第01讲基本不等式

第01讲基本不等式目录TOC\o"11"\h\u题型一：重点考查基本不等式公式的理解 1题型二：重点考查利用基本不等式比较大小 4题型三：重点考查利用基本不等式求最值 5题型四：重点考查利用基本不等式求商式的最值 8题型五：重点考查利用基本不等式求条件等式的最值 10题型六：重点考查基本不等式中“1”的妙用 13题型七：重点考查基本不等式中的恒成立问题 16题型八：重点考查基本不等式在实际中的应用 19题型一：重点考查基本不等式公式的理解典型例题例题1．（2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设，可得圆的半径为，又由，在中，可得，因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D.例题2．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）当时，函数（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4【答案】A【详解】，，，当且仅当时等号成立，故选：A例题3．（2023春·黑龙江·高一富锦市第一中学校考阶段练习）以下结论正确的是（

）A．函数的最小值是2 B．若，且，则C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0【答案】BD【详解】对于A，当时，，故A错误，对于B，由基本不等式知当，则，故B正确，对于C，令，方程无解，则等号不成立，故C错误，对于D，当时，，当时等号成立，故函数的最大值为0，故D正确，故选：BD精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对A，当且仅当即等号成立；对B，当且仅当即等号成立；对C，当且仅当即时等号成立；对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立．故选：D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】x，y都是正数，由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．故选：D．3．（多选）（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）若，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】对A、B：∵，则，∴，即，，A、B正确；对C∵，例如，则，显然不满足，C错误；对D：∵，则，∴，D正确.故选：ABD.题型二：重点考查利用基本不等式比较大小典型例题例题1．（2023·全国·高一假期作业）已知、为正实数，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为a、b为正实数，所以，当且仅当时，等号成立，，所以，当且仅当时，等号成立，综上：.故选：B例题2．（2023·全国·高一假期作业）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】、为互不相等的正实数，则，所以，，时，，所以．故选：A．例题3．（2023秋·高一课时练习）若，，且，则在中最大的一个是.【答案】【详解】因为，所以，且，由不等式的基本性质得，所以在中最大的一个是故答案为：精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）近来国内天气干旱，各地多次发布干旱红色预警信号，导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元/斤、b元所，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价为分别记为，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．的大小无法确定【答案】C【详解】解：根据题意可得．当且仅当等号成立；，当且仅当等号成立，由题意可得，所以，则.故选：C．2．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（

）A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q【答案】C【详解】，当且仅当时等号成立，，当时等号成立，所以.故选：C题型三：重点考查利用基本不等式求最值典型例题例题1．（2023秋·山西晋中·高三校考开学考试）已知，则的最大值为（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，因为，解得，故选：B例题2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知正实数，满足，则的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【详解】由于，所以，即，当且仅当时等号成立．故选:B．例题3．（2023春·云南楚雄·高二云南省楚雄彝族自治州民族中学校考阶段练习）若，则的最小值是．【答案】【详解】因为，所以．因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，则．故答案为：精练核心考点1．（2023春·贵州遵义·高一统考期中）函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，则，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，故函数的最小值为.故选：C.2．（2023·全国·高一课堂例题）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】【详解】方法一

∵当时，不等式恒成立，∴只需求出函数的最小值，令最小值大于0即可.二次函数的图象的对称轴为.当，即时，函数在处取得最小值，则，，∴.当，即时，函数在处取得最小值，∴，解得，∴.综上，实数a的取值范围为.方法二:∵，∴由得.∵，当且仅当，即时等号成立，∴的最大值为，∴.故a的取值范围为.故答案为：3．（2023春·青海海东·高一统考阶段练习）已知两个正数满足，则的最小值为．【答案】20【详解】因为为正数，所以，当且仅当即时等号成立，所以则的最小值为20.故答案为：20.题型四：重点考查利用基本不等式求商式的最值典型例题例题1．（2023·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）设，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，则，，当且仅当时，等号成立，则.故选：D.例题2．（2023·湖北襄阳·高三枣阳一中校考阶段练习）函数的最小值为．【答案】7【详解】令，；则(当且仅当，即时，等号成立)，故函数，的最小值为故答案为：7例题3．（2023·江苏泰州·高一校考阶段练习）求函数的最小值.【答案】；【详解】解：，，，当且仅当时，即时，函数有最小值；精练核心考点1．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为．故选：C．2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的最小值是．【答案】【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最小值是故答案为:.3．（2023·上海·高一专题练习），则的最小值是，此时a＝．【答案】2；0【详解】显然，，则，，当且仅当，即时，等号成立.所以，的最小值是2，此时.故答案为：2；0．题型五：重点考查利用基本不等式求条件等式的最值典型例题例题1．（2023秋·新疆·高一校联考期末）设，则的最小值为（

）A． B．C． D．6【答案】A【详解】由题意，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：A例题2．（多选）（2023春·重庆·高二校联考期末）若，且满足，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BCD【详解】对于A，B，因为，，所以，则，即，得或（舍），则，当且仅当等号成立，所以A错误，B正确.对于C，因为，，所以，则，即，得或（舍），则，当且仅当等号成立，所以C正确.对于D，因为，，即，则，所以，则，所以，则，当且仅当，即时等号成立，所以D正确.故选：BCD.例题3．（2023·全国·高三对口高考）（1）已知，且，求的最小值.（2）已知，且，求的最小值.【答案】（1）9；（2）16【详解】（1）因为，，所以，所以，当且仅当，时等号成立，即时等号成立，所以的最小值为.（2）因为，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.精练核心考点1．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）若正实数x，y满足，则下列结论不正确的是（

）A．的最小值为4 B．的最大值为4C．的最小值为 D．的最大值为8【答案】D【详解】对于A项，，整理得，解得，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B项，由A项可知，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C项，由题可知，故，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D项，，又，所以的最小值为8，当且仅当2时取得最小值，故D错误.故选：D.2．（2023春·天津和平·高二统考期末）已知，则的最小值是．【答案】【详解】∵，∴且，∴，当且仅当，即，时取等号，∴的最小值为.故答案为：.3．（2023·全国·高三对口高考）（1）设.若，求的取值范围；（2）设，，.若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为，所以，即，即，当且仅当时取等号，所以，即，即，解得或，即的取值范围为.（2）因为，，则，所以，即，则，即，解得，即，当且仅当时取等号．所以的取值范围为．题型六：重点考查基本不等式中“1”的妙用典型例题例题1．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知，则的最小值为（

）A． B．0 C．1 D．【答案】A【详解】，，，，，，当且仅当，即，时等号成立，故选：A例题2．（2023春·河南许昌·高一校考期中）若，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】由，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为3.故选：C.例题3．（多选）（2023春·湖南邵阳·高二统考期末）若正实数满足，则下列结论中正确的有（

）A．的最大值为1 B．的最大值为2C．的最小值为2 D．的最小值为2【答案】AD【详解】对于A项，因为，当且仅当时取等号，则的最大值为1，故A项正确；对于B项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故B项错误；对于C项，，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为2，故C项错误；对于D项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故D项正确.故选：AD.例题4．（2023·四川·校联考一模）已知正数，满足，则的最小值是.【答案】【详解】因为，所以，即，因为正实数，所以，，所以，当且仅当等号成立.故答案为：.精练核心考点1．（2023·全国·高一课堂例题）当时，的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【详解】由，得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9．故选：B2．（2023春·陕西宝鸡·高二校联考期末）已知，，，则的最小值为（

）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【详解】由（当且仅当时取等号），又由（当且仅当a＝4，b＝2时取等号），有，可得的最小值为32．故选：D．3．（2023秋·河南许昌·高三许昌高中校考开学考试）若正数a，b满足，则的取值范围是．【答案】【详解】，因为正数a，b满足，所以，所以．故答案为：4．（2023春·湖南常德·高一统考期末）设正实数满足，则的最小值为.【答案】/【详解】因为正数满足，所以，，所以，，当且仅当，即时等号成立，所以，的最小值为.故答案为：题型七：重点考查基本不等式中的恒成立问题典型例题例题1．（2023·江苏·高一假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，故选：D．例题2．（2023秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期末）已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．9 B．25 C．16 D．12【答案】B【详解】由得，又因为，所以实数均是正数，若不等式恒成立，即；，当且仅当时，等号成立；所以，，即实数的最大值为25.故选：B.例题3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知，都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，A正确；B选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，B错误；C选项，，故恒成立，C正确；D选项，a是正实数，故，其中，故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.故选：AC例题4．（多选）（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】AB【详解】要使不等式恒成立，只需要即可.由，得，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为，即，故的最大值为.故选：AB.精练核心考点1．（2023·全国·高一假期作业）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为对任意，不等式，即不等式恒成立，因为，可得，当且仅当时，即等号成立，所以，所以.故选：D.2．（2023·全国·高三专题练习）设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（

）A． B．2 C．1 D．【答案】D【详解】∵，，不等式恒成立，即恒成立，∴只需,∵，当且仅当时取等号.所以，∴，∴m的最小值为，故选：D3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】BCD【详解】由，且，可得，当且仅当时，即时，等号成立，又因为不等式恒成立，所以，结合选项，可得选项B、C、D符合题意.故选：BCD.4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【详解】因为，，所以，当且仅当时，等号成立．因为．若恒成立，则，解得．故选：AB.题型八：重点考查基本不等式在实际中的应用典型例题例题1．（多选）（2023·全国·高一课堂例题）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形的对角线，过点作于点F，则下列推理正确的是（

）A．由题图（1）和题图（2）面积相等得B．由可得C．由可得D．由可得【答案】BCD【详解】对于A，由题图（1），（2）面积相等得，所以，故A错误．对于B，因为，所以，所以，设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以．因为，所以，整理可得，故B正确．对于C，因为D为斜边BC的中点，所以，因为，所以，整理得，故C正确．对于D，因为，所以，整理得，故D正确．故选：BCD例题2．（2023·全国·高一专题练习）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（

）A．大于克 B．小于克C．大于等于克 D．小于等于克【答案】C【详解】设天平左、右两边臂长分别为，小明、小芳放入的药品的克数分别为，，则由杠杆原理得：，于是，故，当且仅当时取等号.故选：C.例题3．（2023秋·广西南宁·高三南宁市武鸣区武鸣高级中学校考开学考试）已知两城市的距离是､根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在，假设油价是6元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，其它费用是36元.为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是（精确到，参考数据）【答案】【详解】设汽车以行驶时，行车的总费用，因为，所以，当且仅