山大 数学物理方法PPT(齐次方程的分离变量法)

第八章分离变数(傅里叶级数)法

分离变数法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的第一节、齐次方程的分离变数法（一）分离变数法介绍研究两端固定的均匀弦的自由振动，即：边界初始征值问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成本各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解成几1这里弦是有限长的，即有两个端点，波在端点时间来回反射同频率的反向波形成驻波在驻波中，有的点振幅最大，叫做波腹，还有些最小，叫做波节驻波没有波形传播，即各振动项位点不依次滞后，他们按统一方此时，驻波的一般表达式具有分离变数的形式！把上式代入振动方程和边界条件可得：（与t无关）式随时间t振动，可以表示成T（t）但各点振幅随地点而异，即是x的函数X（x），则驻波的一般表达式为：2对于方程同除则可得左边是时间t的函数，与坐标x无关，右边是坐标x的函数，与就把原方程分为两个常微分方程，即：我们先来求解X，根据的不同来考察（1）时间t无关，显然不等，除非等于常数，记常数为3方程的解是积分常数由初始条件确定：由此可得即驻波没有意义，故排除！（2）此时方程的解是：积分常数由初始条件确定：由此可得即没有意义，故排除！4（2）此时方程解为：积分常数由初始条件来确定此时如果仍然可得从而应该予以排除！只剩下一种可能：则即：而此时C2为任意常数注：上式正是傅里叶正弦级数的基本函数族！5由以上过程可知道，分离变数过程中所引入的常数不能为负数或者零，也不是任意的正数，必须取特定的数值，才能使原方程有有意义的解。常数的这种特殊数值叫做本征值，而此时T的方程应该写成：此方程的解为：其中，A，B为积分常数把X（x）和T（t）代入原方程就可得分离变数形式的解：相应的解叫做本征函数，即构成本征值问题。6这就是两端固定弦上的可能的驻波，每个自然数n对应一个在共计n＋1个点上，则U（x,t）=0,这些点是驻波的节点相邻节点间隔l/n为半波长，故波长应为：2l/n本征振动的角频率为则频率为:当n=1的驻波,除了两端x=0和x=l之外没有其他的节点,波长2l在N>1的各个驻波叫做n次谐波,波长2l/n是基波的1/n,频率na/2l驻波，这些驻波也叫做两端固定弦的本征振动。所有本征振动里边是最长的,频率最低,这个驻波叫做基波.是基波的n倍.7以上的本征振动是满足弦振动方程和边界条件的线性独立的特解,由于方程和边界条件都是齐次的,故所有的本征振动的线性叠加:仍然满足原方程和边界条件,此即满足方程的一般解,其中A,B为任意常数但此时未考虑初始条件!以下就是考虑到初始条件求定解问题的确定解,就是选取适当的把上述一般解代入初始条件,可得:叠加系数An和Bn,满足初始条件:8左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数展开成傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到An和Bn:这样,我们就得到了原定解问题的解:系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由第一类边界条件确定的!9偏微分方程分离变数常微分方程2解2本征解解2×解1齐次边界条件分离变数常微分方程1条件解1（本征函数）所求解＝初始条件关键在于分离变数，使偏微分问题化为常微分问题，同时把边界分离变数法条件化为常微分方程的附加条件，构成本征值问题。可以推广到线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题中！10求解:11（二）例题例1：磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等核心是两端自由的（边界条件）（初始条件）（泛定方程）解分离变量：代入泛定方程和边界条件即：均匀杆，作纵振动，定解问题如下：12对于方程化为：两边分别是x和t的函数，不可能相等，除非是一常数，设为则于是可分解为关于X和T的常微分方程（1）（2）对于本征值问题（1）如果则X（x）恒为零，无意义。如果则方程的解是：代入常微条件得：D0＝0则13为对应于本征值的本征函数如果方程的解是：积分常数满足：故C2＝0若C1＝0，则无意义！则可得：即相应的本征函数为：以下把的情况合二为一。14C1为任意常数，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。将本征值代入T的方程可以得到：解分别为：其中系数均为独立的任意常数。把X（x），T（t）分别代回得到本征振动如下：15注意，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。所有本征振动叠加即得一般解：其中系数由初始条件确定。把一般解代入初始条件，可以得到：16把左边的函数展开成傅里叶余弦级数，比较系数由上可知，A0和B0分别表示平均初始位移和平均初始速度，由于例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端问题为零，另一端一端为第一类边界条件，另一端为第二类边界条件类齐次边界条件所决定的。不受外力作用，以不变的速度B0移动，傅里叶余弦级数是由第二另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。温度为U0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，17可得杆上温度U（x，t）满足的泛定方程和定解条件：这里泛定方程和边界条件都是齐次的，利用分离变数法，得：代入泛定方程和边界条件可得关于X（x）和常微分方程及条件及关于T的常微分方程：X（x）的方程和条件构成本征值问题，只能得到无意义18则当时得到常微方程的通解为：代入常微分方程的初始条件，可得：除非是否则还是得到无意义的解则此时可得：C2＝0即：这里给出本征值，相应的本征函数为：19而关于T的方程此时变为：此方程的解为：U（x,t）的一般解是：其中Ck由初始条件确定：20左边是以为基本函数族的级数，启发我们把右边也展开成以为基本函数族的级数（傅里叶正弦级数）比较系数可得：21此时可得最后结果为：注对于本征函数即既不同于第一类齐次边界条件又不同于第二类齐次边界条件的边界条件表明应该把导热细杆从区间〔0，l〕偶延拓到〔l，2l〕延拓后条件为：一，三决定了本征函数为n是正整数第二个条件则限定n只能是奇数，边界条件22若n为偶数，则不为零，综上所述可得本征函数为：即注对于一般解，如果考虑早先的时刻即t<0,则随k的增大而增大，一般解级数发散此时无意义。杆上的温度分布总是趋于某种平衡状态，且只要另一方面，对于当前时刻以后的时刻，t>0却不能反推早先时刻的温度分布，这是输运过程的特点。，从某个时刻的温度分布可以推算出以后时刻的温度分布，但边界条件相同，不管初始温度分布如何，总趋于统一平衡状态23随k的增大而急剧减小，此时一般解级数收敛很快，在t>0.18l2/a2时，可以只保留第一项k＝0，此时误差例3：散热片的横截面为矩形，一边y＝b处于较高温度U，其他不超过1%解横截面上的稳定温度分布u（x，y），即定解问题：三边y＝0，x＝0和x＝a处于冷却介保持较低的温度u0，求24xyUu0u0u0Oab如右图所示：解这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值把u（x，y）分解为v（x，y）和w（x，y）的线性叠加：其中v和w分别满足一组齐次边界条件即：化为齐次的，可以带来方便。是齐次的，此时恒为零，但可以把边界问题，没有初始条件，边界条件不能都25可以验证，把w和v的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程把v和w的边界条件叠加起来就是u的边界条件，则原问题化为另解令把原来的温度U0作为新的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：分离变数令：问题解出。求解v和w，而此时v和w各有两个齐次边界条件可以利用本征值26代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和Y的常微分方程和X的边界条件：（1）（2）则显然（1）构成本征值问题，可得本征值为：本征函数为：将本征值代入（2）可得：分离解为：叠加即得一般解：27为确定系数An和Bn,j将上式代入非齐次边界条件：右边展开比较系数由此可得：可得最后结果：28例4：带电的云跟大地之间的静电场可近似看成匀强电场，电场强度为E0竖直表示为定解问题，取圆柱的轴为z轴，如果把导线看成无限++++带电云AByx大地在xy平面的剖面是个圆：x2+y2=a2,a为半径。解柱外空间没有电荷，电势u满足二维拉普拉斯方程（柱外空间）长，则静电场的强度电势与z无关，我们只在xy平面研究。体圆柱如何改变静电场。“无限远”的静电场保持匀强，现在来看导临近的电场也就不再是匀强电场，离圆柱输电线是导电圆柱体，柱面产生感应电荷水平架设的输电线处在静电场中，如图：29对于导体来说，电荷不再移动，说明导体中各处的电势相同，分离变数法代入拉普拉斯方程可以分解为两个常微分方程，但边界条件为：不能分解为X（x）或Y（y）的边界条件，无法进行下去！边界是圆，提示我们采用平面极坐标系。在极坐标系中，方程可表示为：其中为极径，为极角导体电势为零表示为齐次的边界：如下：又电势只是相对高低，可以把导体的电势作为零点，边界条件30在无限远处，电势保持为E0，故在无限远处，Ey＝0，Ex＝E0即隐含着非齐次边界条件：现在问题转化成极坐标系中的定解问题：解分离变数设：代入泛定方程可得左边与无关，右边与无关，除非为一常数！31把此常数记为：此时分解为两个常微分方程：对于第一个方程，隐含着附加条件，某点的极角可以相差的整数倍，但电势在某点是确定值，故：即：自然的周期条件此条件与常微分方程构成本征值问题，可以求得常微方程解：32从而可求得本征值和本征函数：把本征值代入常微分方程可得：欧拉型常微分方程作代换方程可化为：由此我们可得到分离变数形式的解为：33拉普拉斯方程是线性的，其一般解为所有本征解的叠加：为了确定上式中的系数，先代入齐次边界条件：一个傅里叶级数为零，所有的系数为零，即：34再来看非齐次边界条件：对于非常大的一般解中的远远小于可以略去