集合的基本概念

1.1集合的概念1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系．2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述集合，熟悉常见的数集．重点：集合定义及元素的特征，集合的表示方法，常用数集表示难点：元素的互异性，分类讨论思想集合论诞生于19世纪末，其创始人是康托尔（18291920，德国数学家）。集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的出现大大扩充了数学的研究领域，可以说，集合论是整个数学大厦的基础，它不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑学。阅读课本，并尝试回答下列问题：问题1初中阶段，我们学习过哪些集合？代数方面：自然数集合，有理数集合，实数集合，方程解的集合，不等式解的集合；几何方面：点的集合等，如圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合。（1）集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）.（2）集合与元素的表示通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.问题2所有的“高个子同学”能否构成一个集合？由此说明什么？不能.其中的元素不确定集合中的元素是确定的问题3由1,2,0,5,这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5。集合中的元素是互异的问题4高一（1）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？集合没有变化集合中的元素是没有顺序的问题5通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？确定性、互异性、无序性集合相等：两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等。问题6已知下面的两个实例：（1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.（2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.思考：那么a，b与集合A分别有什么关系?【解析】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.元素与集合的关系如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R.集合的表示方法思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？【提示】可以这样表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.思考2:方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何用列举法表示呢？【提示】{1,2}问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.【小试牛刀】用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合.（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}描述法思考：能否用列举法表示不等式x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？【解析】不能。但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：（1）集合中的元素都小于10.（2）集合中的元素都是实数。这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，写作:.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.如：或或。思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法考点一集合的基本概念例1（2023·高一课时练习）下列各对象的全体，可以构成集合的是___（填序号）①高一数学课本中的难题；

②与1非常接近的全体实数；【答案】④【分析】根据集合的概念判断即可.【详解】因为①②③所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而④符合集合的概念.故答案为：④【对点演练1】下列元素的全体不能组成集合的是（

）A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流C．方程的实数解 D．周长为的三角形【答案】B【详解】中国古代四大发明可以构成一个集合，故A正确；地球上的小河流不满足集合元素的确定性，即没有标准说多小的河流算小河流，故B错误；方程的实数解是，可以构成一个集合，故C正确；周长为的所有三角形可以构成一个集合，故D正确；故选：B.【对点演练2】下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）．①所有的好人；②平面上到原点的距离等于2的点；③正三角形；④比较小的正整数；⑤满足不等式的的取值．【答案】②③⑤【详解】①中“好人”，④中“比较小”不满足构成集合元素的确定性，而②③⑤满足集合元素的性质，故②③⑤正确考点二元素与集合的关系角度1关系的判断例2给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；，为自然数及有理数，③④正确.故选：C.【对点演练1】给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（

）A．4 B．2 C．3 D．5【分析】根据数的分类一一判断即可.【详解】为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；是无理数，所以，所以②错误；不是正整数，所以，所以③正确；，所以④正确；是无理数，所以，所以⑤正确；，所以⑥错误.故选:A.【对点演练2】已知①；②；③④，其中正确的为______（填序号）.【答案】①③【详解】；；；，故①③正确.故答案为：①③已知集合,那么（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知集合，故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，故选：A角度2元素的个数问题例3（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】集合，所以集合的元素个数为9个．故选：B．例4已知集合.(1)若A中只有一个元素，求的值；(2)若A中至少有一个元素，求的取值范围.【答案】(1)或(2)【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时，为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素，A中只有一个元素时或.（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为.【对点演练】（2023湖南常德高一期末）若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题知，当时，的解有且仅有一个：，符合题意，所以；当时，要使的方程的解集中有且仅有一个元素，则有：，则.所以实数的值组成的集合中的元素个数为：2.故选：B.考点三：集合中元素特性的简单应用例5已知集合，若，则实数的值为（

）A．1 B．3 C．3或1 D．无解【答案】B【详解】若，可得当时，解得，此时，不满足集合的互异性，故（舍去），当，解得（舍去）或，此时，满足题意，故实数的值为3.故选：B【对点演练1】（2023河南焦作校考）已知集合，且，则取值构成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为集合，且，所以或.当时，解得：或.而，不符合元素的互异性，故或.故选：B【对点演练2】若，则实数的取值集合为______．【答案】【详解】因为，故或或，当时，，与元素的互异性矛盾，舍；当时，，符合；当时，或，根据元素的互异性，符合，故a的取值集合为.故答案为：【对点演练3】（2023·高一单元测试）设集合，集合，若已知，且，则的值为_______．【答案】【详解】由可知，解得或，又因为当时，，不满足题意，所以，此时，故答案为：考点四集合的表示角度1用列举法表示集合例6（2023四川雅安高一期末）集合用列举法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C.【对点演练1】（2023秋·湖南益阳·高一校联考期末）二元一次方程组的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由，所以二元一次方程组的解集是，故选：B【对点演练2】（2023·高一单元测试）若集合，用列举法表示______．【答案】【详解】集合，则是6的正约数，而6的正约数有1，2，3，6，当时，，当时，，当时，，当时，，所以.故答案为：角度2用描述法表示集合例7不等式组的解集为___________.【答案】【详解】由可得，故答案为：【对点演练】（2022秋·上海徐汇·高一校考阶段练习）用描述法表示被5除余2的正整数组成的集合为__________．【答案】【详解】∵被5除余2的正整数可用，来表示，∴被5除余2的正整数组成的集合表示为：.故答案为：.考点五已知元素与集合的关系求参数例8（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，且，解得，故选：B【对点演练】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得，解得，故选：C考点六已知集合相等求参数例9（2023河南新乡高三校开学考）已知集合，，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以.当时，，得；当时，则.故实数x的取值集合为.故选：B【对点演练】（2023全国高三专题练习）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则______________.【答案】【详解】要使得有意义，则，由集合，故可得，此时，故只需或，若，则集合不满足互异性，故舍去.则只能为.则.故答案为：.考点七集合中的新定义问题例10．（2023·全国·高三专题练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个.【答案】【详解】由题意可知，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数，故这样的集合有：、、、、、，共个.故答案为：.【对点演练】（2023春·湖南邵阳·高一统考开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可.【详解】根据“影子关系”集合的定义，可知，，为“影子关系”集合，由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合．故选：ABD一、单项选择题1．（2023·全国·高一专题练习）下列四组对象中能构成集合的是（）A．宜春市第一中学高一学习好的学生B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数D．倒数等于本身的数【答案】D【分析】根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C都不满足函数的确定性故排除，D确定，满足．【详解】解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误；B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B错误；C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误；D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．故选：D．2.已知集合A＝{﹣1，1}，下列选项正确的是（）A．1∈A B．{﹣1}∈A C．∅∈A D．0∈A【答案】A【解析】1∈A，所以A正确；{﹣1}⊆A，所以B不正确；∅⊆A，所以C不正确；0∉A，所以D不正确．故选：A．3．（2023·高一课时练习）设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为．A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】D【分析】通过判断元素与集合的关系即可得到结果.【答案】表示实数集

，则①正确表示有理数集

，则②正确表示自然数集

，则③正确是集合的一个元素

，则④正确本题正确选项：4、方程x2＝x的所有实数根组成的集合为()A.(0,1) B.{(0,1)} C.{0,1} D.【答案】.C【分析】解方程x2＝x，得x＝0或x＝1，由此能求出方程x2＝x的所有实数根组成的集合【详解】解：解方程x2＝x，得x＝0或x＝1，方程x2＝x的所有实数根组成的集合为．故选：C．5、已知集合，则M的元素个数为（）A．4B．3C．7D．8【答案】B【详解】由题意得：故选：B6.方程组的解组成的集合为（

）A． B．或C．， D．【答案】.D【分析】首先求出方程组的解，再用列举法表示集合;【详解】解：由可得或，故方程组的解组成的集合为，故选：D7.已知集合，且，则的值为（）A.－1或 B.－1 C. D.1【答案】C【分析】根据，分别考虑，注意借助集合元素的互异性进行分析.【详解】当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，当时，或（舍），此时，满足条件，综上可知：的值为.故选：C.8．（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.【详解】因为，，所以.故选：B.二、多项选择题9.下列说法中，正确的是（

）A．若，则B．中最小的元素是0C．的近似值的全体构成一个集合D．一个集合中不可以有两个相同的元素【答案】AD【分析】根据集合的概念及集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性即可判断四个选项的正误.【详解】若，则－a也是整数，即，故A正确；因为实数集中没有最小的元素，所以B错误；因为“的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，故C错误；同一集合中的元素是互不相同的，故D正确.故选：AD.10.下列说法正确的是（

）A．由所有实数组成集合，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.均不存在.B．，C．，FE，则可能有4个.D．，用列举法表示集合E为.【答案】BC【详解】根据集合之间的关系，以及集合的表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.对A：由所有实数组成的集合是空集，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是，都存在，故错误；对：，由5个2组成的集合，根据集合中元素的互异性，故，故正确；对：，因为FE，故为含有且是的子集，共有4个，故正确；对：，故错误.故选：.11.已知集合，，则为（

）A．2 B． C．5 D．【答案】BC【详解】结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得的值.依题意，当时，或，若，则，符合题意；若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.当时，或，若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.若，则，符合题意.综上所述，的值为或.故选：BC填空题12.已知集合A={x|x为不超过4的自然数}，用列举法表示A=．【答案】.{0，1，2，3，4}【详解】 解：满足x为不超过4的自然数有0，1，2，3，4．故A={0，1，2，3，4}．故答案为：{0，1，2，3，4}．13.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则__________.【答案】1【详解】解：由题意，所以，即，所以，解得，当时，与元素互异性矛盾，舍去，时，两个集合为．满足题意．所以．故答案为：1．14、若，且，则a的取值范围为．【答案】【详解】∵，∴，得．15、.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、ab、ab、∈P（除数b≠0）,则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集F={a+b|a,b∈Q}也是数域.有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集QM,则数集M必为数域;▲.(把你认为正确的命题的序号都填上)【答案】③④【详解】对于命题①，因当时，，所以命题①错误；对于命题②，如，则，所以命题②错误；对于命题③，设数域P,a∈P,b∈P(假设a≠0),则a+b∈P,则a+(a+b)=2a+b∈P,同理na+b∈P,n∈N,故数域必为无限集，所以命题③正确；对于命题