巴西圆盘劈裂试验中岩石拉伸模量的解析算法

巴西圆盘劈裂试验中岩石拉伸模量的解析算法

1试验方法的选择岩石的抗拉特性是岩石的一个重要特征。很多岩石结构发生破坏或失稳往往是由于结构本身局部或整体承受拉应力引起的。目前用于测定岩石的抗拉参数主要有直接拉伸试验和间接拉伸试验2种方法。一般认为直接拉伸试验结果更加符合岩石实际受拉的情况,但是由于直接拉伸试验的岩石试样在加工过程中比较困难,另外试验加载过程中有时会出现偏心,不能保证拉力通过试样中心轴。因此,考虑到直接拉伸试验在实际操作过程中不够简便,通常情况下会采用间接拉伸试验方法进行抗拉试验。巴西劈裂试验是目前最经常被采用的一种间接拉伸试验方法。虽然喻勇等[2~4]对巴西劈裂试验方法的适用性进行了探讨,但是在目前还没有其他更简便宜行的试验方法,正如王启智等所说“由于直接拉伸的困难,用巴西试验测岩石材料的抗拉强度比较普遍”。该方法在1978年被国际岩石力学学会(ISRM)推荐为测定岩石抗拉强度的方法。该方法也是美国材料和试验协会(ASTM)制定的标准方法之一,其他标准如英国的BS标准和国际ISO标准也进行了采用。在国内,众多规程和标准[6~8]也推荐使用该方法。很多岩石力学试验机,如Instron,MTS和RMT150试验机也设计了进行巴西劈裂试验的操作装置和数据采集系统。采用巴西圆盘劈裂试验方法,岩石的劈裂抗拉强度可以采用公认的计算公式进行求解。但是圆盘劈裂拉伸不同于直接拉伸,因为岩石试样在圆盘平面范围内各点所受的拉应力不完全一致,导致各点的应变值也不完全相同,因此在抗拉强度能够求解的情况下,拉伸模量却不容易确定。为了确定拉伸模量,很多研究者采用在圆盘中心垂直于加载方向的中心处贴应变片的方法,利用该应变片的测量值代替试样中心受拉区域的应变值,进而求解岩石的拉伸模量[9~11]。该方法有试验原理和操作上的简化和便利。需要注意的是,有限长度的电阻片所反映的应变要小于圆盘中心处的真实应变,电阻片不能大于圆盘直径的1/10;而且在黏贴过程中如何保证应变片正好贴在试样受拉区域的中心并且和受拉方向完全垂直,也不容易做到,因此所得结果的精确性有时难以得到保证。实际上在试验过程中,加载力、加载方向位移和试样中心垂直加载方向的位移是最方便得到的3个力学参数。而且通过经典的圆盘对心受力的理论分析,试样中心垂直加载方向上各点的应变值都可以得到。因此,如果能够建立起试样中心垂直加载方向上各点的应变值和总位移变形量之间的关系式,那么问题就迎刃而解,很容易得到试样劈裂受拉破坏的拉伸模量。基于上述思想,本文利用微积分的原理推导了岩石拉伸模量和试样中心垂直加载方向上总位移变形量之间的定量关系式,为求解巴西劈裂试验拉伸模量提供了一种新的方法。2巴西圆断裂试验方法和原理2.1u3000竞争加载测试根据规程要求,利用巴西劈裂方法测试时加载方式如图1所示(在RMT–150C试验机加载)。试样的抗拉强度(负号为拉应力)可表示为式中:σt为岩石抗拉强度,L为试样长度(厚度),D为直径,Pt为破坏载荷。2.2巴西的爆裂试验巴西劈裂试验的受力状态属于圆盘对心受压状态(见图1)。根据平面应力问题的弹性力学解析解,可以得到圆盘内(半径用R表示)任一点T(x,y)的受力状况:在线载荷P(加载力)的作用下,圆盘中心点o处,有r1=r2=0.5D,θ1=θ2=0°,根据式(2)和(3),可以得到沿试样垂直向直径平面内的水平拉应力为水平向直径平面内的压应力为可以看出,圆盘中心处的压应力只有拉应力的3倍。对于岩石材料,抗压强度一般是抗拉强度的8~10倍,因此认为试样是受拉破坏而非受压破坏。式(5)中的P替换为Pt,可得到式(1),进而计算得到试样的劈裂抗拉强度。这就是巴西劈裂试验的基本原理。在实际试验过程中,考察试样中心垂直于加载方向上的受力情况。设在ox方向上任一点(o,x),根据几何关系并且有把式(7)~(9)分别代入式(2)~(4),整理后可得式(10),(11)中,-0.5D≤x≤0.5D。假设,则σx(x),σy(x)分别可以表示为拉应力σx(x)和正应力σy(x)分别在x方向上的变化如图2所示。根据弹性理论,ox上任一点(o,x)应变为式中:E为拉伸模量(由于试样破裂时拉应力起主导作用,因此此处E本文定义为拉伸模量),µ为泊松比。设,则式(15)转化为通过上面的分析可以看出,沿ox方向上每一点处的应变值都可以得到精确解。但是实际试验过程中,能够容易测量得到是ox方向试样中心到试样边缘处的总位移量。因此,如何能够建立起试样中心到试样边缘处的各点应变值跟总位移量之间的关系式,是下一步需要解决的问题。本文将利用微积分的思想建立两者之间的关系式并求解该问题。由于对称关系,沿ox方向上取试样中心处到边缘处的一半试样作为研究对象。3分析算法和分解拉压模型的解决方案3.1试验结果的描述设从试样中心到边缘处R的线性距离任意分为n小段(厚度不计,如图3所示),并且从试样中心到边缘处对每段距离依次标示为:∆x1,∆x2,…,∆xn。显而易见有取∆x1作为分析对象,由于∆x1长度很小,可以假设受到均匀拉力作用,设∆x1均匀受拉后的微变形为∆′x1,则∆x1上的微应变为∆ε1,即微变形为∆′x1可以表达为对每一段的微变形进行求和,则试样中心到边缘处总的变形量∆′x近似可以表示为显然,当n趋向于无穷大时,并且各小段长度的最大值λ,即λ=max{∆xi}趋于0时,式(20)的极限值即为变形量∆′x的精确值,可以表示为同理,当n趋向于无穷大时,根据式(15)可以得到x(0≤x≤R)处小段∆x的微变形,即因为εx(x)在0≤x≤R上是处处连续的,因此对式(22)积分,即0≤x≤R上的总变形∆′x,有实际测量过程中,-R≤x≤R上测量得到的变形量∆u可以近似认为是∆′x的2倍,即式(23)可以整理为这样可以得到拉伸模量E:在试验过程中,P和∆u都是关于加载时间t的函数,所以考虑加载情况下,拉伸模量E(t)的表达式为对式(26)积分,得最终结果为考虑加载时间t的解析表达式为根据和本次巴西劈裂试验相近砂岩的单轴压缩试验,得到泊松比µ=0.26。3.2抗拉变形模量计算方法适用性在具体求解拉伸模量E时,柳赋铮等利用破坏载荷Pt、圆盘中心处的极限应变及岩石的泊松比进行求解,所得结果跟直接拉伸试验结果非常接近。参考上述做法,本文把破坏载荷Pt和最终拉伸变形∆u代入式(29),得进而可以根据试验中测试得到的Pt和∆u具体数值进行求解。柳赋铮等利用破坏载荷Pt和试样中心处拉伸破坏时的极限应变求解弹性模量的方法,简捷方便,虽然从实践上证明了该方法测定岩石抗拉变形模量的可行性,但是和直接拉伸试验相比,没有从加载时间的角度考虑该方法的合理性。下面考虑加载时间,说明本文利用破坏载荷Pt和最终拉伸变形∆u求解拉伸模量的适用性。在试验过程中,P(t)和∆u(t)可以实时记录。图4为均质砂岩加载力–加载时间、横向总变形–加载时间和拉伸模量–加载时间试验曲线。由图4可知,加载力随加载时间的增加变化十分稳定,从整个趋势上可认为是线载荷。在加载初期横向总位移存在一段曲线,但是随着加载时间的推移,横向总位移也呈线性变化。由此可以推断,随着加载时间的延续,式(30)中的P(t)和∆u(t)都可以用线性函数表示,当加载时间很长时拉伸模量的值最终会趋于一个稳定值。这一点在图4(c)加载时间–拉伸模量试验曲线中也得到了体现。因此,说明利用破坏载荷Pt和最终拉伸变形∆u代入式(29)计算岩石拉伸模量的方法是可行的。具体计算时为了减少随机误差,可取最终拉伸模量前10项数据的平均值。4延长试验的过程和结果4.1试验系统和试样为了具体说明上述确定拉伸模量解析算法的运用过程,选取均质砂岩进行了静态巴西劈裂试验。试验系统为中国科学院武汉岩土力学研究所研制的RMT–150C岩石力学试验系统(见图5)。试验材料选用完整性和均质性较好的砂岩。按照岩石力学常规试验性能测试要求进行具体加工试验所需试样。砂岩试样取自同一块岩石,参照试验规程和RMT–150C试验系统的要求,试样长径比按照1∶1(直径φ50mm)进行加工,上下表面的平行度在0.05mm以内;表面的平面度在0.02mm以内。3个试样的物理、几何参数如表1所示。4.2试样拉伸模量试验结果图6为砂岩试样实际加载图,加载控制按照0.01kN/s的标准施加,图中位移传感器用于记录试样中心横向的总位移变形。图7为上述3个砂岩试样加载力–加载时间、总位移变形加载–加载时间和拉伸模量–加载时间曲线。可以看出,3个试样的加载历程一致,整体上完全按照0.01kN/s的加载率进行。对于试样1–1(即节3.2中的代表性试样),加载力–时间曲线有很多噪声,而其他2个试样曲线很光滑。跟节3.2中的描述类似,图7(b)中每条曲线在开始存在弯曲递增段,随后进入线性递增段。图中试样12–2的曲线十分光滑,其他2条曲线存在不同程度的噪声,但这不影响对加载时间–横向总位移整体变化规律的认识。图7(c)是利用式(30)计算得到3个试样的拉伸模量随加载时间的变化曲线。可以看出,试样3–1曲线中的噪声在开始阶段很大,后来变得小幅的震荡。而试样12–2的原始曲线噪声很不明显,并且表现出很好的对数函数变化趋势,最终会趋于稳定值。再次说明了利用破坏载荷Pt和最终拉伸变形∆u计算岩石拉伸模量方法的适用性。表2为上述3个砂岩试样劈裂试验的结果。可知,本次试验在加载率量级为10-3MPa·s-1或者应变率量级为10-7s-1下进行的,其中应变率可以根据式(15)求解。最后得到砂岩的抗拉强度为4.36MPa左右,拉伸模量大约为3.52GPa。5相关主题讨论5.1试验结果及讨论上述解析算法是基于圆盘对心受力情况下平面应力问题的弹性力学解和岩石材料的抗拉线弹性变形特点得到的。关于平面应力问题弹性力学解的讨论,目前主要集中在载荷接触条件对劈裂强度的影响分析上。其中也涉及到具体的岩石力学试验机加载方式和加载装置的设计(例如平面夹具加载、垫钢条夹具劈裂、弧形夹具劈裂、角形夹具劈裂;钢质压条的形状,尺寸等等),在此不做重点讨论。此外,如前所述,许多文献对完整巴西劈裂试验方法的适用性进行了分析,提出了一些改进建议。为了比较不同方法所得拉伸试验结果,刘世奇等利用同一种岩石进行了5种不同加载率下(10-1~103)MPa·s-1的直接拉伸和间接拉伸试验(包括完整圆盘和平台圆盘劈裂试验),抗拉强度试验结果如图8所示。由图8可以看出,由完整圆盘劈裂试验和直接拉伸试验所得的结果非常接近,而且由直接拉伸得到的数据反而较间接劈裂法更为分散。同时可以看出,采用平台圆盘进行劈裂试验所得结果,要比直接拉伸试验结果高出很多,高出的最低百分比为20%,最高的百分比达到了35%。由此说明了利用完整巴西圆盘进行间接拉伸试验的适用性。5.2加载方向和加载方向的位移加载过程中ox方向上,本文推导前所做的岩石受拉呈现线弹性变形的假设是否合适,需要考察岩石真实受拉情况下材料的拉伸特性。对于巴西劈裂试验中岩石受拉的形变情况,刘世奇等在巴西盘(直径φ50mm)2个盘面ox方向上中心处黏贴了应变片(如图9所示),并记录下了该点在不同加载速率下的载荷–应变曲线(如图10所示)。在不同的加载率(100~103)MPa·s-1下,ox中心处的应变–载荷曲线基本呈线性变化,说明中心处的应变在受拉作用时是线性变化。结合前面节3.1的推导过程,由此可以推断横向ox方向各微小段(积分时认为长度非常小)受拉时处于弹性阶段,因而推导解析算法时所作的微小段受拉呈现线弹性变形的假设是适用的。为了进一步说明岩石各微小段受拉呈现线弹性变形假设的适用性,本文对加载方向和垂直加载方向的整体位移进行分析说明。图11为砂岩试样12–2劈裂拉伸过程中得到的试验曲线。可以看出加载力随着加载时间的增加完全呈线性递增趋势,意味着加载过程中加载率非常稳定。图11(b)显示在加载初始段,位移增加速度由快变慢,最后稳定在一个常值,即加载方向的位移最后随着加载时间的增加而线性增加。图11(b),(c)试验曲线类似,位移增加率也是在加载起始时最高,而后随着加载时间的增加,逐渐由快减慢。图11(b),(c)试验曲线初始段存在上凸现象,说明在加载初期,试样处于压密阶段,因此位移增加率相对较高。在加载后期,试样内部已密实,因此2个方向的位移变化趋于稳定。但是跟图11(b)曲线相比,图11(c)试验曲线最后的位移增加率没有稳定下来,而是在一个很小的范围内波动,这个可能跟位移传感器的测量过程有关。如图6所示,加载方向的位移由试验系统自动测量,而且加载方向岩石试样两端跟钢质垫条接触,形成线载荷,钢质垫条外侧为带“V”型的垫板,垫板外侧跟加载端形成面载荷,因此在加载过程中试样受力相对均匀,在恒定的加载速率下,位移增加率最终会趋于稳定。而对于垂直加载方向的位移,由试样两侧的位移传感器进行记录,2个位移传感器跟试验的接触处为2个触头,即2个点接触。加载过程中试样受拉扩张变形,2个触头跟试样的接触处会有所波动,也反映在位移曲线上。因此加载后期,该方向上记录得到的位移增加率不呈现定值,而是在小范围内波动。但这一点不影响对试验现象的整体认识和分析。为了更好地说明图11(b),(c)中加载后期位移整体呈现线性变形的趋势,图12(a)给出了doy-dox位移拟合关系。可看出,拟合关系式为线性函数dox=Kdoy+B(K,B均为拟合参数),其拟合系数R2=0.994,意味着2个方向的位移在随着加载时间的增加,基本呈现一一对应线性关系。图12(b)为3个试样doy-dox位移拟合关系。表3给出3个试样oy方向位移doy和ox方向位移dox拟合曲线的相关信息,拟合程度都很高。在试验过程中,虽然oy和ox方向各点受力不完全相同,但是这2个方向上的整体位移均呈现线性变化趋势,由此不难导出岩石内部微小段受拉呈现线弹性变形的假设是合适的。5.3拉伸模量求解方法存在的问题对于拉伸模量的测量和求解这一问题,如前言所述,很多研究者采用图9中在试样(包括完整圆盘和平台圆盘)2个盘面中心黏贴应变片的方法来测量岩石的拉伸模量,该类方法在黏贴过程中保证两个圆盘面上的应变片位置一致需要非常仔细。J.H.Ye等最近把中心贴应变片方法和弹性理论解结合起来,给出了拉伸模量的求解方法。但是该方法有时存在问题需要引起重视。图13为岩石试样3–1和12–2试验结果。2个试样破裂后合在一起,破裂面吻合非常好,说明试样在受拉作用下破裂。从试样12–2(见图13(b))可以看出,有时受试样