数学人教A版选修2-2课堂探究1.2导数的计算（第1课时）

课堂探究探究一利用求导公式求函数的导数用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝eq\f(1,x4)可以写成y＝x－4，y＝eq\r(5,x3)可以写成等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．【典型例题1】求下列函数的导数：(1)y＝－3；(2)y＝x4；(3)y＝eq\r(3,x2)；(4)y＝2x；(5)y＝log5x；(6)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)).思路分析：解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形式，再利用公式求导．解：(1)y′＝(－3)′＝0；(2)y′＝(x4)′＝4x3；(3)y′＝(eq\r(3,x2))′＝＝＝＝eq\f(2,3\r(3,x))；(4)y′＝(2x)′＝2xln2；(5)y′＝(log5x)′＝eq\f(1,xln5)；(6)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))))′＝(sinx)′＝cosx.探究二导数几何意义的应用1．曲线y＝f(x)在点P处的切线只有一条，但过点P求曲线y＝f(x)的切线时，点P不一定是切点，故应设出切点坐标，并求切点坐标，有几个切点就有几条切线．2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．【典型例题2】(1)曲线y＝cosx在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))处的切线方程为__________．(2)曲线y＝lnx在点P处的切线方程为x－ey＝0，则切点为__________．解析：(1)∵y′＝(cosx)′＝－sinx，∴切线斜率k＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2).∴切线方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即切线方程为y＝－eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(\r(3)π,6)＋eq\f(1,2).(2)y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，设切点为P(x0，y0)，则k＝eq\f(1,x0)＝eq\f(1,e)，∴x0＝e.∴y0＝lnx0＝lne＝1.∴切点为(e,1)．答案：(1)y＝－eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(\r(3)π,6)＋eq\f(1,2)(2)(e,1)探究三导数的综合应用导数的综合应用的解题技巧(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即利用切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这往往是解决问题的关键所在．(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合为综合大题出现．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义进行分析．【典型例题3】求证：双曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数．思路分析：本题考查求导公式与其他知识的综合应用．要证明三角形面积为定值，应先求出直线在两坐标轴上的截距，因此应先写出直线的方程，要写直线方程，首先求出直线的斜率，于是可设出切点的坐标Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，问题便迎刃而解．解：∵xy＝1，得y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2).在双曲线xy＝1上任取一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，则过点P的切线的斜率k＝－eq\f(1,x02).切线方程为y－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1,x02)(x－x0)，即y＝－eq\f(1,x02)x＋eq\f(2,x0).设该切线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，则A(2x0,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,x0))).故S△OAB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)|2x0|·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,x0)))＝2.∴双曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数．探究四易错辨析易错点：不能正确地利用导数的几何意义建立关系求解【典型例题4】已知曲线f(x)＝ex在P(x0，f(x0))处的切线为y＝kx，则k的值等于__________．错解：∵f′(x)＝ex，切点为(x0，f(x0))，∴k＝.错因分析：不能利用导数的几何意