矩阵相关计算

第二章矩阵§1矩阵及其计算§2几种特殊矩阵§3矩阵的初等变换§4逆矩阵§5矩阵的秩

由个数排成的行列的数表称为

.简称矩阵.一、矩阵(matrix)定义1、定义§1矩阵及其计算简记为记作对于线性方程组的解取决于系数与常数项，未知量并未参与运算．把线性方程组的系数与常数项按原位置可排为则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵

(方程组的增广矩阵）的变换．对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.把此表称为该线性方程组的增广矩阵.则只列出未知量系数的表称为线性方程组的系数矩阵例如是一个3阶方阵.2、行数与列数都等于

n

的矩阵

A，称为n阶矩阵或

n阶方阵.也可记作定义

n阶矩阵A的元素按原来的排列形式，构成的n阶行列式，称为矩阵A的行列式，记作detA或|A|，即3、(1)

只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).(2)只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).4、元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如是一个矩阵,是一个矩阵,是一个列矩阵,是一个行矩阵,是一个矩阵.1、两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为

同型矩阵.例如为同型矩阵.二、同型矩阵与矩阵相等的概念2、两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作（一）、矩阵的加法（二）、数与矩阵相乘（三）、矩阵与矩阵乘法（五）、矩阵的转置三、矩阵的计算（四）、方阵的幂1)、定义设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为（一）、矩阵的加法例如

(2)矩阵的加法即为对应位置元素相加，可推广至有限个同型矩阵相加.(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.说明:2)、矩阵加法的运算规律3)、矩阵

A

的负矩阵

A

4)、矩阵减法此处的零矩阵与A是同型矩阵.1)、定义（二）、数与矩阵相乘例如:注意矩阵数乘与行列式运算的差异.例如:2）、数乘矩阵的运算规律(设为矩阵，为数)矩阵对数的分配律数对矩阵的分配律（4）

1A=A；（5）0A=0.例（三）、矩阵与矩阵乘法1).定义并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中例2设例3故解注意(1)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.(2)乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数，乘积矩阵C的列数＝右矩阵的列数.例4上面左端两个矩阵交换相乘怎样?2）、矩阵乘法的运算规律(其中

为数);左分配律右分配律（5）若A，B为n阶方阵，则积矩阵AB的行列式等于A的行列式与B的行列式的乘积，即例5例6设则：则有：例7设以上几例可以说明：(1)矩阵交换律不满足，即：1)矩阵乘法需注意顺序(有左乘、右乘之分)：AX——用A左乘X.XA——用A右乘X.2)定义：若AB=BA,则称A与B可交换.(2)矩阵乘法不满足消去律.即矩阵运算不象数的运算那样,可以约去“非零”项或交换乘积.a)由AB=O推不出A=O或B=O;b)A(X

Y)=O,AO推不出X=Y.(3)矩阵没有除法.（四）、方阵的幂1、定义设A为n阶方阵，k是正整数，则k个矩阵A的连乘积称为A的

k次幂，记作特别地，对于方阵A，若则称A为幂等阵.例如方阵2、方阵的幂的性质注意：由于矩阵的乘法不满足交换律，因而初等代数中的许多乘幂公式对于方阵一般不能成立.如把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作.例1)、