厦门大学线性代数2-2向量间的线性关系

1第二节向量间的线性关系一、n维向量二、向量的线性关系三、线性相关性四、特殊向量组的几何意义2一、n维向量数域F上的n个数定义2.2.1组成的有序数组,称为数域F上的一个n维向量,其中称为向量的第i个分量(i=1,2,…,n)

=[a1,a2,…,an]或=[a1,a2,…,an]T行向量列向量本节中，n维向量均指n维列向量

3数域F上的全体n维列向量构成的集合记作Fn分量都是0的n维向量称为零向量，记作0

向量称为n维向量的负向量,记作分量全是实数(复数)的n维向量称为实(复)向量向量可以看作是特殊的矩阵4例1矩阵有3个行向量有4个列向量5若干个维数相同的列向量(或维数相同的行向量)所构成的集合叫做向量组

由一个向量组的部分向量构成的向量组称为该向量组的部分组例如向量组在本课程中的重要性向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．8设有两个n维向量和一个实数kR,则定义

=[a1,a2,…,an]T

=[b1,b2,…,bn]T(1)

=

ai=bi,i=1,2,…,n(2)

+

=[a1+b1,a2+b2,…,an+bn

]T(3)k=[ka1,ka2,…,kan]T(4)-=(-1)=[-a1,-a2,…,-an]T(5)

-

=+(-1)

二、向量的线性运算9对任何的n维向量

,,及任意实数k,l,向量的加法及数乘运算统称为向量的线性运算.满足下列的八条性质(1)+

=+(2)(+

)+=+(

+)

(3)+0=(4)+(-)=0(5)1·=(6)k(l

)=(kl)

(7)k(+

)=k+k(8)(k+l)=k+l10例2设若3维向量满足试求向量解由11三、线性相关性设定义2.2.4,则对任意常数F,向量称为这s个向量的一个线性组合

设若存在常数使得则称向量可以表为的线性组合,或称可由向量组线性表出(或线性表示)12n维零向量0是任一n维向量组例3的线性组合例4设n维单位坐标向量组为则可由线性表出13例5向量组A:

1,2,…,s中的任一向量都可以由这个向量组线性表示已知的向量能否由一个已知的向量组线性表示？或者说：一个已知的向量是否可以表示为已知向量的线性组合。如果能是否唯一？综合：18n元线性方程组AX=

有解的充分必要条件是向量

可由其系数矩阵A的列向量组线性表出定理2.2.1向量

可由向量组线性表出的充分必要条件是推论2.2.1其中19设

=[1,1,1]T,=[1,3,0]T,=[2,4,1]T

例6试将向量

用向量

与

线性表出20向量组的线性相关与线性无关的概念对于向量组

1,2,…,s如果存在不全为零的数k1,k2,…,ks,使得则称这个向量组线性相关

否则称这个向量组线性无关k1

1+k2

2+…+ks

s=

0定义2.2.5注意注证例27定理2.2.2设令则向量组线性相关的充分必要条件是s元齐次线性方程组有非零解.推论2.2.2设则向量组线性相关的充分必要条件是28推论2.2.3令,则n维向量组线性相关的充分必要条件是n元齐次线性方程组的系数行列式等于零例7任意s(>n)个n维向量必线性相关任意n+1个n维向量必线性相关设令则有非零解向量组必线性相关29定理2.2.3令,则n维向量组线性无关的充分必要条件是s元齐次线性方程组仅有零解.即向量组线性无关的充分必要条件是例31例8是三个向量,由于

2=21,因而有系数2,-1,0不全为零由上述定义可知

1,2,3线性相关21+(-1)

2+03=032例9

含有零向量的任一向量组线性相关设向量组为0,

1,2,…,s