第04讲空间直线平面的垂直

第04讲空间直线、平面的垂直1．直线与直线垂直(1)定义：若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它就和平面内的任意一条直线垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a，b⊂α))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α一．直线与平面垂直的判定与性质例1．如图，四棱锥中，，为正三角形，，，，．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可（2）利用等体积法求解即可【详解】（1）如图，取中点，连结，因为，，，所以四边形为矩形，∴，∵侧面为等边三角形，，则，且，而，∴满足，∴为直角三角形，即，又，平面，平面∴平面，且平面∴，又∵，，平面，平面∴平面．（2）由（1）可知，∴，又∵，，∴，而，设点到平面的距离为，由于，则有，∴，∴，因此点到平面的距离为．例2．如图，三棱柱的所有棱长均为1，且点在底面上的射影是AC的中点D.与交于点E，与交于点F.(1)证明：；(2)求几何体ABCFE的体积.【分析】（1）连接，利用等腰三角形的三线合一得，再利用线面垂直的判定得平面，从而，再利用菱形性质得，最后再次利用线面垂直的判定和性质即可得到答案；（2）通过棱锥体积公式求得，再利用其与几何体ABCFE的体积的关系即可.【详解】（1）因为点在底面上的射影是的中点，所以,连接，因为是边长为1的正三角形，所以,因为平面,所以平面,因为平面,所以.因为四边形是边长为1的菱形,所以,又因为平面，所以平面,因为平面，所以.（2）因为三棱柱的所有棱长均为1,且点在底面上的射影是的中点,所以三棱柱的高为.又的面积为,所以由题可知,点为的中点,点为的中点,所以梯形的面积是的面积的,所以.例3．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．求证：BC⊥平面ACD．【分析】要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可．【详解】在图1中，直角梯形中，因为，且，则，所以，则，又因为，由余弦定理可得，，也即，解得，所以，从而，故，取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC＝AC，DO⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD＝O，平面ACD，∴BC⊥平面ACD.例4．如图，在三棱锥中，平面分别是的中点．求证：(1)平面；(2)平面．【分析】（1）由线面平行的判定定理可得答案；（2）由线面垂直的判定定理和性质定理可得答案.【详解】（1）如图所示，在中，分别为的中点，．又平面平面，平面；（2）在中，，，平面平面，又平面平面，平面．平面，在中，为的中点，，又平面平面，平面．【复习指导】：证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．二．平面与平面垂直的判定与性质例5．如图，在三棱锥中，为直角三角形，，的边长为4的等边三角形，，．求证：平面平面ABC．【分析】通过等腰三角形性质、中位线的性质、勾股定理，证明平面ABC，可证平面平面ABC．【详解】（方法一）证明：如图，分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，则．因为，，所以，．因为是边长为4的等边三角形，所以，，在中，，，因为，点E为AB的中点，所以，，在中，有，所以，，平面ABC，所以平面ABC，因为平面PAB，所以平面平面ABC．（方法二）证明：如图，分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，PE，DE，则．因为，所以，，是等边三角形，则，由，平面PDE，所以平面PDE，又平面PDE，所以，因为，点E为AB的中点，所以，又，平面ABC，则有平面ABC，因为平面PAB，所以平面平面ABC．例6．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是正方形，，点为上的点，.(1)求证：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.【分析】（1）根据线面垂直的判定证明，，进而可得平面，从而得到平面平面；（2）（法一）利用等体积法求解；（法二）以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，再根据点到面的向量表示求解即可.【详解】（1）因为底面四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）（法一）因为平面，平面，所以，因为底面四边形为正方形，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，即为直角三角形，因为，则，所以，，，，在中，，在中，由余弦定理，即，同理可求得，所以为直角三角形，，因为，所以点到平面的距离为，设点到平面的距离为，由得，即，所以，所以点到平面的距离为.（法二）因为，则，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.所以，由，得，，，，设平面的一个法向量为，则取，可得，，所以，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为.例7．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面底面，.证明：平面平面.【分析】利用面面垂直的性质，结合勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.【详解】连接，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，则，，因为平面底面，平面底面，底面，则平面，平面，又平面，于是，而，则有，于是，因此，而平面，则平面，又平面，所以平面平面.例8．如图（1），点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，将沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，连接CD和BD，如图（2）．(1)求证：平面平面BCD；(2)在线段BD上确定一点F，使得平面ADE.【分析】（1）由D－AE－B成直二面角得到平面平面，利用面面垂直性质定理得平面，从而，再通过线面垂直证明面面垂直；（2）分别取线段BD，AB的中点F，G，利用线线平行证明线面平行，进而证明面面平行，即可证明结论.【详解】（1）在直角梯形ABCD中，取DE中点为M，连接AM，则DM=EM=1，AM=BC=1，所以，所以，所以，因为D－AE－B成直二面角，所以平面平面，又平面平面=AE，平面，所以平面，因为平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，因为平面BCD，所以平面平面BCD；（2）如图，分别取线段BD，AB的中点F，G，连接，则，又平面，平面，所以平面，在直角梯形ABCD中，且，所以四边形AGCE为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面ADE.所以当点F线段的中点时，平面ADE.【复习指导】：(1)面面垂直判定的两种方法与一个转化①两种方法：(ⅰ)面面垂直的定义；(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．②一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2)面面垂直性质的应用①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．三．垂直关系的综合应用例9．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，.(1)证明.(2)记圆柱的体积为，四棱锥P-ABCD的体积为，求；【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据垂直关系，要证明线线垂直，转化为证明平面；（2）首先求圆柱和四棱锥的体积，再求体积的比值.【详解】（1）证明：由已知得是等边三角形，，是直径，所以，即，则为等边三角形的角平分线，所以，又PC是圆柱的母线，则PC⊥平面ABCD，平面，所以又，平面，则BD⊥平面PCA，平面，所以（2）由已知得，，则，所以,,,于是，，所以.例10．如图，四棱锥－中，为正方形，为中点，平面⊥平面，，．(1)证明：//平面；(2)证明：；(3)求三棱锥－的体积．【分析】（1）连接交于点，连接，，由中位线性质有//，根据线面平行的判定即可证结论.（2）面面垂直推出线面垂直，再推出线线垂直.（3）取中点，连接，由面面垂直的性质可得⊥平面，再对所求的三棱锥体积公式进行换底即可求出答案.【详解】（1）连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以点为的中点，又为的中点，所以//，又因为平面，平面，所以//平面.（2）因为四边形为正方形，所以⊥，

又因为平面⊥平面，平面平面=，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥.（3）取中点，连接，因为，所以⊥，又因为平面⊥平面，平面平面=，平面，所以⊥平面，由得，记点到平面的距离为，因为为的中点，所以,所以【复习指导】：利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.例11．在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD的面积为8eq\r(7)，求四棱锥P－ABCD的体积．【详解】(1)当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD.连接CM，证明：由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD，PM⊂平面PAD，AD为平面PAD和平面ABCD的交线，可得PM⊥平面ABCD，又PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，可得MC＝AB＝MD＝a，则CD＝eq\r(2)a，PD＝2a，由PM⊥MC，可得PC＝eq\r(PM2＋MC2)＝eq\r(3a2＋a2)＝2a，而△PCD的面积为eq\f(1,2)·eq\r(2)a·eq\r(4a2－\f(1,2)a2)＝eq\f(\r(7),2)a2＝8eq\r(7)，可得a＝4，四棱锥P－ABCD的体积为V＝eq\f(1,3)S四边形ABCD·PM＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(4＋8)×4×4eq\r(3)＝32eq\r(3).【复习指导】：对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．例12．如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq\f(BM,BS)的值；若不存在，请说明理由．【详解】(1)证明取SC的中点G，连接FG，EG，∵F，G分别是SB，SC的中点，∴FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC，∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，∴AE∥BC，AE＝eq\f(1,2)BC，∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，∴AF∥EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，∴AF∥平面SEC.(2)证明∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，∴SE⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.(3)解存在点M满足题意．假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE，则BD⊥OM，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，∴BE＝eq\r(7)，SE＝eq\r(3)，BD＝2OB＝2eq\r(3)，SD＝2，SE⊥AD，∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，∴SB＝eq\r(SE2＋BE2)＝eq\r(10)，∴cos∠SBD＝eq\f(SB2＋BD2－SD2,2SB·BD)＝eq\f(3\r(30),20)，∴eq\f(OB,BM)＝eq\f(3\r(30),20)，∴BM＝eq\f(2\r(10),3)，∴eq\f(BM,BS)＝eq\f(2,3).1．下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D【分析】利用线面平行的判定定理证明A正确；利用面面垂直的判定定理证明B正确；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明C正确；举反例可得D错误.【详解】对于，设平面∩平面=直线a,设直线，直线平面，且ba,根据线面平行的判定定理可得直线b，故正确；对于B，如果内存在直线与垂直，则由面面垂直的判定定理可知平面⊥平面，与已知矛盾，故正确；对于C，设平面α平面γ，平面β平面γ,在内作直线，由面面垂直的性质定理可得，又∵直线,∴,又∵α∩β＝l，∴为相交直线，又∵平面，∴l⊥平面γ，故C正确；平面α⊥平面β，设平面α∩平面β，在平面α内与平行的直线都不与平面垂直，故D项错误．故选:D.2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β【答案】C【分析】分别根据面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理判断选项即可.【详解】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于,若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则与平行或相交，故错误；对于,若m∥α，m∥n，则n∥α或，故错误；对于,若m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正确；对于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则或与相交或∥，故错误.故选：.3．若，，，，为空间直线，，为平面，则下列说法错误的是（

）A．，，则B．，，，则C．，，，则D．，是异面直线，则，在内的射影为两条相交直线【答案】D【分析】根据线线、线面、面面垂直的性质和判定定理可以判定ABC都正确，考虑到异面直线在同一平面内的射影不同情况，可知D错误.【详解】由于两平行线与任意直线所成的角都相等可知A正确；由平面垂直的性质和面面垂直的判定定理可知B正确；由平面平行的性质和线面垂直的性质可得C正确；由于两异面直线在同一平面内的射影可能是平行直线，相交直线，一条直线和直线外的一点，故D错误，综上不正确的是D，故选：D.4．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分不必要条件【答案】A【详解】试题分析：α⊥β，b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件、必要条件.5．在正方体中，E，F分别为的中点，则（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；选项BCD解法一：如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，设平面的法向量为，则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A.选项BCD解法二：解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，在内，作于点，在内，作，交于点，连结，则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，为中点，则，由勾股定理可得，从而有：，据此可得，即，据此可得平面平面不成立，选项B错误；对于选项C，取的中点，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；故选：A.6．如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线异面，直线平面D．直线与直线相交，直线平面【答案】A【分析】根据空间的平行和垂直关系进行判定.【详解】连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；由正方体的性质可知，所以平面平面，又平面，所以直线平面，故A正确；以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，显然直线与直线不平行，故B不正确；直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；直线与直线异面，不相交，故D不正确；故选：A.7．如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：①平面；②三棱锥体积为定值；③平面；④平面平面；其中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④，由棱锥体积公式判断②．【详解】与显然不垂直，而，因此与显然不垂直，从而平面是错误的，①错；，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值，中，的长不变，到的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；平面就是平面，而与平面相交，③错；长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正确．故选：C．8．如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列命题中错误的是（

）A．直线和平面所成的角为定值B．点到平面的距离为定值C．异面直线和所成的角为定值D．直线和平面平行【答案】A【分析】逐个进行分析，对点取特殊点可得A正误，根据线面平行可知B的正误，依据线面垂直可知C的正误，然后利用线面平行可知D的正误.【详解】对A，由平面，当点分别在点或时，线面角不一致，故A错误；对B，由//,平面,平面,所以//平面，所以点到平面的距离为直线上任意点到平面的距离，故B正确对C，由平面即平面,,,平面，所以平面，所以，故C正确对D，由平面即平面，//，平面，平面，所以//平面，所以D正确故选：A9．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项.【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选：C10．如图，已知正四棱台中，，，，点分别为，的中点，则下列平面中与垂直的平面是（

）A．平面 B．平面DMN C．平面ACNM D．平面【答案】C【分析】延长交于一点，取中点，连接，根据三角形相似及长度关系可得为等边三角形，即可得，，由长度关系及平行可证明，，即可证明在上，在上，再根据线面垂直的判定定理即可得出结果.【详解】解：延长交于一点，取中点，连接，如图所示：因为正四棱台，所以为正四棱锥，因为，，，且，所以，即，解得，所以，即为等边三角形，因为为中点，所以，且，同理可得，因为，所以，即，因为为中点，所以，故，，因为，，所以，，所以，，因为，，所以在上，在上，因为，，所以，，即，，因为平面，平面，，所以平面.故选：C11．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（

）A． B．//平面C． D．//平面【答案】B【分析】A选项可以利用三线合一证明垂直关系，B选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C选项先通过类似A选项的证明得到线线垂直，结合AC的结论得到线面垂直后判断，D选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明，【详解】不妨设棱柱的高为，.B选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误；A选项，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），A选项正确；C选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），结合A选项，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，故，C选项正确；D选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由平面，平面，故//平面，D选项正确.故选：B12．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（

）A．MNAB B．MN与BC所成的角为45°C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC【答案】D【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN不与AB平行，根据异面直线平面角知MN与BC所成的角为90°，应用反证知OC不与平面VAC垂直，由面面垂直的判定知面VAC面VBC，即可知正确选项.【详解】M，N分别为VA，VC的中点，在△中有，在面中，MN不与AB平行；，知：MN与BC所成的角为；因为面，与平面内交线都不垂直，OC不与平面VAC垂直；由面，面即，而知，有面，又面，所以面面；故选：D【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.13．（多选）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解.【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，，故A错误；由，四边形为平行四边形，所以，故B正确；因为,,所以平面,所以，故C正确；因为，而,所以，故D正确.故选：BCD14．（多选）如图，棱长为2的正方体的内切球球心为，分别是棱的中点，在棱上移动，则（

）A．对于任意点，平面B．存在点，使平面C．直线的被球截得的弦长为D．过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值为【答案】BD【分析】A选项，举出反例；B选项，取为的中点时，证明平面；C选项，求出球心到EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离，从而求出截面面积最小值.【详解】正方体内切球的球心即正方体的中心，且球半径，当与重合时，平面，平面，此时直线与平面相交，A错误；当为的中点时，，，，则平面，因为平面，所以；同理，，因为，所以平面，即平面，B正确；取的中点，由对称性可知，，则.因为，，则，所以直线的被球截得的弦长为，C错误；设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则.因为，则，所以截面圆面积，D正确，故选：BD.15．（多选）如图，平面四边形中，是等边三角形，且是的中点．沿将翻折，折成三棱锥，翻折过程中下列结论正确的是（

）A．存在某个位置，使得与所成角为锐角B．棱上总恰有一点，使得平面C．当三棱锥的体积最大时，D．当二面角为直角时，三棱锥的外接球的表面积是【答案】BCD【分析】证明判断A；取CD的中点N，由推理判断B；三棱锥的体积最大时确定点C位置判断C；求出三棱锥的外接球半径计算判断D作答.【详解】取BD中点E，连接CE，ME，如图，因是正三角形，有，而是的中点，有，而，则，，平面，于是得平面，平面，所以，A不正确；取CD的中点N，连MN，因是的中点，则，平面，平面，所以平面，B正确；因，要三棱锥的体积最大，当且仅当点C到平面距离最大，由选项A知，点C到直线BD的距离，是二面角的平面角，当时，平面，即当C到平面距离最大为时，三棱锥的体积最大，此时，有，而，，平面，则有平面，平面，所以，C正确；三棱锥的外接球被平面所截小圆圆心是正的中心，，被平面所截小圆圆心为点M，设球心为O，连，则平面，平面，当二面角为直角时，由选项C知，平面，平面，有，四边形为矩形，，连，在中，，所以三棱锥的外接球的表面积，D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.16．（多选）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（

）A．四棱锥为“阳马”B．四面体为“鳖臑”C．四棱锥体积最大为D．过点分别作于点，于点，则【答案】ABD【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵中，，侧棱平面，A选项，∴，又，且，则平面，∴四棱锥为“阳马”，对；B选项，由，即，又且，∴平面，∴，则为直角三角形，又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形．∴四面体为“鳖臑”，对；C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，，错；D选项，因为平面，则，且，则平面，∴，又且，则平面，所以则，对；故选：ABD．17．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β(填所选条件的序号)【答案】(3)(5)(2)(5)【详解】根据面面平行的特征可得，若m⊂α，α∥β，则m∥β；根据线面垂直以及面面平行的特征可得，若m⊥α，α∥β，则m⊥β.18．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝________.【答案】eq\f(4\r(5),5)【详解】如图，取SA的中点E，连接PE，QE.∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，∴AB⊥平面SAD，故PE⊥平面SAD，又AR⊂平面SAD，∴PE⊥AR.又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，∴AR⊥平面PEQ，∵EQ⊂平面PEQ，∴AR⊥EQ，∵E，Q分别为SA，AD的中点，∴EQ∥SD，则AR⊥SD，在直角三角形ASD中，AS＝4，AD＝2，可求得SD＝2eq\r(5)，由等面积法可得AR＝eq\f(4\r(5),5).19．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)【详解】∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD.则给出下面四个命题，正确的是____________．(把正确结论的序号都填上)①A′D⊥BC；②三棱锥A′－BCD的体积为eq\f(\r(2),2)；③BA′⊥CA′；④平面A′BC⊥平面A′DC.【答案】③④【详解】如图所示，E为BD的中点，连接A′E.因为E为BD的中点，所以A′E⊥BD，所以易得A′E⊥平面BCD，所以A′E⊥BC.若A′D⊥BC，则可得到BC⊥平面A′BD，故BC⊥BD，与已知矛盾，故①错误．三棱锥A′－BCD的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6)，故②错误．在直角三角形A′CD中，A′C2＝CD2＋A′D2，所以A′C＝eq\r(3).在三角形A′BC中，A′B＝1，BC＝2，A′C＝eq\r(3)，满足BC2＝A′B2＋A′C2，所以BA′⊥CA′.故③正确．又BA′⊥DA′，所以BA′⊥平面A′DC，所以平面A′BC⊥平面A′DC，故④正确．21．如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.证明：平面平面.【分析】依题可知，，利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证出平面平面.【详解】由已知可得，，，又，所以平面.又平面，所以平面平面.22．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.证明：BE⊥平面EB1C1。【分析】利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面.【详解】（1）证明：因为是长方体，所以侧面，而平面，所以又，，平面，因此平面；23．如图，已知四棱雉中，，是面积为的等边三角形，且，.(1)证明：直线；(2)求点到平面的距离.【分析】（1）首先做辅助线，取AB得中点E，连接SE，DE，转化垂直关系，证明平面；（2）利用等体积转化，，求点到平面的距离.【详解】（1）取AB得中点E，连接SE，DE如图所示，因为，所以，因为的面积为，所以.在中，，，，因为，所以，因为是等边三角形，为线段的中点，所以，又因为,平面ABCD，所以平面ABCD.平面ABCD，，，，平面，平面SAB，又平面SAB，直线.（2）由（1）知平面ABCD，所以SE为四棱锥的高，又，故三棱锥的体积，又因为，.，，.24．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB=4，BC=6．证明：平面平面．【分析】作出辅助线，由直径得到线线垂直，结合圆柱的母线与底面垂直，得到线面垂直，进而得到面面垂直.【详解】证明：连接AF，∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AB为圆O的直径，∴，又EF是圆柱的母线，∴平面ABF，∵平面ABF，∴，又∵，平面，∴平面ADF，又∵P是线段AD的中点，∵平行，∴平面ADF即为平面EPF，∴平面EPF，∵平面BEF，∴平面平面BEF．25．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.(1)证明平面；(2)证明平面.【详解】（1）证明：连接，交于，连接．因为底面是正方形，所以点是的中点，在中，是中位线，所以，而平面且平面，所以，平面.（2）证明：由底面，面，得，因为底面是正方形，有，又，平面，所以平面，而平面，所以，因为，可知是等腰三角形，而是边的中点，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面．26．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1．证明：SD⊥平面SAB．【分析】利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可．【详解】证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，∴；∵侧面SAB为等边三角形，AB＝2，∴SA＝2；∵SD＝1，∴，∴SD⊥SA同理：SD⊥SB，∵SA∩SB＝S，SA，SB⊂平面SAB，∴SD⊥平面SAB.27．如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为1，延长直径到点，使得，分别过点作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点.(1)证明：平面平面；(2)点到平面的距离为，求的值.【分析】（1）由线面垂直、切线的性质可得、，再根据线面垂直及面面垂直的判定即可证得．（2）利用等体积法求点到平面的距离为.【详解】（1）由题设，平面，又是切线与圆的切点，所以平面，则，且，又平面所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为，，，所以，又，，所以，所以，所以，且的面积为，因为，所以，所以为等腰三角形，其底边上的高为，所以的面积为，因为，所以所以.28．如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，，为的中点，为的中点，平面过、、三点且与面交于直线，交于点.(1)求证：面面；(2)求证：.【分析】（1）取中点记为，可得，，由勾股定理可证明，，从而得面，即可得证；（2）取、中点分别记为、，可得四边形为菱形，记交于点，平分、，可知面，由且，故，进而证得结论；【详解】（1）取中点记为，连接和，由于，，得为等边三角形，故，，由，，得，则，，，由，得，由，，，、面，得面，又由面，得面面；（2）取、中点分别记为、，连接、、、、、，由中位线定理得MN∥DC，MN＝DC，同理SR∥AB，SR＝AB，又AB∥DC，AB＝DC，则MN∥SR，MN＝SR，则为平行四边形，又NR＝CB，MN＝DC，CB＝DC，则NR＝MN，则四边形为菱形，记交于点，平分、，∵面且面，又∵面且面，∴面，在面中，且，故，进而；29．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为2，且B1C=，，D是棱BB1的中点.(1)证明：平面ABC⊥平面ABB1A1；(2)求点B到平面ACD的距离.【分析】（1）取棱AB的中点O，连接OB1，OC，AB1，再根据菱形的性质，结合线面垂直的判定证明⊥平面ABC即可；（2）作DH⊥AB，垂足为H，连接CH，再根据等体积法求解即可.【详解】（1）证明：如图，取棱AB的中点O，连接OB1，OC，AB1.由题意可知AA1B1B为菱形，且，则为正三角形.因为O是棱AB的中点，所以.由题意可知△ABC是边长为2的等边三角形，则OC⊥AB，，因为△是边长为2的等边三角形，所以，因为，所以，所以.因为AB，OC平面ABC，且，所以⊥平面ABC.因为OB1平面ABB1A1，所以平面ABC⊥平面.（2）作DH⊥AB，垂足为H，连接CH，则DH⊥平面ABC.因为D是棱BB1的中点，所以，，则，，因为DH⊥平面ABC，且CH平面ABC，所以DH⊥CH，则..设点B到平面ACD的距离是d，因为，所以，解得，即点B到平面ACD的距离是.30．如图，圆柱的轴截面是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦交于点，其中．证明：平面平面．【分析】将面面垂直转化为平面，根据圆和圆柱的性质可证.【详解】证明：由题意可知：在下底面圆中，为直径．因为所以为弦的中点，且．因为平面．所以平面．因为平面．所以平面平面．31．如图，四棱锥中，底面.底面为等腰梯形，.求证：平面平面.【分析】将问题转化为证明平面PAC，然后利用已知和勾股定理可证；【详解】作，垂足为，则由余弦定理，.又底面，面因为，平面PAC，所以平面PAC，又平面PAB，所以平面平面32．图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面.【分析】证明即可证得，，，四点共面，根据，证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证.【详解】在图2中，由题意得，所以，所以图2中的，，，四点共面，由已知得，又平面，所以平面，又因平面，所以平面平面.33．在四棱锥中，底面为梯形，，，侧棱底面，E为侧棱上一点，．求证：平面平面.【分析】连结相交于点O，连结．由平行关系证得，又，从而，又底面，所以底面，平面平面；【详解】证明：连结相交于点O，连结．在梯形中，∵，可得，∴，又已知，则在中，，∴．又底面，∴底面，则平面平面；34．如图，四棱锥中，平面，，，，为棱上一点.若，证明：平面.【分析】取中点，连接和，推导出平面，可得出平面平面，再利用面面平行的性质可得出平面.【详解】取中点，连接和，，，且为的中点，且，所以，四边形为平行四边形，则.又平面，平面，，，.又，，平面.又平面，平面平面，平面，平面；35．如图，在三棱锥中，，D为中点，M为中点，且是正三角形，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【分析】（1）利用三角形中位线定理得出，由线面平行判定定理即可得证；（2）先由正三角形的三线合一性质得，又由推出.结合推出平面，从而得到，再由得到平面，根据面面垂直的判定定理即证.【详解】（1）证明：∵D是的中点，M是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）证明：因为是正三角形，M是的中点，所以.又∵，∴，又∵，，平面，∴平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面，∴平面，又平面，平面平面.【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判定，是立体几何中重要的知识点，属于中档题.36．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，平面ABCD为等腰梯形，，平面PAD⊥平面PAB，.求证：△PAD为直角三角形.【分析】作于H，连BD，证明，再结合面面垂直的性质、线面垂直的性质、判定推理作答.【详解】在等腰梯形中，作于H，连BD，如图，则，且，则，即，而，因此，，即，因平面平面，平面平面，平面，而，则平面，又平面，于是有，，平面，则有平面，平面，因此，，所以为直角三角形.37．如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，.若为的中点，求证：.【分析】结合已知条件和平面几何关系知，然后利用面面垂直性质和线面垂直性质可知，最后利用线面垂直判定和性质即可证明.【详解】∵侧面是菱形，∴，∵为的中点，∴，∵侧面底面，侧面底面，，底面，∴侧面，∵侧面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.38．如图，在梯形中，为直角，，，将三角形沿折起至.若平面平面，求证：.【分析】由等腰三角形性质、余弦定理及勾股定理可得，法一：由面面垂直的性质有CD⊥平面PBD，再由线面垂直的性质和判定可得PB⊥面PCD，最后由线面垂直的性质证结论；法二：取BD中点Q，连接CQ、PQ，易得PQ⊥BD，再由面面垂直、线面垂直的性质可得PQ⊥CQ，进而应用勾股定理即可证结论.【详解】由题设知：△PBD为等腰直角三角形且PB⊥PD，PB=PD=，则BD=4，又∠DBC=45°，BC=，在△BCD中由余弦定理得：CD=4，所以，即，法一：又面PBD⊥面BCD，面PBD面BCD=BD，面，所以CD⊥平面PBD，面PBD，则CD⊥PB，又，所以PB⊥面PCD，面PCD，则PB⊥PC.法二：取BD中点Q，连接CQ，在Rt△CDQ中,连接PQ，则PQ=2且PQ⊥BD，又面PBD⊥面BCD，面PBD面BCD=BD，面PBD，所以PQ⊥面BCD，面BCD，则PQ⊥CQ，在Rt△PQC中，又，所以，在△PBC中，即PB⊥PC.39．如图，矩形ABCD中，，，将沿AC折起，使得点D到达点P的位置，.证明：平面平面ABC.【分析】根据给定条件，证明平面PAB，再利用面面垂直的判断推理作答.【详解】（1）因为，，，则，于是得，又，，平面PAB，因此，平面PAB，而平面ABC，所以平面平面PAB.40．如图，四边形是菱形，且，P是平面外一点，为正三角形，平面平面.(1)若G为边的中点，求证：平面；(2)若E为边BC的中点，能否在边PC上找出一点F，使平面平面？【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可证得；（2）利用面面垂直的性质定理及判定定理即可证得.【详解】(1)因为四边形是菱形，所以.又因为，所以是等边三角形.因为G为边AD的中点，所以.因为平面平面ABCD，平面平面，平面BAD，，所以平面PAD.(2)存在点F，且F为PC的中点.证明：如图，连接CG，交DE于点M，连接FM.因为且，又E，G分别是BC，AD的中点，所以且.连接EG，则四边形CEGD是平行四边形，所以.又因为，所以.因为是等边三角形，G是AD的中点，所以.又因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以平面ABCD.又平面DEF，所以平面平面ABCD.41．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，且边长为2，侧面为菱形，，平面⊥平面.(1)求证：平面⊥平面；(2)求点A到平面的距离.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证得；（2）利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证得⊥平面，再利用等体积法可求解.【详解】(1)因为四边形为正方形，所以，因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.(2)取的中点O，因为侧面为菱形，所以，又，所以为等边三角形，所以，又O为的中点，所以.因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以⊥平面.因为侧面为正方形，且边长为2，所以的边长为2，，则三棱锥的体积为，因为AB⊥平面，平面，所以.又，所以，则.设点A到平面的距离为h，则三棱锥的体积为，利用等体积法知，解得.42．如图在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.（1）证明：；（2）若M是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求M点的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）M点在上靠近P点的四等分点处.【解析】（1）连接，由，可证明，，从而得平面，得证线线垂直；（2）设设，则，根据棱锥的体积公式，利用体积法得出结论，由，，可得值．【详解】（1）连接且E是的中点，.又平面平面，平面平面平面.平面平面.又为菱形，且分别为棱的中点，.，又平面；平面.（2）如图，连接，设，则，，，则，又..解得，即M点在上靠近P点的四等分点处.【点睛】方法点睛：本题考查由线面垂直证明线线垂直，考查由体积法求线段的比值．若是棱锥棱上一点，则．三棱锥求体积时可以换底，这样求体积比较灵活简便．43．如图所示，已知是边长为6的等边三角形，点M、N分别在，上，，O是线段的中点，将沿直线进行翻折，A翻折到点P，使得平面平面，如图所示.(1)求证：；(2)若，求点M到平面的距离.【分析】（1）由，证得，利用面面垂直的性质，证得平面，进而证得；（2）设点到平面的距离为，结合，求得的值，结合平面，利用点到平面的距离与点到平面的距离相等，即可求解.【详解】（1）证明：因为是边长为6的等边三角形，且，在中，可得，又因为点是线段的中点，所以，因为平面平面，且平面，平面平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）解：由是边长为6的等边三角形，可得的高为，因为,，可得，,则的面积为，又由平面，且，所以三棱锥的体积为，在直角中，，可得，所以的面积为，设点到平面的距离为，因为，可得，解得，又由，且平面，平面，所以平面，则点到平面的距离与点到平面的距离相等，所以点到平面的距离为.44．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得，即，从而证得平面，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，，是圆内接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.45．如图（1），在边长为的正三角形ABC中，D，E分别为AB，AC中点，将沿DE折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接AB，AC．(1)求四棱锥的体积；(2)在图（2）中，过点E作平面EFG与平面ABD平行，分别交BC，AC于F，G．求证：平面ABC．【分析】（1）作DE中点O，连接AO，证明平面BCED，结合锥体体积公式求解；（2）根据面面平行性质定理证明，，由此可证，根据线面垂直判定定理证明平面AOF，根据平面几何结论证明，由此证明平面ABC．【详解】（1）作DE中点O，连接AO，由已知，∴．因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，平面，∴平面BCED．由已知，，梯形的高为，所以四棱锥的高为，梯形的面积，所以四棱锥的体积（2）∵平面平面ABD，平面平面，平面平面，∴，同理，又，∴四边形为平行四边形，∵，∴F为BC中点，∴G为AC的中点，又，∴，∵平面，平面，∴，又∵，平面∴平面，平面，∴，∵点为直角三角形的斜边的中点，∴，因为，GE是公共边，∴，∴，故，又又，平面，∴平面.46．如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点．(1)证明：面；(2)若满足面，求的值．【分析】（1）证明出，可得出，再由已知条件可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知，计算出三边边长，利用余弦定理求出的值，可求得的长，进而可求得的长，即可得解.【详解】（1）证明：因为，，，所以，，所以，，则，因为平面，平面，所以，，又因为，、平面，所以，平面.（2）解：因为平面，平面，所以，，若面，平面，则，因为，，由余弦定理可得，因为平面，、平面，则，所以，，，在中，，，，所以，，所以，，所以，，则，因此，若满足面，则.47．如图，在三棱锥中，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）方法一：过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.【详解】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC，，知PO⊥平面ABC．（2）［方法一］：【最优解】定义法作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）易知平面，