成人高考高数二专升本真题及答案

2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试

高等数学（二）

一、选择题：每小题10分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题

目要求。

1.limcos(x−2)

=（

）

x−2

x3

A.1

B.cos1

C.0

D.π

答案：B

解读：limcos(x−2)=cos(3−2)

=cos1

x−2

3−2

x3

2.设函数y=x

dy

+1,则=（

）

2

dx

A.1

B.x2

C.2x

D.x

x3

3

2

答案：C

3.设函数f(x)=cosx,则f’(π)=（

）

2

A.−1

B.−1

C.0

D.1

2

答案：A

解读：

fx

sin1

sinx,f

2

2

4.下列区间为函数f(x)=sinx的单调增区间的是（

）

1/8

A.(0,π

π

π

3π)D.(0,2π)

)B.(,π)C.(,

2

2

22

答案：A

5.∫x2dx=（

）

3

A.3x

x

D.x+C

+C

B.x+C

C.+C

3

3

3

2

答案：C

解读：由基本积分公式

xadx

1

x

a1C可得

a1

6.∫1

dx=（

）

1+x

A.e1+x+C

答案：D

1

B.

+C

C.x+C

D.ln|1+x|+C

1+x

1

1

解读：

dx

dxln1xC

1

1x

1x

7.设函数z=ln(x+y),则∂z|

=（

）

(1,1)

∂x

A.0

B.1

C.ln2

D.1

2

答案：B

1,y1代入，∂z|

解读：∂z

=1,将x

(1,1)=1

2

∂x

x+y

∂x

8.曲线y=√4−x与x轴所围成的平面图形的面积为（

）

2

A.2

B.4

C.2π

D.4π

2/8

答案：C

解读：画图可知此图形是以坐标原点为圆心，半径为2且位于x轴上方的半圆，

也可用定积分的几何意义来做

2z

x2

9.设函数z=ex+y2,则

（

）

A.2y

B.e

D.ex

+2y

x

C.e+y2

x

答案：D

z

2z

解读：x，

e

e

x

x

x2

10.设事件A,B互不相容,P(A)=0.3,P(B)=0.2,则P(A+B)=（

）

A.0.44

答案：B

B.0.5

C.0.1

D.0.06

解读：因为A，B互不相容，所以P(AB)=0，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5

二、填空题：每小题4分，共40分.

11.limx2+x+2=.

x2−3

x1

2

答案：

limx2+x+2=12+1+2=−2

解读：

x2−3

12−3

x1

12.limsin2x=.

3x

x→0

3/8

2

3

答案：

解读：limsin2xsin2x和2x等价无穷小替换lim2x2

3x

3x

3

x0

x0

x+1,x<0

13.设函数f(x)={2

在x=0处连续,则a=.

a+x,x≥0

答案：1

lim

lim11,lim

lim,1

axaa

解读：

fx

x

fx

2

x0

x0

x0

x0

14.曲线y=x

+3x的拐点坐标为.

3

答案：（0，0）

解读：33,60,0，将x0

y

代入，y0，所以拐点为0,0

y

x2

y

x

x

15.设函数f(x)=cosx,则f’’(x)=.

cosx

答案：

解读：

sinx,fxcosx

fx

16.曲线y=sin(x+1)在点(-1,0)处的切线斜率为.

答案：1

ycosx1

cos01

，ky

解读：

x1

17.∫2xex2dx=

.

答案：e+C

x2

xedxedxeC

解读：

2

x2

x2

2

x2

4/8

18.∫1cosxdx=.

0

答案：sin1

1cosxdxsinsin1sin0sin1

解读：

x

1

0

0

19.∫+∞e−x

dx=.

0

答案：1

解读：

edx

ex

e

1

e

edx

x

x

0

0

0

0

20.设函数z=x,则全微分dz=.

e

3y

答案：3x

edx+xedy

2y

3y

z

z

dzz

，

z

y

dx

解读：2y，

3xe

xe

3y

dy

x

y

x

三、解答题：共70分。解答应写出推理、演算步骤。

21.计算limex−1

x

x0

答案：limex−1=limex=1

x

1

x0

x0

22.计算∫lnx

dx.

x

答案：∫lnx

1

dx=∫lnxd(lnx)=(lnx)+C

2

x

2

23.计算∫lnx

dx.

x

答案：∫lnx

1

dx=∫lnxd(lnx)=(lnx)+C

2

x

2

5/8

24.计算∫xcosxdx.

解读：∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C

25.已知某篮球运动员每次投篮投中的概率是0.9,记X为他两次独立投篮投中的次

数.

（1）求X的概率分布

（2）求X的数学期望EX

解读：（1）x可能的取值是0,1,2

P(x=0)=0,1×0.1=0.01

P(x=1)=2×0.9×0.1=0.18

P(x=2)=0.9×0.9=0.81

因此x的概

率分布为

0

1

2

0.010.180.81

（2）数学期望EX=0×0.01+1×0.18+2×0.81=1.8

26.求函数f(x)=x

−3x−2的单调区间和极值.

3

fx

fx

=0,得驻点x=-1,x=1

解读：

=3x-3，令

2

1

2

6/8

x

-1

0

(-1,1)

(1,+∞)

+

-

+

↑

极小值-4

因此f(x)的单调增区间是(-∞,−1),(1,+∞)。单调减区间为(-1,1)

f(x)极大值为f(-1)=0,极小值为f(1)=-4

27.已知函数f(x)=−x

+2x：

2

（1）求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形的面积S。

（2）求(1)中平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.

y=−x+2x

2

解读：（1）由{

得交点坐标为(0,0),(2,0)

y=0

3

S=∫2(−x

x+x）|2

=4

3

+2x)dx=（−

2

2

0

0

3

（2）V=∫2π(−x

2

=π(1

4

2=16π

+2x)dx=π∫(x−4x+4x)dx

x−x+x)|

2

2

4

3

2

5

4

3

0

0

0

5

3

15

28.求二元函数f(x,y)=x

+y+2y的极值.（2012年）

2

2

fx’(x,y)=2x

，令{x

f’(x,y)=0

解读：{

得驻点（0，−1）

fy′(x,y)=2y+2

fy′(x,y)=0

因为f′′(x,y)=2,f′′(x,y)=0,f