利用夹逼准则求极限之欧阳引擎创编

欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01利用夹逼准则求极限欧阳引擎(2021.01.01)夹逼准则的使用方法：定理1用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。题型1夹逼准则常用于求若干项和的极限推论1极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。证明：不妨设最小项为a(X),最大项为Pa),数列有n项，则整数倍为n倍，TOC\o"1-5"\h\zna(X) a(X)lim 二1二lim .由定理1可知 〃P(x) P(%)11 1lim(. +. +...+. )彳夕U1.^求nT0弋n2+2 nn2+4 nn2+2n.=lim<1=1.nfslim-21+2n=lim"2+2==lim<1=1.nfsnfsnfsvn2+2nnfs\n2+2n解：nn解：nn2+21-n< ++...+ 1 <f1.由推论1， nn2+2nnn2+2nn2+4vn2+2n nn2+2由夹逼准则可得所求极限为1.lim(—1—+例2.求nfsn2+n+1——1——+...+——1——).n2+n+2n2+n+n解：limn-8n2+n+1y=lim =1.n-8n2+n+n V + n2+n+nn2+n+1n2+n+20.由夹逼准则可得所求极限为0.lim(例3.求n-8―n—).n2+n+n解：由推论1，1 n(n+1)-― 2 2n n(n+1)• < + +…+ < n2+n+nn2+n+1 n2+n+2 n2+n+n2由夹逼准则可得所求极限为2.由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧2n

lim

例4.求n-8例0<2n=2」」*...x2V上（放到第二项最大）解：n!123nn!4 2nlim—=0 lim—=0.且n-8n!.故由夹逼准则可知n-8n!例5.求nlim——(a>1).n-8。n解：设a=1+h(h〉0),贝U0<n-<—2—, lim—2—=0,从而an (n-1)h2因为n-g(n-1)h2limn—=0.由夹逼准则可知n-Nn3；n2sin(n!)lim 例6.求n-g n+10<解：由于3n2sin(n!)<3n23：n2< 0<解：由于3n2sin(n!)<3n23：n2< .Tn（三角函数有界性）即3：n1<3n2sin(n!)1 11<rlim--=lim——0,3n,而n-g3n n-g3n由夹逼准则可知吗3n2sin(n!) -0.n+1例7.求1

lim(1+2n+3n)n.n-g解：原式―lim3[(1)+(2)n+1n]：—lim3[(1)n+n-g n-g因为0<(3)n+(l)n<1,1<(3)n+(3)n+1<3两边同时乘以3n得至1」3n<1+2n+3n<3n+1,1 1再两边同时开n次方根得到3<[1+2n+3n]n<3义3n.当n-g时,右边―lim(3x3n)-3xlim3'-3x1—3-lim3-左边.n-gn-gn-g故由夹逼准则可得1

lim(1+2n+3n)n=3.故由夹逼准则可得n-g口lim—例8.求x-gX解：由取整函数的性质可知x-1<图<x.|na_Lx-1<曰<X,即1-1<曰<1；当x>0时，XXXXX欧阳弓欧阳弓I擎创编 2021.01.01欧阳弓擎创编 欧阳弓擎创编 2021.01.01当x<0时,x-1、口、x1口 ＞一＞—,即1--＞一＞1；…1」=，…n…日"1.因为x— x 由夹逼准则可得x—x例9.求xIb\.lim—I—I（a>0,b>0）.x-0+