质量矩阵M为对角阵，动力矩阵的迹为对角线元素3

邓柯莱法计算系统的基频为精确解的下限

只有当时，迹法可给出比较准确的基频估算值

算例表明，梁结构通常具有以上的特点邓柯莱法计算系统的基频为精确解的下限只有当时，迹法可4举例三自由度梁弯曲的固有频率与主振型m2mm系统的质量矩阵与柔度矩阵举例三自由度梁弯曲的固有频率与主振型m2mm系统的质量矩阵与5举例均质等直梁，试估算梁中央附加集中质量M时的基频MmEJ均质简支梁的基频记简支梁的基频为不计简支梁质量时系统的固有频率为均质梁中央附加集中质量M时的基频M=mDunkerly法Rayleigh法精确解举例均质等直梁，试估算梁中央附加集中质量M时的基频MmEJ均63-2

矩阵迭代法工程中的振动问题的响应分析中，系统的低阶固有频率及主振型占有重要地位矩阵迭代法是求解系统低阶固有频率和主振型的一种简单实用的方法

第一阶固有频率及主振型向量向量给定一个初始迭代向量x1，由展开定理x1

与Φ(1)不正交3-2矩阵迭代法工程中的振动问题的响应分7所占比重增加所占比重减少动力矩阵迭代一次后，扩大了第一阶主振型在迭代向量中的优势第一阶主振型在迭代向量中的优势继续扩大所占比重增加所占比重减少动力矩阵迭代一次后，扩大了第一阶主振8随着迭代次数的增加，第一阶主振型的优势越来越大。当迭代次数充分大时，可近似地得到迭代后的新向量与原向量个对应元素间仅相差一常数倍λ1

迭代过程中应对迭代向量作归一化处理

迭代过程收敛速度取决于比值趋于零的速度

迭代次数取决于系统本身的物理参数和试算向量的选取随着迭代次数的增加，第一阶主振型的优势越来越9举例矩阵迭代法计算系统的基频及主振型mm2mkk2kx1x2x3系统质量矩阵和刚度矩阵系统动力矩阵选取初始迭代向量举例矩阵迭代法计算系统的基频及主振型mm2mkk2kx1x210rxr12837.2547.18965557.18465267.18424577.184210系统的第一阶固有频率和主振型rxr12837.2547.18965557.184652611rxr12737.22857247.18972357.18471867.18425377.184214系统的第一阶固有频率和主振型试算向量取系统静载作用时的静变形rxr12737.22857247.18972357.18412

较高阶固有频率及主振型采用动力矩阵迭代的过程，总是不断扩大第一阶主振型的比重。能否求出第二阶以上的系统固有频率和主振型？对于试算初始向量左乘动力矩阵迭代取不包含有的成分较高阶固有频率及主振型采用动力矩阵迭13由于计算过程中的舍入误差，x2内仍有可能存在的残余成分

b1尽管很小，但若直接用动力矩阵A继续迭代仍然会不断扩大的比重。

必须继续剔出它！设由于计算过程中的舍入误差，x2内仍有可能存在的14于是有只要在迭代计算中用矩阵A1取代A，迭代的结果会收敛到和且矩阵A1的特征值为λ2，特征向量为而相应于的特征值变为零证明当i=1时即于是有只要在迭代计算中用矩阵A1取代A，迭代的结果会收敛到15从以上的分析，若已知系统的特征值相应的特征向量。欲求出第l+1阶特征值和特征向量，可构造迭代矩阵第l+1阶固有频率和主振型

由于迭代过程中的误差，因此，矩阵迭代法只适宜求解系统的低阶

固有频率和主振型从以上的分析，若已知系统的特征值相应的特征向量。欲求出第l16特征值相等的情形设初始试算向量经r次迭代后取线性组合选取不同的初始迭代向量取线性组合将进行正交化处理，即可得到重根的主振型特征值相等的情形设初始试算向量经r次迭代后取线性组合选取17半正定系统的情形K-1不存在，动力矩阵A不存在取一较小的正数α“动力矩阵”以其为迭代矩阵将得到半正定系统非零特征值所对应的主振型以上过程称为带移频的矩阵迭代法半正定系统的情形K-1不存在，动力矩阵A不存在取一较小的正数18举例矩阵迭代法计算系统的高阶固有频率及主振型mm2mkk2kx1x2x3求系统第二阶固有频率及主振型举例矩阵迭代法计算系统的高阶固有频率及主振型mm2mkk2k19设初始迭代向量rxr12-0.35504630.513506150.572769160.57277017……系统的第二阶固有频率及主振型设初始迭代向量rxr12-0.35504630.513506203-3

瑞利(Rayleigh)法对于运动微分方程系统的主振动由机械能守恒3-3瑞利(Rayleigh)法对于运动微分方程系统的主21如果Φ是系统的第j阶主振型Φ(j)如果假设系统的主振动为X是系统的假设振型称为瑞利商瑞利商的性质

若X就是系统的第j阶主振型

若X为任意n维向量如果Φ是系统的第j阶主振型Φ(j)如果假设系统的主振动22

瑞利商对振型选择不敏感假设振型X比较接近第r阶主振型，由展开定理瑞利商对振型选择不敏感假设振型X比较接近第r阶23假设振型X与第r阶主振型Ψ(r)相差一阶微量瑞利商R(X)与第r阶固有频率的平方相差二阶微量瑞利商在系统真实振型处取驻值（相应各阶固有频率的平方）原则上瑞利商可以计算系统的任意阶固有频率实际上系统的高阶主振型很难做出合理假设工程中，瑞利法用来估算系统的基频，而不宜计算系统的高阶固有频率；所得结果为精确解的上限假设振型X与第r阶主振型Ψ(r)相差一阶微量瑞利24对于运动微分方程系统的主振动由机械能守恒系统的动能系统的势能可表示为外力f所作的功系统作自由振动时，作用于系统的只有惯性力系统位移对于运动微分方程系统的主振动由机械能守恒系统的动能系统的势能25瑞利商对应于位移方程系统的第r阶固有频率由展开定理，假设振型瑞利商对应于位移方程系统的第r阶固有频率由展开定理，假设26可以证明记动力矩阵隐含着一次矩阵迭代可以推论由柯西-许瓦兹不等式可以证明可以证明记动力矩阵隐含着一次矩阵迭代可以推论由柯西-许瓦兹不27举例采用瑞利法计算系统的基频mm2mkk2kx1x2x3设举例采用瑞利法计算系统的基频mm2mkk2kx1x2x3设28误差瑞利商设误差瑞利商误差瑞利商设误差瑞利商293-4

里兹(Ritz)法对于复杂工程问题，动力分析需要计算系统的前几阶固有频率及相应的主振型Ritz法对Rayleigh法进行了修正，以实现计算低阶固有频率与振型的目的Ritz法是一种减缩系统自由度的近似计算方法Ritz法对系统的近似振型X给出更合理的假设为选取的k个线性无关的假设振型3-4里兹(Ritz)法对于复杂工程问题30待定常数向量代入瑞利商瑞利商成为a的函数利用瑞利商在真实主振型处取驻值的性质，由极值条件待定常数向量代入瑞利商瑞利商成为a的函数利用瑞利商在真实主振31多自由度体系近似计算方法课件32特征值问题的阶数k<<nRitz法实际是一种减缩系统自由度数求解固有振动的近似计算方法Ritz法的基本思想利用k个线性无关的假设振型为基底在n维振型空间中构成一个k维子空间确定瑞利商在该子空间的k个极值将所得k个极值作为原系统前k阶固有频率平方的近似值特征值问题的阶数k<<nRitz法实33n自由度系统的固有频率系统的前k阶主振型证明所得近似主振型关于M和K具有正交性n自由度系统的固有频率系统的前k阶主振型证明所得近似主振34Ritz法的一些性质

若假设振型恰好是主振型Ritz法求出的就是系统的前k阶固有频率的精确值Ritz法的一些性质若假设振型恰好是主振型35

若假设振型线性无关，且均可表示为系统前k阶主振型的线性组合构成k维子空间Rk的基底构成k维子空间Tk的基底子空间Tk与Rk等同Ritz法仍可求出系统的前k阶固有频率和主振型的精确解若假设振型线性无关，且均可表示为系统前k阶主振型的线36Ritz法只要选取的假设振型能够使子空间Tk接近于子空间Rk，就能求得系统前k阶固有频率和主振型较好的近似解

Ritz法计算的固有频率与精确解有如下关系Ritz法一般只能用来估算系统的前几阶固有频率及主振型难点是k维子空间的任一组基不知道

Ritz法计算的固有频率中只有前一半的精度较高。实际计算中若要求系统的前k阶固有频率，假设的振型数目应取为2k计算精度取决于假设的近似振型对真实振型的逼近程度Ritz法只要选取的假设振型37举例采用R