新教材北师大版数学课后落实6-6-3球的表面积和体积

课后素养落实(五十三)球的表面积和体积(建议用时：40分钟)一、选择题1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A．eq\f(8π,3)B．eq\f(32π,3)C．8πD．eq\f(8\r(2)π,3)C[设球的半径为R，则截面圆的半径为eq\r(R2－1)，∴截面圆的面积为S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(R2－1)))eq\s\up12(2)＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.]2．设正方体的表面积为24cm2，一个球内切于该正方体，A．eq\r(6)πcm3 B．eq\f(32,3)πcm3C．eq\f(8,3)πcm3 D．eq\f(4,3)πcm3D[由正方体的表面积为24cm2，得正方体的棱长为2cm，故这个球的直径为2cm，故这个球的体积为eq\f(4,3)πcm3.]3．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则圆锥的高与球的半径之比为()A．2∶1B．2∶3C．2∶πD．2∶5A[设半球的半径为r，圆锥的高为h，则eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πr3×eq\f(1,2)，所以h＝2r，故选A.]4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是()A．S正方体>S球 B．S正方体<S球C．S正方体＝S球 D．无法确定A[设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝eq\f(4,3)πR3＝a3，∴a＝eq\r(3,V)，R＝eq\r(3,\f(3V,4π))，∴S正方体＝6a2＝6eq\r(3,V2)＝eq\r(3,216V2)，S球＝4πR2＝eq\r(3,36πV2)<eq\r(3,216V2).]5．圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，A．1cm B．2cmC．3cm D．4cmC[设球半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，可得3×eq\f(4,3)πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3.]二、填空题6．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．eq\f(364π,3)[设大，小两球半径分别为R，r，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R－r＝1，,4πR2－4πr2＝28π，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝4，,r＝3.))所以体积和为eq\f(4,3)πR3＋eq\f(4,3)πr3＝eq\f(364π,3).]7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为eq\f(9π,2)，则正方体的棱长为________．eq\r(3)[设球的半径为R，正方体棱长为a，则V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π，得到R＝eq\f(3,2)，正方体体对角线的长为eq\r(3)a＝2R，则a＝eq\r(3)，所以正方体的棱长为eq\r(3).]8．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．8π[过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r＝eq\r(2)，∴其表面积S＝4π×(eq\r(2))2＝8π.]三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解]该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).10．如图，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1，现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，求折叠后的几何体的外接球的表面积．[解]由题意得，折叠后的几何体为正三棱柱，且该三棱柱的底面边长为1，ABC­A1B1C1.设上下底面的中心分别为O1，O2，则球心O为O1，O2的中点，连接OC，O2C则O2C＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(\r(3),3)，OO2＝1，∴OC＝eq\r(O2C2＋O2O2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up8(2)＋1)＝eq\f(2\r(3),3)，即球半径R＝eq\f(2\r(3),3)，∴该几何体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×eq\f(4,3)＝eq\f(16π,3).11．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A．eq\f(81π,4)B．16πC．9πD．eq\f(27π,4)A[如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P－ABCD中AB＝2，∴AO′＝eq\r(2).∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝(eq\r(2))2＋(4－R)2，解得R＝eq\f(9,4)，∴该球的表面积为S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(81π,4)，故选A.]12．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2)D．eq\f(π,4)B[如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心．球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝eq\f(1,2).∴底面圆半径r＝eq\r(OA2－OM2)＝eq\f(\r(3),2)，故圆柱体积V＝πr2h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(3π,4).]13．已知三棱锥A­BCD的所有棱长都为eq\r(2)，则该三棱锥的外接球的表面积为________．3π[如图，构造正方体ANDM­FBEC.因为三棱锥A­BCD的所有棱长都为eq\r(2)，所以正方体ANDM­FBECeq\f(\r(3),2).易知三棱锥A­BCD的外接球就是正方体ANDM­FBEC的外接球，所以三棱锥A­BCD的外接球的半径为eq\f(\r(3),2).所以三棱锥A­BCD的外接球的表面积为S球＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up10(2)＝3π.]14．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1Aeq\r(2)[连接BC1，与B1C交于点O，则O为平面BCC1B1的中心．由题意知，球心为侧面BCC1B1的中心O，BC1为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°，则△ABC的外接圆圆心N位于BC的中点，同理，△A1B1C1的外接圆圆心M位于B1C1的中点，设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝eq\f(x,2)，MC1＝eq\f(x,2)，OC1＝R＝1(R为球的半径)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)＝1，即x＝eq\r(2)，即AB＝AC＝1，所以侧面ABB1A1的面积为eq\r(2)×1＝eq\r(2).]15．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．[解]由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为eq\r(3)r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝eq\f(1,3)π·(eq\r(3)r)2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3，而