第4章平面问题的极坐标解答5

第4章平面问题的极坐标解答5第一页，共58页。例题1（习题4-8）试考察应力函数

能解决图中所示弹性体的何种受力问题？

yxaa0第一页第二页，共58页。解：本题应按逆解法求解。首先校核相容方程，是满足的。

然后，代入应力公式（4-5），求出应力分量：第二页第三页，共58页。再求出边界上的面力：读者可由此画出边界上的面力分布。第三页第四页，共58页。

半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数求解应力分量。例题2（习题4-9）第四页第五页，共58页。

解：首先检验，已满足。由求应力，代入应力公式得第五页第六页，共58页。再考察边界条件。注意本题有两个面,即，分别为面。在面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有代入公式，得应力解答，第六页第七页，共58页。设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。例题3（习题4-18）第七页第八页，共58页。（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形式组合。解：应用半逆解法求解。第八页第九页，共58页。（2）应比应力的长度量纲高二次幂，可假设。删去因子，得一个关于的常微分方程。令其解为，代入上式，可得到一个关于的特征方程，（3）将代入相容方程，得第九页第十页，共58页。其解为于是得的四个解

；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得本题中结构对称于的轴，而是反对称荷载，因此，应力应反对称于轴，为的奇函数，从而得

第十页第十一页，共58页。（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。

在的边界上，有（4）由求得应力分量，第十一页第十二页，共58页。为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取出以o为中心，为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件，前一式自然满足，而第二式成为(a)第十二页第十三页，共58页。上式中前两式自然满足，而第三式成为再由式（a）得出

代入应力公式，得最后的应力解答，(b)第十三页第十四页，共58页。设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力函数求解，例题4（习题4-19）

xy0F第十四页第十五页，共58页。（1）经校核，上述满足相容方程。解：（2）代入应力公式，得第十五页第十六页，共58页。（3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在内的、半径为的脱离体，列出其三个平衡条件：第十六页第十七页，共58页。将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出(a)第十七页第十八页，共58页。（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。

第十八页第十九页，共58页。由物理方程求出应变分量，第十九页第二十页，共58页。代入几何方程，得由前两式积分，得第二十页第二十一页，共58页。将代入第三式，并分开变量，得第二十一页第二十二页，共58页。为了使上式在区域内任意的都成立，两边都必须等于同一常数G。这样，得到两个常微分方程，由式（b）解出(b)第二十二页第二十三页，共58页。将式（c）对求导一次，再求出再将上式的代入，得显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须(d)(e)第二十三页第二十四页，共58页。将式（a）代入上式，得将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：第二十四页第二十五页，共58页。试由书中式（4-21）的解答，导出半平面体（平面应力问题）在边界上受一水平集中力F作用下的应力和位移的解答。例题5第二十五页第二十六页，共58页。解：由书中式（4-21），当时，用直角坐标系的应力分量表示，第二十六页第二十七页，共58页。第二十七页第二十八页，共58页。以下来求位移解答。将应力代入物理方程得应变分量，再代入几何方程，分别积分求出位移分量：第四章例题第二十八页第二十九页，共58页。两边对积分，得得由几何方程第一式，由几何方程第二式，第二十九页第三十页，共58页。再将式（a）和（b）代入几何方程的第三式，分开变量后，两边分别为的函数，各应等于同一常数G，即两边对积分，得第三十页第三十一页，共58页。于是得两个常微分方程。式（c）中的前一式为对式（c）的后一式再求一次导数，得第三十一页第三十二页，共58页。将和代入的表达式；并由式（c）得得解为第三十二页第三十三页，共58页。代入后，得出位移的解答如下，第三十三页第三十四页，共58页。由反对称条件，当时，而另两个刚体位移分量H和K，因未有约束条件不能求出。

代入，得最后的位移解，第三十四页第三十五页，共58页。水平位移是在半平面体的左半表面，铅直沉陷是取B点为参考点，则M点的相对水平位移是第三十五页第三十六页，共58页。圆盘的直径为d，在一直径AB的两端点受到一对大小相同，方向相反的集中力F的作用，试求其应力。例题6第三十六页第三十七页，共58页。解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。

（a）假设GH以下为半平面体，在A点的F作用下，引用书中式（4-22）之解，第三十七页第三十八页，共58页。（b）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类似地得出（c）对于圆周上的点M，分别作用且，并有显然，在圆周上有第三十八页第三十九页，共58页。因此，圆盘在对径受压时，其应力解是

(a),(b),(c)三部分解答之和。

两者合成为圆周上的法向分布压力为了消除圆周上的分布压力，应在圆周上施加分布拉力其对应的应力分量为第三十九页第四十页，共58页。由于最大压应力发生在圆盘的中心，得到CD线上的应力分量

现在来计算水平直径CD线上的值。对于N点，设则有第四十页第四十一页，共58页。读者试求出CD线和AB线上的水平正应力值，并证明在中心线AB上，为常量的拉应力。AB线上的常量拉应力，便是劈裂试验的参考解答。第四章例题第四十一页第四十二页，共58页。

图示的曲杆，其截面为狭矩形，内外半径分别为r和R，在两端受有力矩M的作用，试求其应力。例题7第四十二页第四十三页，共58页。解：本题中每一个截面上，内力都是M，因而也属于轴对称问题，可以引用轴对称应力解：第四十三页第四十四页，共58页。在主要边界上，边界条件是由于，后两式自然满足，而其余两式为在两端部，或者任一截面上，有边界条件第四十四页第四十五页，共58页。上式中第一式自然满足。对于后两式，注意有积分式得到第四十五页第四十六页，共58页。注意式(c)实际上是式(a)和(b)的组合。由式(a)、(b)、(d)解出第四十六页第四十七页，共58页。其中曲杆中的应力分量为第四十七页第四十八页，共58页。

例题8图示的三角形悬臂梁，在上边界受到均布压力q的作用，试用下列应力的函数求出其应力分量。第四十八页第四十九页，共58页。解：应力函数应满足相容方程和边界条件，从中可解出常数第四十九页第五十页，共58页。得出的应力解答是第四章例题第五十页第五十一页，共58页。在截面mn上，正应力和切应力为第五十一页第五十二页，共58页。

例题9

图中所示的半平面体，在的边界上受到均布压力q的作用，也可以应用下列用极坐标表示的应力函数进行求解，试求其应力分量。第五十二页第五十三页，共58页。解：将上述的应力函数代入相容方程，并校核边界条件，若两者均满足，就可以求出应力分量。第五十三页第五十四页