2020-2021学年高二（下）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年上海市杨浦高级中学高二(下)期末数学试卷

1.函数=lg(1-3.9的定义域为.

2.函数丫〜卷一的值域是

3.若函数/(x)=log«(x+b)的图象过点(1,2),则fi(x)-1的图象经过点

4.圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm,则其侧面展开图扇形的圆心角。=.

5.若“x<2”是“x<a”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是.

6.某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为.

正(主)视图俣!1(左)视国

第视困

7.方程log后(4x-ll)-l=logR(2*-3)的解为x=__.

□□

8.不等式(a-3)y<(l+2a)■的解集为.

9.设f(x)是定义在(0,+8)上的增函数，且/(2)=1,对于任意正数x、y满足等式

f(xy)=/(x)t/(y)，不等式f(x)+f(x-3)W2的解集为.

10.已知函数/(x)=/g的定义域为R，则实数a的取值范围是.

11.已知a>b>0,那么当代数式a2+/4、取最小值时,点P(a")的坐标为.

b(a-b)

12.关于函数f(x)=1给出以下四个命题：

I1x1-11

①当x>0时，y=f(x)单调递减且没有最值：

②方程/(x)—kx+b(%#0)一定有实数解：

③如果方程/(x)=m(m为常数)有解，则解的个数一定是偶数;

@y=f(%)是偶函数且有最小值.

其中假命题的序号是.

二.选择题

13.已知直线0、〃是两条不重合的直线，a、0是两个不重合的平面，则下列命题正确的是

()

A.若。_1_0(,aJ_0,则a〃0

B.若a〃a,b",a//{3,则a〃人

C.若a_L6,b±a,a//p,贝ija〃0

D.若a〃由。与a所成角和匕与0所成角相等，则a〃6

14.设区表示不超过x的最大整数，如[4.1]=4,则不等式㈤2-5[无]+6<0的解集是()

A.[2,3]B.[2,4]C.[2,4)D.[3,4)

15.设集合Pi={x|x2+ar+l>0},Pi—{x^+ax+l>0},Q\—[x^+x+bXi],Qi—{^x1+lx+b

>0),其中a,bER,下列说法正确的是()

A.对任意a,P是P2的子集，对任意4Qi不是Q2的子集

B.对任意a,P是P2的子集，存在近使得Q是Q2的子集

C.存在a,P不是P2的子集，对任意b,Qi不是。2的子集

D.存在a,Pi不是P2的子集，存在从使得Q是。2的子集

16.已知正方体ABC£>-4BiG。，点P是棱CG的中点，设直线AB为“，直线4。为b,

对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线/与。、6都相交；②过点P有且只有一

条直线/与a、b都成45°角，以下判断正确的是()

A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题

C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题

三.解答题

17.已知全集U=R,A={刑关于x的方程有正负相异的实数根%2-2x+4-\m-1|=0},非

空集合B={x|(x-2a)(x-1)<0}.

(1)求集合B；

（2）求集合CuA；

（3）若xeCuA是在8的必要非充分条件，求实数〃的取值范围；

18.某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）.现把半

径为10"〃的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计）,

求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）.

19.如图所示，在三棱锥P-A8C中，PC_L平面48C,PC=2,ACLBC,D、E分别为线

段AB、8C上的点，且CD=DE=&，CE=2EB=2.

（1）证明：力平面PCD；

（2）已知AC="|，求锐二面角A-P。-C的余弦值.

20.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的

太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能

电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为05为了保证正常用电，安装后

采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C

（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是

C（x）=一及（GO,改为常数）•记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与

20x+100

该村15年共将消耗的电费之和.

（1）试解释C（0）的实际意义，并建立尸关于x的函数关系式;

（2）当x为多少平方米时，尸取得最小值？最小值是多少万元？

»,、2X,X<0

21.已知f(x)=1、八.

log2x,x>0

(1)s>0,f>0,sWr,比较产(s)+f(?)+1与/(s)+fU)+f(s)fU)的大小；

(2)设左和〃?均为实数，满足以下两个条件：

①当xe(-8,时，f(x)的最大值为1,此时机的取值集合记为A；

②对任意m&A且xe(-8,〃?],不等式/a)Ww?2-(氏-2)m+3k-10恒成立；求k

的取值范围：

(3)设/为实数，若关于x的方程./[f(x)]-log2(r-x)=0恰有两个不相等的实数根

朴及且羽<X2,试将2々+1"2乂2+2-|X1-l|+|X2-1I表示为关于/的函数，并写出

此函数的定义域.

参考答案

一.填空题

1.函数f(x)=lg(1-3，)的定义域为(-8,0).

解：由题意得：解得：x<0,

故函数/(x)的定义域是(-8,0),

故答案为：(-8,0).

2.函数的值域是(0,•

x'+22

解：由y=?,得*24-2，

x+2y

VxGR

，工-2>0,

y

解之得0<y4/；

故答案为：(0,1■].

3.若函数f(x)=logu(x+b)的图象过点(1,2),则/'I(x)-1的图象经过点_d

0).

解：因为函数f(x)的图象过点(1,2),

所以f(1)=2,

所以fi(2)=1,

所以尸(2)-1=0,

即函数(x)-1经过点(2,0).

故答案为：(2,0).

4.圆锥底面半径为1C"?,母线长为2C7”，则其侧面展开图扇形的圆心角

解：圆锥底面半径为law,母线长为2cm,

则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为2nxi=2TT(cm)；

所以扇形的圆心角为。=等=皿

故答案为：71.

5.若“xV2”是“xV。”的充分非必要条件，则实数〃的取值范围是.(2,+8).

解：・・・“xV2”是“xV。”的充分非必要条件，

/.{^x<2}^{x\x<a]

，〃〉2；

故实数〃的取值范围是（2,+8）.

故答案为：（2,+°°）.

6.某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为

恻（左）衩图

解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分,

长方体的棱长为：2,1,2,

四棱锥的体积为：^-X1X2X2=4-

33

故答案为：4-

O

7.方程108后(4'-11)-1=108^(2*-3)的解为x=」_

□□

,.,log(4x-U)-l=log(2x-3).

□K□R

4x-ll>0

.2x-3>0

£Z11=9X

解得x=2.

故答案为：2.

8.不等式(a-3)|<(l+2a)/的解集为(-4,+8).

解：；塞函数y=于在(-8,+8)上单调递增，(a-3)(1+2a)

X33

.".a-3<l+2a,'.a>-4.

.•.不等式(a-3)(1+2a)•的解集为(-4,+°°).

故答案为：(-4,+°°).

9.设/(x)是定义在(0,+8)上的增函数，且/(2)=1,对于任意正数x、y满足等式

f(xy)=f(x)+f(y),不等式/(x)+f(x-3)W2的解集为*|3<xW4}.

解：由于f(2)=1,对于一切x,y€R+,都有孙)=/(x)+fdy),

令x=y=2,则/(4)=^(2)=2,

不等式/(x)tMx-3)W2,：.f(x)4/不-3)Wf⑷，：.j[x(x-3)(4),

：函数/(x)是定义在(0,+8)上的增函数，

'x>0'x〉0

<x-3>0»<x>3，；.3VxW4,

x(x-3)44-l(x44

・,•不等式的解集为{x|3VxW4}.

故答案为：{x|3VxW4}.

10.已知函数/(x)=/g({x2+l+依)的定义域为R，则实数4的取值范围是[-1,1].

2

解：函数f(x)=/g(^x+l+ar)的定义域为R,

+廿—>0恒成立，

4x2+]>-ax恒成立，

设y="+l，X6R,y^l；它表示焦点在y轴上的双曲线的一只，且渐近

线方程为)，=±x；

令y=-ax,/WR；它表示过原点的直线；

由题意知，直线y=-ax的图象应在y=Vx2+1的下方，画出图形如图所示;

解得-1WaW1；

实数。的取值范围是［-1,J

故答案为：［-1,1］.

11.己知那么当代数式a?+/4取最小值时,点尸b)的坐标为(2

b(a-b)----

1)

解：由a>b>Q,得a-b>0,所以b(a-b)W(kt2__L)2=_a_,当且仅当b=a-b,

24

即a=26时等号成立.

所以“斗占》〃+学》其中第一个不等式的等号当且仅当0=2。时成立‘第二

个不等式的等号当且仅当“2=今时成立.

a

ra>b>o

所以当。斗，4取最小值时,有,a-2b,即a=2.所以点P(a,b)的坐标为(2,

b(a-b)2..16b=l

a

a2

1).

故答案为：(2,1).

12.关于函数f(x)=i।，给出以下四个命题：

I1x1-11

①当x>0时，y=/(x)单调递减且没有最值：

②方程f(x)=kx+b(kWO)一定有实数解：

③如果方程/(X)=〃？(山为常数)有解，则解的个数一定是偶数；

@y=f(x)是偶函数且有最小值.

其中假命题的序号是①③④.

解：①当x>l时，y=/(x)=/;=1+2在区间(1,+8)上是单调递减的函数,

X-lX-1

0<x<l时，y=f(x)=-^-=-1在区间(0,1)上是单调递增的函数

X_1X_1

且无最值；

...命题①错误；

②函数/(x)=f(X)=TT」；L「是偶函数，当x>0时，y=f(x)在区间(0,1)上

I1x1-11

是单调递增的函数，(1,+8)上是单调递减的函数；

当攵>0时，函数y=/(x)与在第一象限内一定有交点；

由对称性知，当xVO且攵>0时，函数y=/(x)与在第二象限内一定有交点；

，方程f(x)=kx+b(上关0)一定有解；

，命题②正确；

③•.•函数f(X)二||Hl，是偶函数，且/(X)=0,当2=0时，函数y=f(X)与丁=

%的图象只有一个交点，，方程/1)=攵的解的个数是奇数；・•・命题③错误；

④•••函数f(x)=TT■叫T，是偶函数，xH±l，

IlxI-11

当x>0时，y=f(x)在区间(0,1)上是单调递增的函数，(1,+8)上是单调递减的

函数；

由对称性知，函数/(x)无最小值，命题④错误.

故答案为：①③④.

二.选择题

13.已知直线a、b是两条不重合的直线，a、0是两个不重合的平面，则下列命题正确的是

()

A.若。_1_0(,a±p,则a〃0

B.若a〃a,b〃0,a〃仇则a〃6

C.若a_L6,b_l_a,a//p,贝ija〃0

D.若a〃伉〃与a所成角和人与0所成角相等，贝Ua〃人

解：若a_La,a_L0,由直线与平面垂直的性质可得a〃由故A正确；

若a〃a,匕〃0,a〃0,则a〃匕或a与6相交或。与b异面，故B错误；

若b_La,则"〃a或aua,又a〃0,则a〃廿或a与0相交，故C错误；

若a〃0,a与a所成的角和b与0所成的角相等，可得“与a所成的角和。与a所成的

角相等，

则。与。的位置关系可能平行、可能相交、也可能异面，故。错误.

故选：A.

14.设㈤表示不超过x的最大整数，如[4.1]=4,则不等式印2-5[幻+6W0的解集是（）

A.[2,3]B.[2,4]C.[2,4）D.[3,4）

解：由[x]2-5[X]+6W0,得（M-2）（[x]-3）WO.

解得2W[x]W3.

因为田表示不超过x的最大整数，

所以2Wx<4.

所以原不等式的解集为[2,4）.

故选：C.

15.设集合Pi={x|x2+or+l>0},P2={x\x2+ax+2>0],Q\^{^+x+b>0],Qi^{x\x2+2x+b

>0）,其中a,芯R,下列说法正确的是（）

A.对任意a,Pi是P2的子集，对任意b,Qi不是Q2的子集

B.对任意a,P是P2的子集，存在6,使得。।是。2的子集

C.存在a,Pi不是P2的子集，对任意b,。|不是Q的子集

D.存在a,B不是P2的子集，存在从使得。是的子集

2

解：对于集合Pi={川田2+以+]>0},p2={x\x+ax+2>0},

可得当，“CPi,即ni2+am+1>0,可得m2+am+2>0,

即有meP2,可得对任意a,Pi是P2的子集：

当b=5时，Qi={R/+x+5>0}=K,Qi={x|x2+2x+5>0}—R,

可得Q是。2的子集；

当6=1时，。1={小2+8+1>（）}=凡Q2={x|x2+2x+l>0}={x|xW-1且xeR},

可得。1不是。2的子集.

综上可得，对任意dP是P2的子集，存在从使得©是。2的子集.

故选：B.

16.已知正方体48C£>-4BiG。，点P是棱CG的中点，设直线A8为m直线AQi为6,

对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线/与“、6都相交；②过点P有且只有一

条直线/与。、匕都成45°角，以下判断正确的是（）

A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题

C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题

解：直线AB与4A是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条

上，如图所示：

取的中点Q,贝iJPQ〃Ai2,且PQ^A\D\,设4。与AB交于E,则点Ai、Q、

E、P共面，

直线“必与49相交于某点凡则过P点有且只有一条直线EF与〃、匕都相交，故①

为真命题；

分别平移a,b,使。与b均经过P,则有两条互相垂直的直线与“，。都成45°角，故

②为假命题.

二①为真命题，②为假命题.

故选：B.

三.解答题

17.已知全集U=R,A={对关于x的方程有正负相异的实数根/-2X+4-I机-1|=0},非

空集合3={x[(x-2a)(x-1)<0}.

(1)求集合B；

(2)求集合CuA；

(3)若x€CuA是xeB的必要非充分条件，求实数〃的取值范围；

解：（1）由可得分和两种情况，当即2a<1时，集

2222

合B={x|2t?<x<1}.

当。>5,即2a>1时，集合8={x|lVx<2a}.

综上，当■时，集合B={x[2a<xVl}.

当时，集合8={x[l<xV2a}.

（2）因关于x的方程有正负相异的实数根/-级+4-依-1|=0,

.'.XieX2=4-\m-1|<0,且△=4-4（4-\m-1|）>0,

*.\m-1|>4,.\in<-3或m>5f

{刑〃?V-3或m>5]；

故集合CuA={刑-3WmW5}.

（3）若在CuA是在5的必要非充分条件，则3曙CuA,由（1）、（2）可得：

当时，集合5={R2aVxVl},则-3,；

222

11R

当〃时,集合3={和VxV合},则加W5,.

综上，实数4的取值范围为弓£）U弓，|l-

18.某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）.现把半

径为10a”的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计）,

求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）.

解：设圆锥的底面半径为r,高为力.

9

因为2兀r=?冗,10，所以r=2.

5

则h=7102-22=W6-

2

则圆锥的表面积5=^^&-+2冗•2?=28冗=87.96(cm2)-

5

体积•兀吨2X虫后4兀叩工学(6+1)兀-57.80(由2)・

OOO

故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96a*2,体积约为57.80c/n3.

19.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PC_L平面ABC,PC=2,ACA,BC,D、E分别为线

段AB、BC上的点，KCD=DE=V2-CE=2EB=2.

(1)证明：£>EJ_平面PCD；

(2)已知A(>1，求锐二面角A-PO-C的余弦值.

【解答】(1)证明：因为PC,平面ABC,£>Eu平面A8C,所以尸CLQE,

因为CD=DE=&，CE=2,所以O^+COnCE2,所以。E_LC。，

又因为PCCCD=C,所以OEJL平面PCD,

(2)解：因为PC,平面ABC,所以尸CLCA、PCLAB,

JT

又因为NACB^，所以CA、CB、CP两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

由己知得A("1，0,0),B(0,3,0),尸(0,0,2),。(1,1,0),£(0,2,0),

AP=(V，0,2),AD=(蒋，1,0),

»—•3

APfcm=-^-x+2z=0

设平面PD4的法向量为冗=(x,y,z)<，令x=4,兀=(4,2,3)，

.—•]

AD，m=Fx+y=0

平面PC£>的一个法向量为门=口岳=(-1,1,0)).

|nrn|_2

所以锐二面角A-PD-C的余弦值为

ImI-In|V29'V229

20.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的

太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能

电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为05为了保证正常用电，安装后

采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C

(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积单位：平方米)之间的函数关系是

C(x)=一及(x2°，改为常数)•记尸为该村安装这种太阳能供电设备的费用与

20x+100

该村15年共将消耗的电费之和.

(1)试解释C(0)的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；

(2)当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元?

解：(I)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,

即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费…

由C(0)=」一=24,得A=2400…

100

所以F=15X2400_05x=1*°°+o.5x,x20…

20x+100x+5

(2)因为^^+0.5(x+5)-2.5^271800X05-2.5=57.5,-

x+5

当且仅当竺竺=0.5(x+5),即x=55时取等号…

x+5

所以当x为55平方米时，尸取得最小值为57.5万元…

2X,x<0

21.己知f(x)=<

log2x,x〉0