函数的单调性教案高二下学期数学人教A版(2019)选择性

函数的单调性教学设计课题函数的单调性单元第二单元学科数学年级高二教材分析《函数的单调性》是2019人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容。本节课的主要内容是利用导数研究函数的单调性。单调性是函数的重要性质，反映了函数的变化趋势，高一时我们已经学习了通过图象和定义判断函数单调性，但是大多数函数的图象不容易做，对于含字母的代数式来说，定义法通常比较麻烦，有时甚至比较困难，因此这两种方法都有其局限性。通过前面的学习，我们知道，导数是关于瞬时变化率的数学表达，定量地刻画了函数的局部变化，因此，可以利用导数精确地研究函数的性质。利用导数研究函数的单调性是导数的一个重要应用，同时，也为后面学习函数的极值奠定基础，因此，本节课具有承上启下的作用。教学目标与核心素养1数学抽象：导数正负与函数单调性的关系2逻辑推理：运用导数正负判断函数的单调性3数学运算：函数单调区间的求解4数学建模：函数单调性与导数正负之间的关系5直观想象：导数与函数单调性的关系6数据分析：通过“导数的正负判断函数的单调性—例题讲解—练习巩固”的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。帮助学生形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。重点理解函数单调性与导数正负之间的关系难点运用导数判断函数的单调性教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题.复习引入问题引入温故而知新，提出问题，引导学生运用导数研究函数的单调性。讲授新课问题：判断函数单调性的方法有哪些？1定义法2图象法+3性质法：（增+增→增，减+减→减，复合函数单调性“同增异减”等）4导数法思考图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数ℎ(t)=−4.9t2+4.8t+11的图象，图（vt=a=2449,b是函数h(运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？观察图象可以发现：（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)单调递减.相应地，vt=思考我们看到，函数h(t)单调性与ℎ't的正负有内在联系.那么，我们能否由ℎ't的正负来判断函数h对于高台跳水问题，可以发现：当t∈0,a时，ℎ't>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数当t∈a,b时，ℎ't<0，函数h(t)这种情况是否具有一般性呢？观察观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负关系.如图导数f'(x0)表示函数y=f(x可以发现：在x=x0处，f'x0>0，切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)的图象也是上升的，函数f(x在x=x1处，f'x1<0，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)的图象也是下降的，函数f(x)在一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'在某个区间（a,b）上，如果f'x>0，那么函数y=f(x)在区间（在某个区间（a,b）上，如果f'x<0，那么函数y=f(x)在区间（例1利用导数判断下列函数的单调性：（1）f（2）f（3）f解：（1）因为fxf所以，函数fx=（2）因为fx=f所以，函数fx=sinx（3）因为fxf所以，函数fx=1−1x例2已知导函数f'当1<x<4时，f当x<1,或x>4时，f当x=1,或x=4时，f试画出函数f(x)图象的大致形状.解：当1<x<4时，f'x>0，可知f(当x<1,或x>4时，f'x<0，可知f(x)在区间（−当x=1,或x=4时，f'综上，函数f(x)图象的大致形状如图5.35所示.下面利用导数来研究形如fx=a例3求函数fx解：函数fx=13x3−1f令f'x=1,或x=2 x=1和x=2把函数定义域划分成三个区间，f'x在各区间上的正负，以及f(xx(−∞,−1)1(1,2)2(2,+∞)f+00+f(x)单调递增f单调递减f单调递增所以，f(x)在（−∞，1）和（2，+∞）上都单调递增，在（1，2）上单调递减，如图5.36规律方法一般情况下，通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性：第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f'第3步，用f'x的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'x在各区间上的正负，由此得出函数y=f探究研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在（对数函数y=lnx的导数y'=1x>0(x∈(0,+∞)),所以y=lnx在区间(0,+∞)上单调递增.当x幂函数y=x3的导数为y'=3x2>0(0∈(0,+∞))，所以y=x3在区间(0,+∞)x一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.例4设x>0,fx=lnx两个函数的图象如图5.38所示.判断f(x),g(x)的图象与C1 解：因为fx=lnx f'x当x=1时，f'x当0<x<1时，g'x当x>1时，0<g'所以，f(x),g(x)在(0,+∞)上都是增函数.在区间（0，1）上，g(x)的图象比f(x)的图象要“陡峭”；在区间(1,+∞)上，g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”.所以，f(x),g(x)的图象依次是图5.38中的C2,课堂练习：1如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是()A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B．函数f(x)在区间(1,3)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D．函数f(x)在区间(3,4)上是增函数答案：A解：当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．2利用函数的单调性（利用导数），证明不等式ex>x+1(x≠0)分析：构造函数ℎx证明：设函数ℎx∴ℎ令ℎ'x=0得e列表：x(−∞,0)0(0,+∞)h0+h(x)递减h(0)=0递增∴当x=0时，h(x)取最小值，h(x)min=h(0)=0∴当x≠0时，恒有h(x)>0即ex3已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)＞f(c)＞f(d)B．f(b)＞f(a)＞f(e)C．f(c)＞f(b)＞f(a)D．f(c)＞f(e)＞f(d)答案：C解：依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a)．因此C正确．4函数y=ax−1+2a−1x在分析：求函数的导数，利用导数f'解：函数的导数y'若函数y=ax−1+2a−1x在则y'≥0恒成立，即即a即a若x=2，则不等式等价为1≥0若2<x≤2，则0<则不等式等价为a≥−1−1x2−2若1≤x<2，则x则不等式等价为a≤−1此时−11−2≤−1x2综上，−引导学生理解题意，观察图象，并进行分析、思考。引导学生逐个观察图象，分析函数的单调性与导函数的正负的关系。从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数正负之间的关系如果在某个区间上恒有f'x=0，那么函数f(如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？引导学生观察高台跳水问题中高度函数及其导函数的图象，使学生发现当函数在区间上可导时，函数在区间上的单调性与函数在区间上的导数的正