判别式的八种应用

#判别式的八种应用一、求方程组的解及解的取值范围例1若2+2+y2—6y+10=0,,y为实数.求，y原初中代数第四册第207页32题解：将方程看成是关于的一元二次方程，由于，y为实数.A=22-4y2—6y+10=14y—32,0.即y—32W0,于是y=3,进而得=—1.例2已知a,b,c为实数，满足a+b+c=0,abc=8,求c的取值范围.第一届“希望杯”全国数学竞赛题解：*/a+b+c=0,abc=8,Qa,b,u都不为零，且a+h=-c.ab=—,a,b是方程的两个实数根.c9 8、A=.c-4,-＞0,(1)当二＞口时2科:⑵当者0时，・户-4+于＞口恒成立.C,■的取值范围是。＜口或C＞2酒.例3已知实数，y,满足=6—y,2=y—9,求，y的值.证明：..,y=6,y=29贝Ly是一元二次方程a2—6a+2+9=0的两个实数根，则有A=36—42+9=—42—0,即2^0.因为实数，.・.=0,从而A=0,故上述关于a的方程有相等实根，即=y=3.二、判断三角形形状例4若三角形的三边@,b,c满足aa—b+bb—c+cc—a=0.试判断三角形形状.证明：将原式变形为b2—a+cb+az+c3—ac=0,由于a,b,c为实数，关于b的一元二次方程有实根，.\A=a+c2—4a2+c2—acZ0.整理得一3a—c2三0,即己—。2^0,故a=c,把@=。代入原式，得b=c,从而有a=b=c,所以三角形为等边三角形.三、求某些字母的值.例5为何值时，+1+3+5+7+是一完全平方式.解：原式=2+8+72+8+7+8+=2+8+72+82+8+7+令2+8+72+82+8+7+=。，因原式是完全平方式，则其根的判别式，A=82—4=0,即=16.例6如果2—y2+m+5y—6能分解成两个一次因式的积，试求m的值.解：令2+m—y2—5y+6=0,则关于的方程的根的判别式A=4y2—20y+m2+24.欲使原式能分解成两个一次因式乘积，必须“八”是一完全平方式，从而有4y2—20y+m2+24=0的根的判别式4=40'0-4'x4（m2+专4）=0..*.m2=l,即m=±L例7a为有理数，问：b为何值时，方程2—4@+4+3比-2a+4b=0的根是有理数.解：方程整理为2+41—a+3a2—2a+4b=0.它的判别式A=4比一6a—4b+4,由于4a2—6a—4b+4是有理数a的二次三项式.即4a2—6a—4b+4=0的根的判别式A：=（-^2-4（j-4b+4）=q.解之得b=-1,故当b=-/时，方程的根为有理数.四、证明不等式例8若解上嘟是正实数，求证」+"也/回也.:证明二原不等式等价于g+b+okm3令y=a2+b2+c22—2a+b+c+3,易知y=a-12+b—12+c—12，0.因为a2+b2+c2>0,且对任意的值y，0,故有A=4a+b+c2—4XBaz+bz+czWO,所以a+b+czW3a2+bz+c2.LBPa+b+V3(a2+b:+口*)5.五、求函数的最大值最小值篡。一•与篡十1例g来函数y=\ 7的最大值和最小值.X一工十1解：令2-1=0,它的判别式A=3V0,可见为一切实数时，有2-1>0,・.・原式变形为1—y?+y—5+1—y=0,要使为实数，则有A=y—52—41—y2,0.解之得7 禺十1将F=二二代2丁二-二甲可熟=-1,当厂-3时，煞=1,■ x?一\十]7■■函数丫鼠值二号?最小值二w六、证明实数存在性问题例10若ab=2c+d,a,b,c,d均为实数，求证方程2+a+c=0和2+b+d=0至少有一■个方程有实根.证明：假设方程2+a+c=0和2+b+d=0都没有实根.则A[=f-4亡<。&=ba-4d<^Qf-即(1〉；广代人己知条件计=28十式1中，ab='2c+2d,■；"-&2+ ，La Ci从而有a2+b2〈2ab,即a—b2<0,与a—b2，0矛盾，因此假设不成立，原题得证.

七、在解三角形中的应用例n在AABC中，AC=1,AB=2,求NB的范围.解：设BC=,由余弦定理得.1=2+22—2,2cosB,即2—4cosB,+3=0 .,.z.... ...3;事为实数，△=16碱fB-123。*即，土/B3或上@s-■1.■ ■又A3〉AC.为锐角，故-<B<30".八、在平面几何中的应用例12如图1,已知：ZUBC中，D为BC边上任意一点,DE〃BC,DE与AC交于E,口DEFG的边FG在BC直线上，设DE=w,BC=心求证:口DEFG的面积S不大于△ABC的面积S△的一半.1989年沈阳市中考试题EE证明：作EH//AB交BC于曰则