汽车保险行业如何转嫁汽车保险

汽车保险行业如何转嫁汽车保险

0保险市场风险转移到证券市场近年来，随着科学技术的进步和社会的发展，这种曾经的奢侈品如今已经进入了普通家庭。对于保险公司来说,在大量获取汽车保单时,也面临了诸多问题,如公司的偿付能力、保单的监管等等,因此再保险被视为保险公司转移风险的重要手段之一,诸如李洪静、宋立新(2007)等学者都有过深入研究。然而随着汽车保险业的迅速发展,传统的再保险已经不能完全满足有效分散汽车保险风险的要求,于是,保险人将目光投向了证券市场。相对于保险市场而言,证券市场具有资金容量大,风险容易分散的优点。保险人往往面临着预期损失率和实际损失率差额的风险,那么,将此风险分散到证券市场中去,是一种有效规避风险的形式。例如,在2005年,法国著名汽车保险公司AXA成功卖出了20亿张欧式债券,受到了相关部门的重视,有些学者也开始逐步深入研究汽车保险市场的期权、债券等衍生产品。在国外,关于在证券市场中规避保单风险的研究有很多,其中比较著名的是TaehanBae(2008,2009)等人提出的n年期汽车保险损失率棘轮期权模型,并且他们给出了当索赔额服从指数分布时,汽车保险损失率期权定价模型的具体表达式及计算机模拟数据分析。然而,我们通过对中国保险公司的索赔额数据具体分析后发现这些数据更多时候是服从Γ-分布,因此本文在TaehanBae等人的研究基础上对其模型进行适当改进,给出了当索赔额分布服从指数分布、Γ-分布、混合指数分布、对数正态分布时的汽车保险损失率期权的定价公式,其中指数分布下的汽车保险损失率期权定价公式与TaehanBae等人的研究成果在表达形式上略有不同。另外,本文以太平洋保险公司沈阳分公司某部2008-2009年某时间段索赔数据作为样本,经检验其服从Γ-分布,我们依据Γ-分布下的汽车保险损失率期权定价公式对样本数据进行拟合,最后得到汽车保险损失率期权价格的近似解,从而解决了将保险市场风险转移到证券市场过程中的定价问题,有效的促进了保险市场和证券市场的发展,具有很好的现实意义。本文首先介绍TaehanBae等人的汽车保险损失率期权定价公式,这是一个基于鞅变换和Escher变换下的期权定价模型,然后在此基础上我们给出了当索赔额分布服从不同分布时的汽车保险损失率期权定价公式,最后根据太平洋保险公司沈阳分公司的索赔数据进行了实证分析。1两个概率模型为研究基于不同分布下的汽车保险损失率期权定价公式,我们首先要介绍TaehanBae等人的汽车保险损失率期权定价模型。这里假设聚合索赔服从复合泊松分布。为了给出累积损失模型,现在考虑累积损失的时间间隔为从发行日到到期日。假设Nt是具有参数为λt的泊松过程,则累积损失分布在概率空间(Ω,F,P)上服从标值点过程:其中,Ti为泊松过程Nt的跳跃次数,Xi为正的随即冲击,且独立同分布,具有分布函数FX(x)。进一步假设Nt和Xi是i.i.d.的。其中g(u,x)为在时间u的索赔随机变量。注意到N(du,dx)是一个泊松随机测度,意味着测度m(du,dx)=duvu(dx),其中vu(dx)=λud(FX(x))是Levy测度。由于金融市场是一个不完备的市场,要得到保险风险的无套利价格,就需要Esscher变换,使得变换后的概率测度是一个鞅。而对于一个几何Levy过程,Esscher变换是最小鞅测度,同时它也是预期效用函数强度最大化的测度。对于任何时间t>0,我们定义一个概率空间Q,其Radon-Nikodym导数为:相当于,假设EP(ehtSt)存在,其中ht是一个满足鞅条件的非负确定函数。通过Fourier变换得到:对于每个t,于是,可得到带有自留额d的停止损失保费的无套利价格,即由Dufresneetal(2006)中定理3.4得到:其中PV是柯西数值积实际损失率定义为在[0,t]上实际聚合损失除以总的毛保费。在实践中,固定损失率由历史索赔数据决定。并且经常由模拟未来损失完成,其中未来损失可由保险公司得到。定义在[0,t]上毛聚合保费为其中Lt=Stert是到时间t的聚合损失,和是连续型支付年金的现值和累积值。那么,对于每一个触发点,我们定义如下门限:其中,π>-1为提前给定的门限值,如果保险公司想规避高于历史损失的预期损失,那么其会选择较大的π。在每一个触发点,保险人就会支付高于门限的超出损失率的保费,TaehanBae等(2009)给出一个n年棘轮期权的无套利定价公式如下:关于棘轮期权,它最早用于法国CAC40种股票指数交易,其敲定价格在各个独立子期限内使不同的,并且可随市场价格的波动而变化,棘轮期权内含一系列预先设定的敲定价重订日,其通常为下一子期限的开始日,该子期限上的期权的敲定常为该开始日标的物的市场价格。2基于不同分布下汽车保险赔偿的授权率评价模型常见的索赔额分布有指数分布、Γ-分布、混合指数分布、对数正态分布,下面依次研究在各自的索赔额分布下,汽车保险损失率期权的定价公式。2.1汽车保险损失率特权的定价公式关于指数分布下汽车保险期权定价方面的研究,我们在TaehanBae等人的研究成果上,通过改变相关参数,得到如下结论。定理1假设索赔额X服从指数分布,索赔次数N服从参数为λ的泊松分布,且X与N相互独立,于是得到n年期汽车保险损失率期权的定价公式:证明指数分布的矩母函数:。依据(TaehanBae等,2009)的相关结果有:我们得到ht的显式表达:St分布的Fourier变换为:其中将上述公式代入(1)式,最终得到带有自留额d的停止损失保费的无套利价格:该汽车保险损失率期权定价公式与TaehanBae等人的研究成果在表现形式上略有不同。接下来我们重点研究基于混合指数分布、Γ-分布和对数正态分布时的汽车保险损失率期权的定价公式。2.2索赔额x服从混合分布有些情况下,用指数分布拟合索赔额的效果不理想,可以考虑用几个指数分布的加权平均来拟合样本数据,这就用到了混合指数分布。定理2假设索赔额X服从混合分布,参数为(a1,a2,…,am,β1,β2,…,βm)。,其中,索赔次数N服从参数为λ的泊松分布,且X与N相互独立,于是得到n年期汽车保险损失率期权的定价公式:证明混合指数分布的Fourier变换为:在Q下的索赔期望为:我们得到ht的隐式表达:St分布的Fourier变换为:进而,我们得到如下公式:那么,根据(5),令最终得到n年期汽车保险损失率期权的定价公式(4)。2.3汽车保险损失率长期目标Γ-分布较上述指数分布及混合指数分布在描述索赔额数据时更为贴切,不但其具有双参,比较灵活多样,而且符合金融市场中的证券产品都具有尖峰厚尾的特征,这不是一般分布所能达到的,所以在实际数据拟合时,Γ-分布能在调整双参的情况下,得到令人满意的结果。定理3假设索赔额X服从Γ-分布,其密度函数为其中α>0为形状参数,β>0为尺度参数,索赔次数N服从参数为λ的泊松分布,且X与N相互独立,于是得到n年期汽车保险损失率期权的定价公式:证明Γ-分布的矩母函数:X的Fourier变换为:在Q下索赔的期望为:我们得到ht的隐式表达:利用线性插值法,得到ht的一个近似值:。St分布的Fourier变换为:令m1=(iu+ht)β-1,m2=htβ-1,那么,上式可化为令,则有:将m1=(iu+ht)β-1,m2=htβ-1代入前述公式,得到带有自留额d=(1+π)EQ(St)的停止损失保费无套利价格:那么,根据(1),令最终得到n年期汽车保险损失率期权的定价公式(6)。2.4汽车保险损失率长期目标对数正态分布在技术、生物学、医学、经济学、金融学等领域有重要作用。例如,在医学、生物学中它用于分析不同药物或毒品的作用;在技术中,对数正态分布广泛应用于疲劳试验结果的统计分析;在金融学中,对数正态分布可用来描述有价证券的收益等,是一个很重要的分布形式,其基本统计特征如下:密度函数:分布函数:期望:矩母函数:根据概率论基础,该分布的矩母函数虽然存在,但是形式复杂,所以很难有很好的表达式,这里我用到函数的Tayor展开,得到该分布的矩母函数的一个级数表达。将在零点进行Taylor展开,得到如下级数表达式:令Y=InX,因为X服从参数为(μ,σ2)的对数正态分布,所以Y服从参数为(μ,σ2)的正态分布。所以,定理4假设索赔额X服从对数正态分布,索赔次数N服从参数为λ的泊松分布,且X与N相互独立,于是得到n年期汽车保险损失率期权的定价公式:证明X的Fourier变换为:在Q下的索赔期望为:我们得到ht的隐式表达:。St分布的Fourier变换为:进而得到带有自留额d=(1+π)EQ(St)的停止损失保费无套利价格:那么,根据(1),令最终得到n年期汽车保险损失率期权的定价公式(8)。3索赔次数、索赔额的拟合分析上一节中,我们在TaehanBae等人的研究基础上,给出了当索赔额分布服从指数分布、Γ分布、混合指数分布、对数正态分布时的汽车保险损失率期权的定价公式。接下来我们以太平洋保险公司沈阳分公司某部2008-2009年某时间段索赔数据作为样本进行实证分析(数据计算过程均使用SPSS17.0软件)。经检验该样本数据索赔次数服从泊松分布,索赔额服从Gamma分布,我们依据Γ-分布下的汽车保险损失率期权定价公式对样本数据进行拟合,最后得到汽车保险损失率期权价格的近似解,对于将保险市场风险转移到证券市场过程中的定价问题,具有一定的参考价值。索赔次数的拟合根据该汽车保险公司索赔次数的样本数据,由计算可知样本原点矩,运用参数λ=1.76的泊松分布对索赔次数进行拟合,拟合结果如下表1-2。于是,根据上述χ2检验的结果,显著性水平为0.999,故可认为该数据的拟合分布为参数为λ=1.76的泊松分布。索赔额分布的拟合根据该保险公司索赔额的样本数据,得到该数据的一些主要统计量,如表3。根据直方图及Q-Q图(见图5-8)可知,Gamma分布的拟合优度较好。接下来,进一步对于索赔额数据关于Gamma分布做χ2检验,结论见表4。那么,根据上述的检验结果知,在显著性水平为0.05的情况下,索赔额是服从Γ(α,β)分布的。那么利用矩估计方法,得到Γ(α,β)分布的两个参数值:α=0.3534,β=0.0004435。这里,假设n=2,利率r=0.05,π=0.1。于是,利用线性插值的方法,可以得到h1=0.0002,h2=0.0003,那么d1=3001。最后,根据Γ-分布下汽车保险损失率期权定价公式(6),得到2年期汽车保险损失率期权定价为:V(0.1;0)=16.17。从上述实证分析来看,汽车保险公司可以花费少量的费用来规避风险,但在具体操作时尚需要根据实际情况进行适当调整。期权发行公司发行汽车保险损失率期权,依据触发条件(即