三角形综合培优题

WORD格式可编辑WORD格式可编辑专业知识分享专业知识分享?选择题（共3小题）三角形综合培优题11•如图，在方格纸中，以AB为一边作厶ABP,使之与△ABC全等，从Pi,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点 P，则点P有（ ）2•如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE±AC于E,Q为BC2延长线上一点，当PA=CQ寸，连PQ交AC边于D贝UDE的长为（A丄B.A丄B.二C.二D.不能确定3233.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点C卫BC的中点，将△ABE沿AE折A.1个B.2个C.3个D.4个叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF,则CF的长为（A岸B.晋C.动？罟二•填空题（共5小题）如图，在RtAABC中，/A=90°AB=AC,BC砸+1，点M,N分别是边BC,AB上的动点，沿MN所在的直线折叠/B,使点B的对应点B始终落在边AC上，若厶MBC为直角三角形，贝UBM的长为 如图，RtAABC中，/ACB=90,AC=12BC=5D是AB边上的动点，E是AC边上的动点，贝UBE+ED的最小值为 如图，长方形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm 点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB,以C,E,B为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为 cm.如图，/△ABC中，/ACB=90,AC=8cmBC=15cm点M从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2m和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME丄I于E,NF丄I于F.设运动时间为t秒，要使以点M，E,C为顶点的三角形与以点N,F，C为顶点的三角形全等，则t的值为C&如图，在矩形纸片C&如图，在矩形纸片ABCD中，点E是BC点E是BC的中AE//CF.点G沿4A—D运动（不含端点），将矩形纸片沿直线 MG翻折，使得点B落在AD边上，则折痕长度为 三.解答题（共7小题）9.如图，在矩形ABCD中,AB=8,BC=12点，连接AE,将厶ABE连接FC,（1）求CF的长。（2）求证:10.如图，在厶ABC中，AB=AC点D、E、F分别在ABBC、AC边上，且BE=CFBD=CE(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当/A=40°寸，求/DEF的度数.11.丛BC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN,BN与AM相交于Q点，/AQN等于多少度？已知：如图，在RtAABC中，/C=90°AB=5cm,AC=3cm动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为 t秒.求BC边的长；当厶ABP为直角三角形时，求t的值；当厶ABP为等腰三角形时，求t的值(1)如图1所示，△ACB和厶ECD都是等腰三角形，A、CD三点在同一直线上，连接BD、AE,并延长AE交BD于点F，试判断AE与BD的数量关系及位置关系，并证明你的结论.(2)若厶ECD绕顶点C顺时针转任意角度后得到图2,图1中的结论是否仍然成立？请说明理由如图(1)，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC连接AE(1)(1)△EAC会全等吗？请说说你的理由;⑵试说明AE//BC的理由;(3)如图(2),将(1)动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形请问是否仍有AE请问是否仍有AE/BC?证明你的猜想1 I I 7 dL(1)如图1,E、F是正方形ABCD的边AB及DC延长线上的点，且BE=CF贝卩BG与BC的数量关系是 .如图2,D、E是等腰△ABC的边AB及AC延长线上的点，且BD=CE连接DE交BC于点F,DG丄BC交BC于点G,试判断GF与BC的数量关系，并说明理由；如图3,已知矩形ABCD的一条边AD=4,将矩形ABCD沿过A的直线折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME丄PB「点E,且EFmE试根据上题的结论求出矩形ABCD的血积.

三角形综合培优题参考答案与试题解析一?选择题（共3小题）1?如图，在方格纸中，以AB为一边作厶ABP,使之与△ABC全等，从Pi，P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）【解答】解：要使厶ABP与厶ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是Pi，P3，P4三个，故选C2?如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE±AC于E,Q为BC延长个上一点个当3PA=CQ个寸连PQ交AC边于D,贝UDE的长为（Q不能确定【解答】解：过P作PM//BC,交AC于M???△BC是等边三角形，且PM/BC,???△PM是等边三角形；又??^PEIAM,???AE=EM丄AM；（等边三角形三线合一）???PM//CQ,???/PMD=ZQCD/MPD=ZQ;又？？？PA=PM=CQ在厶PMD和厶QCD中ZPDM=ZCDQPI=CQ二DE=DMHVIE^12(AM+MC)I A/\e/Jp ItjT \ ???△MDUQCD(AAS???CD=DM=；CM；3?如图，在矩形ABCDCM；3?如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，将△ABE沿AE折二AC丄，故选B叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF,则CF的长为（A,B.12c.16V【解答】解：连接BF,???BC=6点E为BC的中点,???BE=3又???AB=4,???AE=「j=5,

BH=12BH=AE T由折叠知，BF丄AE（对应点的连线必垂直于对称轴）则BF匸,5???FE=BE=E,C:丄BFC=90,CF=」故选：D故选：D.二?填空题（共5小题）4.如图，在RtAABC中，/A=90°AB=ACBC=二+1，点M,N分别是边BC,AB上的动点，沿MN所在的直线折叠/B,使点B的对应点B始终落在边AC上，若厶MBC为直角三角形，贝UBM的长为丄丄或1.—2—〜2 【解答】解：①如图1,当/B'MC=90B与A重合，M是BC的中点,BM丄BC去传牡；22|2如图2,当/MBC=9QvZA=90°,AB=AC???/C=45,???△CM是等腰直角三角形，???CM=:M■:,v沿MN所在的直线折叠ZB,使点B的对应点B',BM=BM,???CM=:BM,???BC=-+1,???CM+BM=_]BM+BM= :汁1,???BM=1,综上所述，若△MBC为直角三角形，则BM的长为丄五+二或1,故答案为：丄“丄或1,故答案为：丄“丄或1,5.如图，RtAABC中，/ACB=90,AC=12BC=5D是AB边上的动点，E是AC边上的动点，则BE+ED的最小值为【解答】解:如图鼻作点【解答】解:如图鼻作点B关于AC的对称点B',过B'点作B'DAB于D,交AC于E,于E,连接AB、BE,贝VBE+ED=B+ED=BD勺值最小.???点B关于AC的对称点是B',BC=5,???B'C=5BB=10???RtAABC中，/ACB=90,AC=12BC=5?-AB=?-AB=「「「=13.???Sx???Sxabb三?AB?BD=?BB'?AC???B'D—=1.■AB J:???B'D—=1.■AB J:i13 =_,???BE+ED=B曙?故答案为一.I I13*6?如图，长方形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB，以C,E，B为顶点的三角形是直角三角90°=45,【解答】解：①B'EC=9° 如图，ZBEB=9,由翻折的性质得/AEB=ZAEB-=x???△90°=45,???BE=AB=6cm②/EBC=9时，如图2，由翻折的性质/ABEZB=90，?A、B'、C在同一直线上，AB'=ABBE=B，由勾股定理得，AC=「j「■='I?=10cm,?B'C=W6=4cm,设BE=BE=x则EC=8-x,在RtAB'E中，B'务B'CEC

即x2+42=(8-x)2,解得x=3,即BE=3cm综上所述，BE的长为3或6cm.故答案为：3或6.图i图i7.如图，△ABC中，/ACB=90,AC=8cmBC=15cm点M从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2m和3cm的运动速度同时开始运动，两点 都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME丄I于E,NF丄I于F.设运动时间为t秒，要使以点M，E,C为顶点的三角形与以点N,F，C为顶点的三角形全等，贝Vt的值为一二或7或8.BC【解答】解：①当OWtv4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①,此时有=2t,BN=3t,AC=8,BC=15.当MC=NC即卩8-2t=15-3t,解得t=7，不合题意舍去；当4WtV5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，若MC=NC则点M与点N重合，即2t-8=15-3t,解得t二二；5当5<tV-二时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，当MC=NC即卩2t-8=315,解得t=7；当，点n停在点A处，点M在BC上，如图④,解得t=8；综上所述：当t等于或7或8秒时，以点M,E,C为顶点的三角形与以点N,5F,C为顶点的三角形全等故答案为：空丄1或7或&J if[■申■&如图，在矩形纸片ABCD中，BC=40cmAB=16cm,M点为BC边上的中点点G沿4A—D运动（不含端点），将矩形纸片沿直线MG翻折，使得点B落在AD边上，则折痕长度为 10jgcmnj<8j5cm【解答】解：如图1所示，过M作ME丄AD于E,G在AB上，B落在AE上，可得四边形ABME为矩形， E n11* 飞 CC图1???EM=AB=16AE=BM,又？？^C=4QM为BC的中点，???由折叠可得：B'M=BM=BC=2Q匕1?h7TOC\o"1-5"\h\zW~^ '、、、用-1<■\1/■ 1 MF 1 *--%???EM=AB=16AE=BM,又BC=40M为BC的中点，???由折叠可得：B'M=BM=BC=20在RtAEMB中，根据勾股定理得：B'E=「「；T; =2,???AB=AB'E=202=32 ,设AG=AG=y贝UGB=AfrAG=AAEB-AG=32-y, AB'=AB=16在RtAAB'中，根据勾股定理得：A'G+A'B=GB2,即y2+162=(32-y)2,解得：y=l2,???AG=12???GE=A-AG=20-12=8 ,在RtAGEM中，根据勾股定理得：GM=;『=8口,综上折痕MG=10「或8匸故答案为：10. ■:或8口cm.?解答题（共7小题）9.如图，在矩形ABCD中,AB=8,BC=12点E是BC的中点，连接AE,将厶ABE

AE、B； F一、FG....ae〃CF.【解答】证明：连接BF,???△AE是由厶AEB翻折得至???BF丄AE,BE=EF???BE=CE???BE=EC=EF:丄BFC=90,???CFLBF,又AE丄BF,二AE"CF.10.如图，在厶ABC中，AB=AC点D、E、F分别在ABBC、AC边上，且BE=CFBD=CE⑴求证：△DEF是等腰三角形;⑵当/A=40°寸，求/DEF的度数.【解答】证明：：AB=AC???/ABC=/ACB在ADBE和厶CEF中ZABC=ZACB,BD=CE???△DBEAACEF???DE=EF???zDEF是等腰三角形;(2)VDBEAACEF???/仁/3,Z2=Z4,vZA+ZB+ZC=180,Z(180-40)=70???/1+Z2=110???Z3+Z2=110/■ZDEF=70£11.丛BC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN,BN与AM相交于Q点，ZAQN等于多少度？【解答】解:解法???△AE为正三角形?ZABC=/C=ZBAC=60,AB=BC在厶AMB和厶BNC中AB=BCZABOZC，BM=CN△AMBAABNC(SAS，vZANB=ZC+ZNBC=60+ZNBC,ZMAN=ZBAC-ZMAB=60-ZMAB ，又？？?/NBCKMAB(全等三角形对应角相等)???/ANBAZMAN=12 °,又？??/ANQ+ZMAN+ZAQN=180,???ZAQN=180-ZANB-ZMAN,ZAQN=180- (ZANB+ZMAN),=180°120°0°ZBQM=ZAQN=60 (全等三角形对应角相等).解法???△BC为正三角形?ZABC=ZC=ZBAC=60,AB=BC在厶AMB和厶BNC中AB=BC[BI=CN?ZAMBIABNC (SASvZANB=ZC+ZNBC=60+ZNBCZMAN=ZBAC-ZMAB又vZNBC=ZMAB (全等三角形对应角相等)?ZANBAZMAN=12 °又vZANQ+ZMAN+ZAQN=180?ZAQN=180-ZANB-ZMABZAQN=180- (ZANB+ZMAN)已知：如图，在RtAABC中，ZC=90°AB=5cm,AC=3cm动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.⑴求BC边的长；⑵当厶ABP为直角三角形时，求t的值;⑶当厶ABP为等腰三角形时，求t的值【解答】解：(1)在RtAABC中，B&=A$-AC?=52-32=16,BC=4(cm);由题意知BP=tcm,当/APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm即t=4；当/BAP为直角时，BP=tcm,CP=(t-4)cm，AC=3cm在RtAACP中，AF2=32+(t-4)2，在RtABAP中，AB2+AP2=BP?，即：52+[32+(t-4)2]=t2，解得：t二二，故当△ABP为直角三角形时，t=4或t二一;①当AB=BP时,t=5;当AB=AP时，BP=2BC=8cmt=8 ；当BP=AP时，AP=BP=tcmCP=t-4|cm，AC=3cm在RtAACP中，APAAg+Ch所以t2=32+(t-4)2,解得：t==,综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或t二二.

(1)如图1所示，△ACB和厶ECD都是等腰三角形，A、CD三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于点F，试判断AE与BD的数量关系及位置关系，并证明你的结论.(2)若厶ECD绕顶点C顺时针转任意角度后得到图2,图1中的结论是否仍然【解答】（1）AE丄BD.证明：在厶ACEftABCD中AC=BCZACB=ZBCDCE=CD???ZACEAABCD（SAS,???/CAE=/DBC,vZACB=90,???/CAEVAEC=90,vZCAE=ZDBC,ZAEC=ZBEF???ZDBC+ZBEF=90,:丄BFE=180-90°0°???AE丄BD；(2)解：结论还成立，理由是：I/ACB=/ECD???/ACBF/BCE/ECDF/BCE即/ACE/BCD,在厶ACEftABCD中AOBCZACB=ZBCDCE=CD???ZACEAABCD(SAS,???/CAE/DBC,v/ACB=90,???/CAE■/OC=90,v/CAE/DBC,/AOC=/BOE,???/DBG/BOE=90,???/BFO=180-90°0°,CD为一边，向上作等边所作仍为等边三角形CD为一边，向上作等边所作仍为等边三角形如图(1),等边△ABC中,D是AB边上的动点，以△EDC连接AE(1)△dbmaaEAC会全等吗？请说说你的理由；⑵试说明AE//BC的理由；⑶如图(2),将(1)动点D运动到边BA的延长线上,请问是否仍有AE/BC?证明你的猜想【解答】解：(〔)△BC和厶EAC会全等证明：1/ACB=60,/DCE=60???/BCD=60-/ACD,/ACE=60-/ACD???/BCD=/ACE在厶DBCAnAEAC中,CBC=AC???乙乱D二乙甌：E,[EC=DC???△DBCAAEAC(SAS,(2MDBCAAEAC???/EAC/B=60°又/ACB=60???/EAC/ACB???AE//BC(3)结论:AE//BC理由：？「ABCAEDC为等边三角形???BC=ACDC=CE/BCA=/DCE=60/BCA+/ACD=/DCEF/ACD,即/BCD=/ACE在厶DBCAPaEAC中,pC=AC???上眈D二ZACE,tCD=EC???△DBCAAEAC(SAS,???/EAC/B=60°又？？？/ACB=60???/EAC/ACB???AE//BC.Bz.C15.(1)如图1,E、F是正方形ABCD的边AB及DC延长线上的点，且BE=CF贝卩BG与BC的数量关系是BG=BC—z—如图2,D、E是等腰△ABC的边AB及AC延长线上的点，且BD=CE连接DE交BC于点F,DG丄BC交BC于点G,试判断GF与BC的数量关系，并说明理由；如