2024届四川省什邡市城南学校数学九年级第一学期期末统考试题含解析

2024届四川省什邡市城南学校数学九年级第一学期期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．若反比例函数y=的图象经过点(2，3)，则它的图象也一定经过的点是()A． B． C． D．2．如图，随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为（）A． B． C． D．3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为()A．60° B．72° C．78° D．144°4．一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成（）A． B． C． D．5．将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是()A． B． C． D．6．如图，在中，，于点D，，，则AD的长是（）A．1. B． C．2 D．47．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣2，0），若点B的坐标为（﹣5，1），则点D的坐标为（）A．（4，﹣2） B．（6，﹣2） C．（8，﹣2） D．（10，﹣2）8．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，点M在CB的延长线上，△DMN为等边三角形，且EN经过F点.下列结论：①EN=MF②MB=FN③MP·DP=NP·FP④MB·BP=PF·FC，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．10．从拼音“nanhai”中随机抽取一个字母，抽中a的概率为()A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=3，那么正方形ABCD的面积是__________．12．计算sin45°的值等于__________13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是______米．14．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝_____米（结果保留根号）．15．如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，使AB′恰好经过点C，连接BB′，则∠BAC′的度数为_____°．16．抛物线y＝﹣x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为_____．17．中，若，，，则的面积为________.18．一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援，海警船到达事故船处所需的时间大约为________小时（用根号表示）．三、解答题(共66分)19．（10分）定义：如图1，在中，把绕点逆时针旋转（）并延长一倍得到，把绕点顺时针旋转并延长一倍得到，连接．当时，称是的“倍旋三角形”，边上的中线叫做的“倍旋中线”．特例感知：（1）如图1，当，时，则“倍旋中线”长为______；如图2，当为等边三角形时，“倍旋中线”与的数量关系为______；猜想论证：（2）在图3中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明．20．（6分）用适当的方法解下列方程：．21．（6分）知识改变世界，科技改变生活。导航设备的不断更新方便了人们的出行。如图，某校组织学生乘车到蒲江茶叶基地C地进行研学活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正东方向，且距A地9.1千米，导航显示车辆应沿南偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏东53°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离（精确到个位）（参考数据）22．（8分）如图，是⊙的弦，交于点，过点的直线交的延长线于点，且是⊙的切线.（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，求的长；（3）设的面积是的面积是，且.若⊙的半径为，求.23．（8分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为多少步．24．（8分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选中其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整），请根据图中信息回答问题：（1）求m，n的值．（2）补全条形统计图．（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．25．（10分）如图，已知抛物线C1交直线y=3于点A（﹣4，3），B（﹣1，3），交y轴于点C（0，6）．（1）求C1的解析式．（2）求抛物线C1关于直线y=3的对称抛物线的解析式；设C2交x轴于点D和点E（点D在点E的左边），求点D和点E的坐标．（3）将抛物线C1水平向右平移得到抛物线C3，记平移后点B的对应点B′，若DB平分∠BDE，求抛物线C3的解析式．（4）直接写出抛物线C1关于直线y=n（n为常数）对称的抛物线的解析式．26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，点D在BC上，且BD＝AD.求AC的长和cos∠ADC的值．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【题目详解】解：根据题意得k=2×3=6，所以反比例函数解析式为y=，∵﹣3×（﹣2）=6，2×（﹣3）=﹣6，3×（﹣2）=﹣6，﹣2×3=﹣6，∴点（﹣3，﹣2）在反比例函数y=的图象上．故选A．【题目点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．2、B【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．【题目详解】解：∵如图所示的正三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，设OB＝a，则OA＝2a，则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为．故选：B．【题目点拨】本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．3、B【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质得圆心角的度数，再根据圆周角定理即可得.【题目详解】如图，连接OA、OE、OD由正五边形的性质得：由圆周角定理得：（一条弧所对圆周角等于其所对圆心角的一半）故选：B.【题目点拨】本题考查了正五边形的性质、圆周角定理，熟记性质和定理是解题关键.4、B【分析】易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．【题目详解】解：综合主视图与左视图分析可知，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个，第一行第3列最多有2个；第二行第1列最多有1个，第二行第2列最多有1个，第二行第3列最多有1个；第三行第1列最多有2个，第三行第2列最多有1个，第三行第3列最多有2个；所以最多有：2+1+2+1+1+1+2+1+2=13（个），故选B．【题目点拨】本题考查了几何体三视图，重点是考查学生的空间想象能力．掌握以下知识点：主视图反映长和高，左视图反映宽和高，俯视图反映长和宽.5、B【分析】根据左视图的定义画出左视图即可得答案.【题目详解】从左面看，是正方形，对面中间有一条看不见的棱，用虚线表示，∴B选项符合题意，故选B.【题目点拨】此题主要考查了简单几何体的三视图，左视图是从左面看所得到的图形．6、D【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【题目详解】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△CBD，∴，∵CD=2，BD=1，∴，∴AD=4.故选D.【题目点拨】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于证得△ACD∽△CBD.7、A【分析】作BG⊥x轴于点G，DH⊥x轴于点H，根据位似图形的概念得到△ABC∽△EDC，根据相似是三角形的性质计算即可．【题目详解】作BG⊥x轴于点G，DH⊥x轴于点H，则BG∥DH，∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△EDC，∵△ABC和△EDC的周长之比为1：2，∴＝，由题意得，CG＝3，BG＝1，∵BG∥DH，∴△BCG∽△DCH，∴＝＝＝，即＝＝，解得，CH＝6，DH＝2，∴OH＝CH﹣OC＝4，则点D的坐标为为（4，﹣2），故选：A．【题目点拨】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．8、C【分析】①连接DE、DF，根据等边三角形的性质得到∠MDF=∠NDE，证明△DMF≌△DNE，根据全等三角形的性质证明；②根据①的结论结合点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，即可得证；③根据题目中的条件易证得，即可得证；④根据题目中的条件易证得，再则等量代换，即可得证．【题目详解】连接，

∵和为等边三角形，

∴，，

∵点分别为边的中点，

∴是等边三角形，∴，，

∵∴，

在和中，，

∴，

∴，故①正确；∵点分别为等边三角形三边的中点，

∴四边形为菱形，∴，∵，∴，故②正确；∵点分别为等边三角形三边的中点，∴∥，∴，∵为等边三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，故③错误；∵点分别为等边三角形三边的中点，∴∥，，∴，∴，由②得，∴，∴，故④正确；综上：①②④共3个正确.故选：C【题目点拨】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理结合等量代换是解题的关键．9、D【分析】根据中心对称图形的概念和识别．【题目详解】根据中心对称图形的概念和识别，可知D是中心对称图形，A、C是轴对称图形，D既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．故选D．【题目点拨】本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念，会判断一个图形是否是中心对称图形．10、B【解题分析】nanhai共有6个拼音字母，a有2个，根据概率公式可得答案．【题目详解】∵nanhai共有6个拼音字母，a有2个，∴抽中a的概率为，故选：B．【题目点拨】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】由正方形的面积公式可求解．【题目详解】解：∵AC=3，

∴正方形ABCD的面积=3×3×=1，

故答案为：1．【题目点拨】本题考查了正方形的性质，熟练运用正方形的性质是解题的关键．12、【分析】根据特殊锐角的三角函数值求解．【题目详解】解：，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值．13、1．【题目详解】解：∵BE⊥AC，CD⊥AC，∴△ABE∽△ACD，解得：故答案为1.点睛：同一时刻，物体的高度与影长的比相等.14、300+100【分析】作DF⊥AC于F．解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题.【题目详解】作DF⊥AC于F．∵DF：AF＝1：，AD＝200米，∴tan∠DAF＝，∴∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝×200＝100（米），∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴EC＝DF＝100（米），∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°，∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝45°﹣30°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝200（米），在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，∴BE＝BD•sin∠BDE＝200×＝300（米），∴BC＝BE+EC＝300+100（米）；故答案为：300+100．【题目点拨】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题15、1【分析】由图形选择的性质，∠BAC＝∠B′AC′则问题可解.【题目详解】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，使AB′恰好经过点C，∴∠BAC＝∠B′AC′＝40°，∴∠BAC′＝∠BAC+∠B′AC′＝1°，故答案为：1．【题目点拨】本题考查了图形旋转的性质，解答关键是应用旋转过程中旋转角不变的性质.16、y＝﹣+1【分析】直接根据平移规律作答即可．【题目详解】解：抛物线y＝﹣x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1．【题目点拨】本题考查了函数图像的平移.要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求解析式.17、【分析】过点A作BC边上的高交BC的延长线于点D，在中，利用三角函数求出AD长，再根据三角形面积公式求解即可.【题目详解】解：如图，作于点D，则，在中，所以的面积为故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了三角函数，灵活添加辅助线利用三角函数求出三角形的高是解题的关键.18、【分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=（海里），然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．【题目详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=60海里，∴CD=AC=30海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°-37°=53°，∴BC=（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：20÷40=（小时）．故答案为．【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）①4，②；（2），证明见解析．【分析】（1）如图1，首先证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题；如图2，过点A作，易证，根据易得结论．（2）延长到，使得，连接，易证四边形是平行四边形，再证明得，故可得结论．【题目详解】（1）如图1，∵，∴∵，∴∴∵BC=4，∴，∵D是的中点，∴AD=;如图2，∵，，∴根据“倍旋中线”知等腰三角形，过A作，垂足为∴，，∵D是等边三角形的边的中点，且∴∴∴（2）结论：理由：如图，延长到，使得，连接，∵，∴四边形是平行四边形∴，∵∴∵∴∴∴【题目点拨】本题属于几何变换综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．20、【分析】将方程整理成一般式，再根据公式法求解可得．【题目详解】方程可变形为：，∵，∴∴．【题目点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21、5千米【分析】作BD⊥AC，设AD＝x，在Rt△ABD中求得BD，在Rt△BCD中求得CD，由AC＝AD＋CD建立关于x的方程，解之求得x的值，根据三角函数的定义即可得到结论．【题目详解】解：如图，作BD⊥AC于点D，则∠DAB＝30°、∠DBC＝53°，

设BD＝x，

在Rt△ABD中，AD＝＝

在Rt△BCD中，CD＝BDtan∠DBC＝x·tan53°=x由AC＝AD＋CD可得＋x=9.1解得：x=则在Rt△BCD中，BC＝=即BC两地的距离约为5千米．【题目点拨】此题考查了方向角问题．解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．22、（1）是等腰三角形，理由见解析；（2）的长为；（3）.【解题分析】（1）首先连接OB，根据等腰三角形的性质由OA＝OB得,由点C在过点B的切线上，且，根据等角的余角相等，易证得∠PBC＝∠CPB，即可证得△CBP是等腰三角形；（2）设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到，然后解方程即可；（3）作CD⊥BP于D，由等腰三角形三线合一的性质得，由，通过证得，得出即可求得CD，然后解直角三角形即可求得.【题目详解】（1）是等腰三角形，理由：连接，⊙与相切与点，，即，，是等腰三角形（2）设，则，在中，，，，，解得，即的长为；（3）解：作于，，，，，，，，，.【题目点拨】本题考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形相似的判定和性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．23、【分析】根据平行证出△CDK∽△DAH，利用相似比即可得出答案.【题目详解】解：DH=100，DK=100，AH=15，∵AH∥DK，∴∠CDK=∠A，而∠CKD=∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴，即，∴CK=答：KC的长为步．【题目点拨】本题主要考查的是相似三角形的应用，难度适中，解题关键是找出相似三角形.24、（1），；（2）见解析；（3）300人.【分析】（1）用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比＝其所对应的人数÷总人数分别求出m、n的值j即可；（2）用总数减去其他各小组的人数即可求得选D的人数，从而补全条形统计图；（3）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“数学史话”的学生人数．【题目详解】（1）抽取的学生人数为人，所以．（2）最喜欢“生活应用”的学生数为（人）．条形统计图补全如下：（3）该要校共有1200名学生，可估计全校最喜欢“数学史话”的学生有；人．【题目点拨】本题考查了条形统计图与扇形统计图的应用，从条形统计图、扇形统计图中获取必要的信息是解决问题的关键．25、（1）C1的解析式为y=x2+x+1；（2）抛物线C2的解析式为y=﹣x2﹣x，D（﹣5，0），E（0，0）；（3）抛物线C3的解析式为y=；（4）y=x2x+2n﹣1．【分析】（1）设抛物线C1经的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入求解即可得到解析式；（2）先求出点C关于直线y=3的对称点的坐标为(0,0)，设抛物线C2的解析式为y=a1x2+b1x+c1，即可求出答案；（3）如图，根据平行线的性质及