江苏省扬州市田家炳实验中学高三数学一轮复习学案立体几何初步第1课直线与平面平行

第1讲直线与平面平行一、教学目标1．借助手中的笔与课本，让学生直观感受直线与平面平行的位置关系，并能够用图形来表示，进一步培养学生的空间想象能力；2．理解并掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，能运用其解决有关问题；3．通过运用两个定理解决有关问题，是学生感受化归的数学思想，培养学生数学地分析问题、解决问题的能力．二、基础知识回顾与梳理1.直线a和平面α的位置关系有______、_____、__________，其中_____与______统称直线在平面外.(1)定义：________________________________________________；(2)判定定理：一条直线与的一条直线平行，则该直线与此平面平行，用符号表示为.3.直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个，则过这条直线的任一平面与此平面的与该．用符号表示为：⇒a∥b.三、诊断练习题1.在长方体ABCDA1B1C1D1的侧面和底面所在的平面中(1)与直线AB平行的平面是_______________________(2)与直线AC平行的平面是_______________________【分析与点评】问题1：空间中直线与平面的位置关系有哪些？问题2：要找线面平行，只要找什么？答案：，题2．已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是(填序号).【分析与点评】借助实物（笔和课桌）让学生自己动手，摆放所有的可能性．通过最熟悉的几何体—长方体，让学生在图形中画出上述的几种情形，增强学生的空间想象力和读图能力．【答案】④题3．如果直线平行于平面，则平面内有条直线与平行．【分析与点评】问题1：空间中两条直线的位置关系有哪些？问题2：在内任意作一条直线，由线面平行的定义知道直线与直线没有公共点，那么可以由此就断定与平行吗？【交流与讨论】1．关键词“任意”、“所有”、“无数”的区别．2．如果直线垂直于平面，则平面内有条直线与垂直．【答案】无数（交流与讨论中2的答案为“任意”或“所有”）题4．已知直线，平面，且，则“∥”是“∥”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）【分析与点评】先引导学生回忆命题的充分性与必要性的定义．提出下列问题：由“∥”能推出“∥”吗？（直线与平面是怎样的位置关系）由“∥”能推出“∥”吗？已知直线，平面，且，则“∥”是“∥”的条件．【答案】既不充分也不必要3、要点归纳（1）判断命题正确与错误时，一般错误的命题只要举出反例，正确的命题要进行简单的证明。有时也可以借助特殊的几何体，如长方体、正四面体等模型，结合有关的概念加以判断．（如题２）（2）对于线线、线面的位置关系问题，考虑时一定要全面．（如题１、题3和题４）（3）要重视空间图形在解题中的作用，辅助分析，帮助理解．四、范例导析例1：在正方体中，棱长为，分别为和上的点，且.求证：∥平面；求的长．【教学处理】要求学生认真审题，自己分析条件和结论的关系．建议多提问，让学生主动去发现问题，解决问题．【引导分析与精讲建议】第（1）问：【变式】在正方体中，分别为和上的中点，求证：∥平面．平面中找到一条线与平行？教师指导：方法一：连结与，由正方体知为的中点，由中位线定理易得：∥．（图1）方法二：取中点，中点，连结、、，由已知易证四边形为平行四边形，从而有：∥．（图2）(图1)（图2）（图3）问题2.本题中，如何在平面中找到一条线与平行？由第1问中方法二的启示可以作如下的辅助线：过作∥交于，过作∥交于，连结，从而构造出平行四边形．（图3）第（2）问：由（1）中的证明可以知道=，故只需要在正方形中求得的长度即可．【讨论交流】1.对于第（1）问，能否利用三角形构造出线线平行？试作出辅助线．2.能否尝试用面面平行去得线线平行呢？对比分析，那种方法更为简捷．【说明】在提出问题讨论交流后，可教师板书示范，也可让学生练习、板演后点评．【小结】要证明线面平行关键是找线线平行，而构造线线平行的途径主要有三种：利用三角形的中位线定理；利用平行四边形；利用对应线段成比例．例2：如图，四棱锥中，底面为菱形，,为中点，在上找一点，使得∥平面．【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评．教师在点评过程中要强调解题过程的规范性．【引导分析与精讲建议】在正面无法入手时，老师可以引导学生从结论出发去寻找突破点．连结交于，连结．(如图4)由∥平面，利用线面平行的性质定理可以得到∥．那么，现在要考虑的问题就是：将点定在上什么位置，可以使得∥呢？(图4)【变式】是所在平面外一点，分别是,的重心，则在平面，平面，平面，平面中，与平行的是．例3.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A，N，D三点的平面交PC于M.(1)求证：PD∥平面ANC；(2)求证：M是PC中点．答案为：证明(1)连接BD，AC，设BD∩AC＝O，连接NO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD中点，在△PBD中，又N是PB中点，∴PD∥NO，又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，∴PD∥平面ANC.(2)∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，又∵BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，∴BC∥平面ADMN，因平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴BC∥MN，又N是PB中点，∴M是PC中点．【教学处理】指导学生识图，标注条件，让学生先尝试思考分析。如，由平行四边形想到什么？中点？在思路交流环节，教师应设计针对性的问题引导学生去思考，通过问题示范思考方法，加深学生对方法的理解。此外，步骤必须重视并严格要求到位。【引导分析与精讲建议】、第（1）问中证线面平行，是用平移构造辅助面？还是中心投影（即面外线+点构造三角形）形成辅助面？面外线PD+点B形成辅助面得到要找的交线！第2问：要证中点，已知什么，只要证什么？线面平行的性质定理的条件必须强化，让学生动手写。【备用题】：如图，已知四面体的四个面均为锐角三角形，分别为上的点，∥平面，且．求证：∥平面．【教学处理】指导学生识图，标注条件，让学生先尝试思考分析，教师延迟引导，最后由学生板演．【引导分析与精讲建议】本题中＂线线平行＂和＂线面平行＂关系比较多，学生可能容易混乱，在讲解过程中要让学生抓准已知的关系去推到未知的．证明过程中对线面平行的性质定理和判定定理要加以区分，定理的条件要全面准确．变式迁移如下图，三棱锥A－BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH.【引导分析与精讲建议】问题1、如何证明线面平行（通过线线平行来证）问题2、锁定目标，直观看，你认为CD与哪条线平行（GH）问题3、GH与那条直线有关？什么关系？可以进一步得到什么结论？问题4、GH//面ACD，可以得到什么结论。用了什么定理？说明：本题旨在强化线面平行的性质定理。五、解题反思每一道例题讨论之后，都应该留出一点时间让学生进行回顾和体悟，可引导学生对上面的三道例题作如下反思：熟练掌握立体几何中线面平行的判定定理和性质定理，是解决本节内容的基础，特别是定理中的前提条件，在分析问题时要全面到位；（如诊断题4）对于线面平行的证明，可以寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；也可以寻找面面平行，利用面面平行的性质定理；（如例1）高考中立体几何难度不大，解题时，证明要严谨，书写要规范，同时力求证明过程简洁，步骤清晰．六、课后巩固：1.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是________(填序号).①AB∥CD；②AD∥CB；③AB与CD相交；④A，B，C，D四点共面.答案④2.有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数有________.答案13.“一条直线与两个相交平面都平行”是“这条直线与这两个平面的交线平行”的________条件.答案充分不必要4.如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD.证明(1)连接EC，∵AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，∴BC//AE，,∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.5.如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点.(1)求三棱锥A－PDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.解(1)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.又因ABCD是矩形，所以AD⊥CD.因PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PCD，所以AD是三棱锥A－PDE的高.因为E为PC的中点，且PD＝DC＝4，所以S△PDE＝eq\f(1,2)S△PDC＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\v