有关定积分问题的常见题型解析(全题型)(完整版)资料

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有关定积分问题的常见题型解析(全题型)（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）有关定积分问题的常见题型解析题型一利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：（1）（2）（3）分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。评注：利用微积分基本定理求定积分的关键是找出的函数。如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像，图像为圆或者三角形则直接求其面积。题型二利用定积分求平面图形的面积例2如图，求直线y=2x+3与抛物线y=x所围成的图形面积。分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：（1）由三条直线x=a、x=b（a＜b）、x轴，一条曲线y=（≥0）围成的曲边梯形的面积：S＝，如图1。（2）由三条直线x=a、x=b（a＜b）、x轴，一条曲线y=（≤0）围成的曲边梯形的面积：S＝，如图2。（3）由两条直线x=a、x=b（a＜b）、两条曲线y=、y=（）围成的平面图形的面积：S＝，如图3。题型三解决综合性问题例3、在曲线（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为。试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程。分析：设出切点A的坐标，利用导数的几何意义，写出切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积，从而确定切点A的坐标，使问题解决。评注：本题将导数与定积分联系起来，解题的关键是求出曲线三角形AOC的面积。定积分的两种非常规用法定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，通常利用定积分可以求平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体体积、变速直线运动的路程及变力作功等。另外，利用定积分也能求物体所受的力、证明不等式。一、求物体所受的力例1.矩形闸门宽a米，高h米垂直放在水中，上沿与水面平齐，则该闸门所受水的压力F等于（）其中水的密度为kg/m3，g单位是m/s2，A.B.C.D.二、利用积分证明不等式例3.求证16＜＜17.例析定积分的解题功能定积分是通过无限分割、近似替代、借助求和再利用极限来达到计算的目的.在此过程中，因为无限分割，所以求和时可以近似替代即“以直代曲”、“以匀速代变速”、“以均匀代非均匀”……这就是定积分处理问题的基本思想，下面通过具体例子来展示这种思想在解题中的具体体现。一、求由一条曲线y=f(x)直线所围成平面图形的面积例1.求由曲线y=sinx与x轴在区间[0,2π]上所围成图形的面积S.分析因为y=sinx在[0,π]上的积分为正值，在[π,2π]上的积分为负值，其面积应取绝对值．二、求由两条曲线和直线所围成图形的面积例2.求曲线y=ex,y=e-x及x=1所围成的图形面积．分析根据条件作出图形，由曲线方程解出积分上、下限，利用图形确定被积函数，利用定积分求出面积．三、求变速直线运动的路程例3一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3(m/s)运动，求：(1)在t=4s的位置；(2)在t=4s运动的路程．四、变力作功例4.由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比．现已知1N的力能使一个弹簧伸长0.01m,求把弹簧拉长0.1m所作的功．五、定积分的综合应用例5.已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为，求a的值．分析：根据a的取值的不同分类讨论，通过解方程求解．略谈定积分的应用数学在生活中诞生，在应用中发展；定积分也是如此，它从计算曲边梯形的面积开始到计算曲线的弧长，再求变速直线运动的物体的位移，到后来在几何、物理、力学等都有十分广泛的应用，充分展现了定积分的威力。当然，由于我们目前的基础知识有限，我们可以掌握的应用是有限的，本文在课本的基础上再向同学们介绍一点另外的应用，供学习时参考。1、求面积例1、求由与直线所围成图形的面积2、求体积例2、将抛物线在第一象限与、所转成的平面图形绕轴旋转一周，求所得旋转体的体积。3、物体的作功例3、一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比，如果的力能使弹簧伸长，求把弹簧从平衡位置拉长（在弹性限度内）时所做的功。一道定积分问题的多种解法计算定积分。解法一：（利用定积分的定义）1）分割：把区间等份成个小区间，其长度为，把曲边梯形分成个小曲边梯形，其面积记为。（2）近似代替：用小矩形面积代替小曲边梯形面积，。（3）作和：。（4）求极限：。所以。解法二：（利用定积分的几何意义）所求定积分为由围成的图形的面积。如图所示，所求定积分即为阴影部分的面积，且面积为。所以。解法三：（利用微积分基本定理）。用定积分求面积的技巧求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.一、巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.例1求抛物线与直线围成的平面图形的面积．二、巧用对称性在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段.例2求由三条曲线所围图形的面积.三、分割计算例3求由抛物线及其在点和点处两条切线所围成的图形的面积．用定积分求面积的两个常用公式求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用．一、两个常用公式公式一：由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b与y＝0所围成的曲边梯形的面积A为A＝．特别地，⑴当f(x)≥0时(如图1)，A＝；⑵当f(x)≤0时(如图2)，A＝－；⑶当f(x)有正有负时(如图3)，A＝－．公式二：由连续曲线y＝f(x)，y＝g(x)，f(x)≥g(x)及直线x＝a，x＝b所围成的图形(如图4)的面积A为A＝．走出定积分运用的误区通过定积分与微积分基本定理部分知识的学习，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础．同时体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值，培养学生的创新意识和创新精神．在实际解题中，由于这部分知识的特殊性，经常会由于种种原因出现一些错误，下面结合实际加以剖析．1．公式应用出错微积分基本定理为：一般地，如果是区间[a，b]上的连续函数，并且=，那么=．2．几何意义出错我们知道，当函数在区间[a，b]上恒为正时，定积分的几何意义是以曲线为曲边的曲边梯形的面积．在一般情况下，定积分的几何意义是介于x轴，函数的图象以及直线x=a，x=b之间各部分面积的代数和．3．实际应用出错利用定积分可以用来解决平面几何中的面积问题．其实，除几何方面外，定积分在工程物理等方面的应用也极其广泛，可以用来处理变速直线运动的路程和速度问题，也可以用来解决变力的作功问题等．一元二次方程重点题型一．选择题（共7小题）定义1．（2021•凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（）个①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．A．1 B．2 C．3 D．4一般形式2．（2021春•荣成市期中）关于x的方程（m﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣13．（2021春•宁国市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6；2；9 B．2；﹣6；﹣9 C．2；﹣6；9 D．﹣2；6；9一元二次方程的解4．（2021•山西校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．25．（2021•诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．6．（2021•济宁校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（）A．﹣2 B． C．﹣4 D．27．（2021•诏安县校级模拟）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．， D．，二．填空题（共12小题）8．（2021春•长兴县月考）用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为（x+m）2=n的形式为．9．（2021•罗平县校级模拟）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为．（9题）（10题）10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为．11．（2021•丹东模拟）某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是．11．（2021•松江区二模）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是．12．（2021•萧山区模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？15．（2021•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价元时，商场日盈利可达到2100元．13．在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有名．16．（2021•东西湖区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为．17．（2021春•乳山市期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为cm．18．（2021秋•洪山区期中）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有人．19．（2021秋•临汾校级月考）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为m与m．三．解答题（共11小题）20．（2021春•沂源县期末）解下列方程：（1）x2﹣2x=2x+1（配方）（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式）①x2﹣2x﹣8=0（因式分解）②（x﹣4）2=9（直接开）③2x2﹣4x﹣1=0（公式）④x2+8x﹣9=0（配方）22．（2021春•阜宁县期末）选用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣6x=7（2）2x2﹣6x﹣1=0（3）3x（x+2）=5（x+2）23．（2021•唐河县一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．24．（2021•洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．25．（2021•信阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．26．（2021•西峡县二模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0．（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根．27．（2021•平武县一模）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．28．（2021•宛城区一模）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．29．（2021秋•余干县校级期末）已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）﹣2．30．（2021•洪泽县一模）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：≈2.236）．

2016年06月03日2456000759的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2021•凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（）个①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；③+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．一元二次方程共有2个．故选：B．2．（2021春•荣成市期中）关于x的方程（m﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣1【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1=2，m﹣3≠0，解得m=±1．故选：B．3．（2021春•宁国市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6；2；9 B．2；﹣6；﹣9 C．2；﹣6；9 D．﹣2；6；9【解答】解：∵方程一般形式是2x2﹣6x﹣9=0，∴二次项系数为2，一次项系数为﹣6，常数项为﹣9．故选B．4．（2021•山西校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：依题意，得c=﹣a﹣b，原方程化为ax2+bx﹣a﹣b=0，即a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=0，∴（x﹣1）（ax+a+b）=0，∴x=1为原方程的一个根，故选B．5．（2021•诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选B．6．（2021•济宁校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（）A．﹣2 B． C．﹣4 D．2【解答】解：将x=﹣2代入ax2+bx+c=0的左边得：a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c=4a﹣2b+c，∵4a﹣2b+c=0，∴x=﹣2是方程ax2+bx+c=0的根．故选A．7．（2021•诏安县校级模拟）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．， D．，【解答】解：x﹣1=±∴x=1±．故选C．二．填空题（共12小题）8．（2021春•长兴县月考）用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为（x+m）2=n的形式为（x﹣3）2=2．【解答】解：移项，得x2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x2﹣6x+9=﹣7+9，（x﹣3）2=2．故答案为：（x﹣3）2=2．9．（2021•罗平县校级模拟）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（100﹣x）（80﹣x）=7644．【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（100﹣x）（80﹣x）=7644，故答案为：（100﹣x）（80﹣x）=7644．10．（2021•丹东模拟）某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是16（1﹣x）2=14．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得16×（1﹣x）（1﹣x）=14，整理得：16（1﹣x）2=14．故答案为：16（1﹣x）2=14．11．（2021•松江区二模）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是289（1﹣x）2=256．【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，即方程为289（1﹣x）2=256．故答案为：289（1﹣x）2=256．12．（2021•萧山区模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【解答】解：设每件降价为x元，则（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，得x2﹣5x+4=0，解得x=4或x=1，要使顾客实惠，则x=4，定价为60﹣4=56元．答：应将销售单价定位56元．13．（2021•南岗区模拟）在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有10名．【解答】解：设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x﹣1）次手，由题意得：x（x﹣1）=45，即：x2﹣x﹣90=0，解得：x1=10，x2=﹣9（不符合题意舍去）故参加这次聚会的同学共有10人．故答案是：10．14．（2021•平定县一模）学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．【解答】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米，∴可列方程为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0），故答案为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．15．（2021•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元．【解答】解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，故答案为：20．16．（2021•东西湖区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为9．【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1=91，解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；∴x=9；故答案为：917．（2021春•乳山市期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为11cm．【解答】解：设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得3（2x﹣6）（x﹣6）=240解得x1=11，x2=﹣2（不合题意，舍去）答：这块铁片的宽为11cm．18．（2021秋•洪山区期中）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有1000人．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，整理得，x2+2x﹣99=0，解得x=9或﹣11，x=﹣11不符合题意，舍去．那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．第三轮传染后，患流感人数共有：100+9×100=1000．故答案为1000．19．（2021秋•临汾校级月考）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为10m与13m．【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，依题意得（32﹣2x+1）x=130，2x2﹣33x+130=0，（x﹣10）（2x﹣13）=0，∴x1=10或x2=6.5，当x1=10时，32﹣2x+1=13＜16；当x2=6.5时，32﹣2x+1=20＞16，不合题意舍去．答：仓库的长和宽分别为13m，10m．故答案为：10，13．三．解答题（共11小题）20．（2021春•沂源县期末）解下列方程：（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x=1，配方得：x2﹣4x+4=5，即（x﹣2）2=5，开方得：x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣；（2）这里a=2，b=﹣2，c=﹣5，∵△=8+40=48，∴x==．21．（2021•金堂县一模）用规定的方法解下列方程①x2﹣2x﹣8=0（因式分解法）②（x﹣4）2=9（直接开平方法）③2x2﹣4x﹣1=0（公式法）④x2+8x﹣9=0（配方法）【解答】解：①∵x2﹣2x﹣8=0，∴（x+2）（x﹣4）=0，∴x+2=0或x﹣4=0，∴x1=﹣2，x2=4；②∵（x﹣4）2=9，∴x﹣4=±3，∴x1=1，x2=7；③∵2x2﹣4x﹣1=0，∴a=2，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=16+8=24，∴x===1±，∴x1=1﹣，x2=1+；④∵x2+8x﹣9=0，∴x2+8x+16﹣16﹣9=0，∴（x+4）2=25，∴x+4=±5，∴x1=1，x2=﹣9．22．（2021春•阜宁县期末）选用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣6x=7（2）2x2﹣6x﹣1=0（3）3x（x+2）=5（x+2）【解答】解：（1）方程变形得：x2﹣6x﹣7=0，分解因式得：（x﹣7）（x+1）=0，解得：x1=7，x2=﹣1；（2）这里a=2，b=﹣6，c=﹣1，∵△=36+8=44，∴x==；（3）方程变形得：（3x﹣5）（x+2）=0，解得：x1=，x2=﹣2．23．（2021•唐河县一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．【解答】解：（1）根据题意得m﹣2≠0且△=4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得m＜6且m≠2；（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0，∴（3x+4）（x+2）=0，∴x1=﹣，x2=﹣2．24．（2021•洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．【解答】解：（1）∵方程没有实数根，∴b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=8m+4＜0，∴m＜﹣，∴当m＜﹣时，原方程没有实数根；（2）由（1）可知，当m≥﹣时，方程有实数根，当m=1时，原方程变为x2﹣4x+1=0，设此时方程的两根分别为x1，x2，解得x1=2+，x2=2﹣．25．（2021•信阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，故不论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k﹣3）2=0，解得k=3，方程为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，故△ABC的周长为：2+3+3=8；当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x2﹣5x+6=0，解得，x1=2，x2=3，故△ABC的周长为：2+2+3=7．26．（2021•西峡县二模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0．（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根．【解答】解：（1）由题意知，m﹣1≠0，所以m≠1．∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4（m﹣1）×（﹣3）=12m﹣8＞0，解得：m＞，综上所述，m的取值范围是m＞且m≠1；（2）把x=1代入原方程，得：m﹣1+2﹣3=0．解得：m=2．把m=2代入原方程，得：x2+2x﹣3=0，解得：x1=1，x2=﹣3．∴此时m的值为2，方程的另外一个根为是﹣3．27．（2021•平武县一模）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当k=0时，方程变形为x+2=0，解得x=﹣2；当k≠0时，△=（2k+1）2﹣4•k•2=（2k﹣1）2，∵（2k﹣1）2≥0，∴△≥0，∴当k≠0时，方程有实数根，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）存在，设方程两根为x1、x2，则x1+x2=﹣，x1x2=，∵+=2，即=2，∴=2，即﹣=2，解得：k=﹣，故存在实数k使方程两根的倒数和为2．28．（2021•宛城区一模）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【解答】（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m•2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，所以不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=，2t=，则2+t=1+2t，解得t=1，所以m=1，即m的值位1，方程的另一个根为1．29．（2021秋•余干县校级期末）已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）﹣2．【解答】解：∵x2+y2+6x﹣4y+13=0，∴（x+3）2+（y﹣2）2=0，∴x+3=0，y﹣2=0，∴x=﹣3，y=2，∴（xy）﹣2=（﹣3×2）﹣2=．30．（2021•洪泽县一模）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：≈2.236）．【解答】解一：设上、下边衬宽均为4xcm，左、右边衬宽均为3xcm，则（40﹣8x）（30﹣6x）=×40×30．整理，得x2﹣10x+5=0，解之得x=5±2，∴x1≈0.53，x2≈9.47（舍去），答：上、下边衬宽均为2.1cm，左、右边衬宽均为1.6cm．解二：设中央矩形的长为4xcm，宽为3xcm，则4x×3x=×40×30，解得x1=4，x2=﹣4（舍去），∴上、下边衬宽为20﹣8≈2.1，左、右边衬宽均为15﹣6≈1.6，答：上、下边衬宽均为2.1cm，左、右边衬宽均为1.6cm．本科毕业论文(设计)题目：定积分思想的理论延拓及应用学院专业班级学号姓名指导教师山东财政学院教务处制二Ｏ一一年五月定积分思想的理论延拓及应用xxx内容摘要：一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学、物理学、经济学等学科的应用做了重点研究。幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。关键词：定积分柯西微分方程物理几何经济变量一、定积分的概念1.1定积分的定义一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分．记为：其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限．说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功1.2定积分的几何意义如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积．说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值．考察和式不妨设于是和式即为阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）1.3定积分的性质性质1性质2（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质3（定积分的线性性质）性质4（其中a<c<b）1.4用定积分求解简单的问题1.4.1求立体图形的体积

用类似求图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,解此类题常用的方法是我们将此物体划分成许多基本的小块,每块的厚度为,假设每一个基本的小块横截面积为A（x）,则此小块的体积是A(x),将所有的小块加起来，另，我们可以得到其体积v=lim

其中a和b分别为计算体积的起始值和终了值.

下面来看几个例题例1求椭圆面所围立体的体积解：以平面)截椭球面,得椭圆在YOZ平面上的正投影所以截面面积函数为于是求得椭球体积显然当=r时,就等于球的体积1.4.2近些年来，定积分还越来越多的被广泛应用到初等数学中的一些问题上来，下面来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限的方面的应用证明不等式运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：设与都在上可积且；则特别的当时，有例2证明贝努利不等式已知且且求证：证明：若或且时，。因此即为。若或且时因此由此可得。综合以上可得：当时，且且时有由上面的证明我们可以推广，去掉条件时，结论仍然成立．所以，我们可以得到一个一般的结论设则若时，有若或时，有当且仅当时，两式中的等号成立例3．已知是实数，并且，其中是自然对数的底，证明证明：当时，要证明，只要证明既要证明时，因为从而所以当时，于是得到求和：根据微分与积分互为逆运算的关系,先对和式积分,利用已知数列的和式得到积分和,再求导即可.二、定积分在几何中的应用2.1定积分的微元法定积分的应用很广，仅介绍它在几何方面和物理方面的一些应用．首先说明一种运用定积分解决实际问题时常用的方法——将所求量表达成为定积分的分析方法——微元法（或元素法）.在将具体问题中所求的量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）表达成定积分：时，总是把所求量看作是与变量的变化区间相联系的整体量．当把区间划分为若干小区间时，整体量就相应地分为若干部分量，而整体量等于各部分量之和，这一性质称为所求量对于区间具有可加性.划分区间后，在各部分区间上，求出部分量的近似表达式，由可加性，总量的近似值可以表达成和式（由于点任意选取时，和式极限有确定的值，常取为区间的左端点），从而这个和式的极限就是所求量的精确值，于是由定积分的定义，总量可用定积分来表达一般地，如果某一实际问题中所求量满足以下条件：是与变量的变化区间有关的量，且对于该区间具有可加性，所求量就可用定积分来计算.具体步骤如下：（1）确定积分变量，并求出相应的积分区间（2）在区间上任取一小区间，并在该小区间上找出所求量的微元（3）写出所求量的积分表达式，然后计算它的值.这里通常称为所求量的微分（或元素），这种直接在小区间上找积分表达式从而得出定积分表达式的方法，通常称为微元法（或元素法）.2.2定积分求解平面图形面积2.2.1根据定积分的几何意义，由区间连续曲线、、及直线所围成的平面图形的面积A，由定积分的性质，此式可写为(利用微元法求解可得同样的结果)其中d就是面积元素2.2.2图5-17某些平面图形，用极坐标计算它们的面积比较方便．用微元法计算：由极坐标方程所表示的曲线与射线所围成的曲边扇形面积（图5-17）．以极角为积分变量，积分区间为，在上任取一小区间，与它相应的小曲边扇形面积近似于以为圆心角．为半径的圆扇形面积，从而得到面积元素于是所求面积为例4计算心形线所围成的平面图形的面积（图5-18）．解：由于图形对称于极轴，只需算出极轴以上部分面积，再2倍即得所求面积A．对于极轴以上部分图形，的变化区间为．相应于上任一小区间的窄曲边扇形的面积近似于半径为、圆心角为的圆扇形的面积．从而得到面积元素图5-18，得====所以，所求面积为2.3用定积分求解图形体积2.3.1设一旋转体是由曲线与直线、及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成（图5-19）．现用微元法求它的体积．在区间上任取，对应于该小区间的小薄片体积近似于以为半径，以为高的薄片圆柱体体积，从而得到体积元素为图5-19从a到b积分，得旋转体体积为类似地，若旋转体是由连续曲线与直线及y轴所围成的图形绕y轴旋转而成，则其体积为例5求椭圆绕x轴旋转而成的旋转体的体积（图5-20）．图5-20解将椭圆方程化为体积元素为所求体积为=当a=b=R时，得球体积V=2.3.2从计算旋转体体积的过程中可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积也可以用定积分计算．图5-22如图5-22所示，取上述定轴为x轴，并设该立体在过点x=a、x=b且垂直于x轴的两个平面之间，以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积．A(x)为x的已知的连续函数．取x为积分变量，它的变化区间为．立体中相应于上任一小区间的薄片的体积，近似于底面积为A(x)、高为dx的扁柱体的体积，即体积元素于是所求立体的体积为例6一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（图5-23）．计算这个平面截圆柱所得立体的体积．解：取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，以过底圆中心且垂直x轴的直线为y轴．此时，底圆的方程为．立体中过点x且垂直于x轴的截面是直角三角形．它的两条直角边的长度分别为，即．于是截面面积为图5-23因此所求立体体积为=三．定积分在经济学中的应用3.1常见的经济学中的函数3.1.1需求量是指在特定时间内，消费者打算并能够购买的某种商品的数量，用Q表示，它与商品价格P密切相关，通常降低商品价格使需求量增加；提高商品价格会使需求量减少.如果不考虑其它因素的影响（或其它因素不变），则Q是P的函数，称为需求函数，记作Q=f(P)它通常是一个单调减少函数.常见的需求函数有以下几种类型：1.线性需求函数Q=a+bP(a>0,b>0)2.二次需求函数Q=a−bP−(a>0,b>0,c>0)3.指数需求函数(a>0,b>0)有时也把Q=f(P)的反函数P=f−1(Q)也称为需求函数.3.1.2供给量是指在特定时间内，厂商愿意并能够出售的某种商品的数量，用S表示，假设除了商品的价格P外影响供给的其它因素均不变，则S是P的函数S=g(P)它通常是一个单调增函数.常见的供给函数有以下几种类型：1.线性供给函数S=−a+bP(a>0,b>0)2.指数供给函数S=(a>0,b>0)当Q=S时，市场的供需处于平衡状态，此时的价格称为均衡价格，需求（或供给）量称为均衡数量.当商品由某厂商独家生产时，厂商是价格的制定者，它自然会考虑消费者对价格的反应并依需求规律组织生产，其产量即需求量，价格与产量（需求量）的关系由需求函数确定，称该商品市场为完全垄断市场；当商品由众多互不占优势的厂商共同生产时，各厂商之间、消费者之间展开竞争并最终使市场处于均衡状态，此时商品价格即为均衡价格,单一厂商或消费者的行为（改变产量或需求量）不再影响市场均衡，称该商品市场为完全竞争市场.3.1.3在生产和经营活动中，如果投入的各要素价格不变，则成本C是产量开销售量Q的函数C=C(Q)，称为总成本函数.一般地总成本函数由两部分组成C(Q)=其中为固定成本，它与产量无关，如厂房、设备的折旧费、企业管理费等;为可变成本，它随产量的增加而增加，如原材料、动力、工人的工资等.常见的成本函数是线性函数.C(Q)=+aQ(a.>0)以总成本除以产量，得平均成本函数其中与分别称为平均固定成本与平均可变成本.厂商销售Q单位的商品所提收入为R=R(Q)，称为总收入（益）函数.设商品的价格为P，则总收入函数为R(Q)=PQ总利润L等于总收入与总成本的差，于是总利润函数为L(Q)=R(Q)−C(Q)3.1.4生产函数是指指产量Q与各种投入要素之间的函数关系其中为n种要素的投入量.如果只考虑两种投入要素：资本K和劳动L,则生产函数为Q=f(K,L)常见的生产函数有1.线性生产函数Q=aK+bL(a,b>0)2.Cobb-Douglas生产函数(A,α,β>0)上两个生产函数都满足f(λK,λL)=λf(K,L),这称为规模报酬不变.3.2定积分在边际函数中的应用积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数.设总量函数P(x)在区间I上可导，其边际函数为P′(x)，[a,x]∈I，则总有函数当x从a变到b时，P(x)的改变量为将x改为产量Q，且a=0时，将P(x)代之以总成本C(Q)、总收入R(Q)、总利润L(Q)，可得其中即为固定成本，为可变成本．（因为）例7已知某公司独家生产某产品，销售Q单位商品时，边际收入函数为（元/单位）（a>0,b>0,c>0）求：(1)公司的总收入函数；(2)该产品的需求函数.解：(1)总收入函数为===(2)设产品的价格为P，则，得需求函数为例8某企业想购买一台设备，该设备成本为5000元．T年后该设备的报废价值为S(t)=5000-400t元，使用该设备在t年时可使企业增加收入850-40t（元）．若年利率为5%，计算连续复利，企业应在什么时候报废这台设备？此时，总利润的现值是多少？解：T年后总收入的现值为T年后总利润的现值为令L′(T)=0，得T=10．当T<10时，L′(T)>0，当T<10时，L′(T)<0，则T=10是惟一的极大值点．即T=10时，总利润的现值最大，故应在使用10年后报废这台机器．此时企业所得的利润的现值为(元)3.3定积分在消费者剩余或生产者剩余中的应用在市场经济中，生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给曲线与需求曲线莱描述（下图）．需求量与供给量都是价格的函数，用横坐标表示价格，纵坐标表示需求量或供给量．在市场经济下，价格和数量在不断调整，最后趋向平衡价格和平衡数量，分别用和表示，也即供给曲线与需求曲线的交点E．在图中，是供给曲线在价格坐标轴上的截距，也就是当价格为时，供给量是零，中有价格高于时，才有供给量．而是需求曲线的截距，当价格为时，需求量是零，只有价格低于时，才有需求．则表示当商品免费赠送是的最大需求在市场经济中，有时一些消费者愿意对某种商品付出比市场价格P0更高的价格，由此他们所得到的好处称为消费者剩余(CS).由图7-16可以看出：(1)同理，对生产者来说，有时也有一些生产者愿意以比市场价格P0低的价格出售他们的商品，由此他们所得到的好处称为生产者剩余(PS)，如图7-16所示，有(2)例9设需求函数Q＝8-，供给函数Q＝，求消费者剩余和生产者剩余.解:首先求出均衡价格与供需量.得＝15，＝3.令8-＝0，得P1＝24，令＝0，得＝9，代入(3)、(4)式得CS＝，PS＝.3.4定积分在实际问题中的应用3.4.1现在，我们讨论国民收入分配不平等的问题.观察如下图中的劳伦茨(MOLorenz)曲线.横轴OH表示人口(按收入由低到高分组)的累计百分比，纵轴OM表示收入的累计百分比.当收入完全平等时，人口累计百分比等于收入累计百分比，劳伦茨曲线为通过原点、倾角为45°的直线；当收入完全不平等时，极少部分(例如1%)的人口却占有几乎全部(100%)的收入，劳伦茨曲线为折线OHL.实际上，一般国家的收入分配，既不会是完全平等，也不会是完全不平等，而是在两者之间，即劳伦茨曲线是图中的凹曲线ODL.易见劳伦茨曲线与完全平等线的偏离程度的大小(即图示阴影面积)，决定了该国国民收入分配不平等的程度.为方便计算，取横轴OH为x轴，纵轴OM为y轴，再假定该国某一时期国民收入分配的劳伦茨曲线可近似表示为y＝f(x)，则即不平等面积A＝最大不平等面积(A+B)-B＝12-f(x)dx系数表示一个国家国民收入在国民之间分配的不平等程度，经济学上，称为基尼(Gini)系数，记作G.＝显然，G＝0时，是完全平等情形；G＝1时，是完全不平等情形.例10某