7-5判定直线和平面垂直

第7模块第5节[知能演练]一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件解析：若直线l与平面α垂直，由线面垂直的定义知，直线l垂直于平面α内的任意直线，所以直线l与平面α内无数条直线都垂直；但当直线l与平面α内无数条直线都垂直时，却不能得出直线l与平面α垂直，所以“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件．答案：C2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选项A中，若a⊥α，b∥β，α⊥β，则有a⊥b或a∥b(b⊥α时)，故A错误；选项B中，若a⊥α，α∥β，则有a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，因此B错误；选项C中，因为a⊂α，α∥β，所以a∥β，又因为b⊥β，所以a⊥b.反之，若a⊥b，则不一定有a⊂α，b⊥β，α∥β，所以C正确；选项D中，当b∥β，且b与α，β的交线平行或b⊂α时，a与b有垂直关系也有不垂直关系，当b∥β且b与α，β的交线垂直时，有a⊥b，所以D也不对．答案：C3．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是()A．①② B．①④C．②④ D．③④解析：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊂α，故①不正确；②l∥β，则过l作一平面γ使平面β与γ相交，交线设为l′，那么l∥l′，∵l⊥α，∴l′⊥α，又l′⊂β，∴α⊥β.故②正确；③不正确．如l与平面α相交；④正确．答案：C4．若两个平面α，β相交但不垂直，直线m在平面α内，则在平面β内()A．一定存在与直线m平行的直线B．一定不存在与直线m平行的直线C．一定存在与直线m垂直的直线D．一定不存在与直线m垂直的直线答案：C二、填空题5．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是________．解析：由于ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°.答案：①②③三、解答题7．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点，求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，所以CF⊥BD.因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.又因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.8．如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，分别交AC、SC于D、E，且SA＝AB＝a，BC＝eq\r(2)a.(1)求证：SC⊥平面BDE；(2)求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小．解：(1)∵SA⊥平面ABC，又AB、AC、BD⊂平面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD.∴SB＝eq\r(SA2＋AB2)＝eq\r(2)a.∵BC＝eq\r(2)a，∴SB＝BC.∵E为SC的中点，∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE.(2)由(1)的结论及BD⊂平面BDE得BD⊥SC，又由(1)知BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC.∴BD⊥DE，BD⊥DC.∴∠CDE为平面BDE与平面BDC所成二面角的平面角．∵AB⊥BC，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(a2＋2a2)＝eq\r(3)a.在Rt△SAC中，tan∠SCA＝eq\f(SA,AC)＝eq\f(a,\r(3)a)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠SCA＝30°，∴∠CDE＝90°－∠SCA＝60°.[高考·模拟·预测]1．(2009·山东高考)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当平面α内的直线垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．答案：B2．(2009·浙江高考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：过A作AE⊥BC于点E，则易知AE⊥面BB1C1C，则∠ADE即为所求，又tan∠ADE＝eq\f(AE,DE)＝eq\r(3)，故∠ADE＝60°.故选C.答案：C3．(2009·江苏高考)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：(1)α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．(2)平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l平行于α，正确．(3)如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题．综上所述，真命题的序号为(1)(2)．答案：(1)(2)4．(2009·山东高考)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．(Ⅰ)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1，(Ⅱ)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.(Ⅰ)证法一：取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连接A1D，F1C.由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，所以EE1∥F1C.而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.证法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD.所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.(Ⅱ)证明：连接AC.在△FBC中，FC＝BC＝FB，又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB，因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C.[备选精题]5．(2009·浙江高考)如右图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)证明在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．(1)证明：如右图，取PE的中点为H，连结HG，HF.因为点E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点，所以HG∥OE，HF∥EB.因此平面FGH∥平面BOE.因为FG在平面FGH内，所以FG∥平面BOE.(2)解：在平面OAP内，过点P作PN⊥OE，交OA于点N，交OE于点Q.连结BN，过点F作FM∥PN，交BN于点M.下证FM⊥平面BOE.由题意，得OB⊥平面PAC，所以OB⊥PN.又因为PN⊥OE，所以PN⊥平面BOE.因此F