高等数学3-6函数图形描绘和平面曲率

复习极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.2.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.3.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)1.注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.4.实际问题求最值的步骤.第六节一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘函数图形的描绘一、弧微分

二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径

第七节平面曲线的曲率点

M

与某一直线

L

的距离趋于0,一、曲线的渐近线定义:

若曲线

C上的点M

沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C

的渐近线.或为“纵坐标差”例如,双曲线有渐近线渐近线的种类：水平渐近线铅直渐近线斜渐近线无渐近线.但抛物线渐近线刻画函数在无穷远点的状态1.水平渐近线例如有水平渐近线两条:(平行于x

轴的渐近线)若(b为常数)则就是的一条水平渐近线.

有铅直渐近线两条:2.铅直渐近线(垂直于x

轴的渐近线)则就是的一条铅直渐近线.

若例如思考题：两个坐标轴是否都是函数的渐近线？是其图象的渐近线不是其图象的渐近线思考题解答：3.斜渐近线斜渐近线求法:则就是的一条斜渐近线.

若或(a,b

为常数)注意:(2)如果(b)存在，但不存在(a)不存在，或那么可以断定不存在斜渐近线P76:14(1)时应考虑斜渐近线存在的可能性例1讨论的渐近线.解要求：首先写出定义域为的铅直渐近线.没有水平渐近线.例1(续)讨论的渐近线.为的斜渐近线.及其渐近线二、函数图形的描绘随着现代计算机技术的发展，借助于计算机和许多数学软件，可以方便地画出各种函数的图形。但是，如何识别机器作图中的误差，如何掌握图形上的关键点，如何选择作图的范围等，从而进行人工干预，仍然需要我们有运用微分学的方法描绘函数图形的基本知识。作图范围：作图范围：函数图形的描绘的步骤3.

列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点；4.

确定函数的渐近线及其它变化趋势；5.确定和补充某些点(如：与坐标轴的交点等),描绘函数图形.奇偶性，周期性等性态；并考察其对称性1.确定函数的定义域,2.

求并求出及为0和不存在的点；解非奇非偶函数,且无对称性.例2作函数的图形.得到驻点得到特殊点水平渐近线:列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点铅直渐近线:作图拐点极值点与渐近线的交点与x轴的交点为了描述更准确补充点：解偶函数,图形关于y轴对称.例3作函数的图形.得到驻点得到特殊点水平渐近线:无铅直和斜渐近线.拐点极大值列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点与拐点拐点内容小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究

是导数应用的综合考察.水平渐近线;垂直渐近线;斜渐近线1.曲线渐近线的求法按作图步骤进行2.

函数图形的描绘第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容:一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径平面曲线的曲率规定：设函数在区间内具有连续导数.基点：为任意一点(1)曲线的正向与x

增大的方向一致;(2)当的方向与曲线正向一致时，s取正号，相反时，s取负号.设在(a,b)内有连续导数,其图形为弧长或几何意义:则弧长微分为:若曲线由参数方程表示:表示对参数t

的导数.二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量．))弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1.曲率的定义)弧段弯曲程度与有关.转角、弧段长度定义弧段上的平均曲率为点

M

处的曲率在光滑弧上自点M

开始取弧段,其长为对应的切线转角为注意:直线上任意点处的曲率为0!例1.

求半径为R

的圆上任意点处的曲率.解:

如图所示,可见:R

愈小,则K

愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R

愈大,则K

愈小,圆弧弯曲得愈小.2.曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由(设)又故曲率计算公式为当时，有曲率近似计算公式例2抛物线上哪一点的曲率最大？

解显然,当时，由于为抛物线的顶点，因此，抛物线在其顶点处的