2020-2021学年河南省天一大联考高二（上）期末（文科）数学试卷 （解析版）

2020-2021学年河南省天一大联考高二（±）期末数学试卷（文

科）

一、选择题（共12小题）.

1.命题“若x=2,则/=4”的逆否命题是（)

A.若xW2,则》2片4B.若x=2,则NH4

C.若/#4,则xW2D.若NW4,则x=2

2.不等式0—<-1的解集为（）

X2+2

A.（-3,2）B.（-3,-2）C.(-3,4)D.(-2,4)

3.已知直线x+2y=4过双曲线C：与-《=1（。>0,b>0）的一个焦点及虚轴的一个端

abz

点，则此双曲线的标准方程是（）

A.Z.Z22

=1B.2—匚=1

1612164

c.Z_Z=1D.式上Li

1241258,

4.4知｛小｝为等差数列,公差d=2,。2+。4+。6=18,则。5+。7=()

A.8B.12C.16D.20

5.已知直线/和两个不同的平面a,0,若a_L0,则''/〃a”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.在△A8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=60°,c=4,a=2有，则四攻

sinB

=（）

A.告B.近C.V7D.3

33

7.已知点P为函数y=N伍r+4始的图象上的一点，且点P的横坐标为1,则该函数图象在

点尸处的切线方程为（）

A.8x-y-4=0B.13x-y-9=0C.8x-y-3=0D.13x-y-8=0

8.当x>l时，/（x）=->的最大值为（）

x”+4

A.—B.—C.1D.2

42

9.函数/（x）=R-12x在区间［-3,1］上的最小值是（）

A.-10B.-11C.-15D.-18

10.已知抛物线V=2px（p>0）上一横坐标为5的点到焦点的距离为6,且该抛物线的准

22_

线与双曲线C：号-%=1（。>°，方>°）的两条渐近线所围成的三角形面积为2&,

则双曲线C的离心率为（）

A.3B.4C.6D.9

11.已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S〃,公比4>0,0=1,〃3=〃2+2.若数列｛d｝的前n

)

项和为A,an+l=b„Sn+iSn,则租=(

B1023r1022D.1

'1024,10231023

12.已知函数。有且仅有两个不同的零点,则实数。的取值范围是（）

4

A.[--g-,0)B.(-1,0]

e

42

c-]D.(-1,0)

ee

二、填空题（共4小题）・

13.若命题p：uR,M）2+6〃〈8R（）”为假命题,则实数〃的取值范围是.

x-y-11CO

14.已知X,y满足约束条件｛x-2y+2>0,则z=x-3），的最大值是.

15.函数-转-96x+8的极小值是.

16.已知双曲线Cb>0）的左、右焦点分别为Ft（-c,0）,Fl（C,

0）,其渐近线方程为丫=±2%,焦距为2氏.点P在双曲线C上，且在第一象限内,

若△PQF2的面积为4^10，则点P的坐标为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

A

17.已知集合A="|---->1},B=[x\x2+(1-2。)x+d1-6f<0}.

1-x

（I）求集合A,

（II）若求实数。的取值范围.

18.已知。，b,c分别是△ABC的内角A,B,。所对的边，且满足

a(sinA-—sinB)=(sinC+sinB)(c-bzc=4.

(I)求△ABC的外接圆的半径；

(II)求AABC的面积的最大值.

19.已知数列｛如｝的前〃项和S〃满足Sn=2a,i-1,数列｛d｝满足儿=log24〃+1og2〃〃+l.

(I)求｛〃"｝,｛儿｝的通项公式；

(II)若数列｛5｝满足Cn=z及，求｛Cn｝的前〃项和

20.已知函数/(x)=exa-Inx(«GR).

(I)若/(x)的图象在点(1,/(I))处的切线与无轴负半轴有公共点，求〃的取值

范围；

(II)当a=\时，求/(元)的最值.

21.已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是短轴长的2倍，椭圆上的动点P到左焦点距离的

最大值为2+\左.

(I)求椭圆的方程；

(II)过点(1,0)的直线/与椭圆C有两个交点A,B,△048(。为坐标原点)的面

积为金求直线/的方程.

5

22.已知函数，(x)=a2lnx+cb且/(e)22,f(^2)W3.

(I)求。的值；

(II)若0</W2,求证：当x>l时，f(x)>%(1-旦).

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.命题“若x=2,则N=4”的逆否命题是()

A.若x#2,则/W4B.若x=2,则N#4

C.若N#4,则D.若N关4,则x=2

解：根据命题“若P，则q”的逆否命题是“若「q,则「p”，

所以命题“若x=2,则/=4”的逆否命题是：“若/W4,则x#2”.

故选：C.

2.不等式3-<-1的解集为()

X2+2

A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(-3,4)D.(-2,4)

x6

解：由屋一<-1化简可得：--t---<0,

x"+2X2+2

即解x2+x-6<0,

解得：-3<x<2,

故解集为：(-3,2).

故选：A.

3.已知直线x+2y=4过双曲线C：b>0)的一个焦点及虚轴的一个端

点，则此双曲线的标准方程是()

22

cxy1D.

124258

解：设双曲线的半焦距为c,•.,直线x+2y=4过点(4,0)和(0,2),

22=

；.c=4,b=2,：.3=A/4-22V3,

22

双曲线C的标准方程是1_匚=1.

124

故选：C.

4.已知｛〃〃｝为等差数列，公差。=2,〃2+〃4+。6=18,则。5+。7=（）

A.8B.12C.16D.20

解：根据题意知，2〃4=以2+。6,。5+〃7=2。4+4",

:〃2+44+。6=18,

3〃4=18,

••C14~~6.

/.。5+。7=2。4+41=2X6+4X2=20.

故选：D.

5.已知直线/和两个不同的平面a,p,若aJ_0,则“/〃a”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：已知直线/和两个不同的平面a,仇a±p,

若/〃a,则/与8平行，相交或在平面0内都有可能；

若LL0,则/ua或/〃a,

故“/〃a”推不出推不出“/〃a”，

故“/〃a”是的既不充分也不必要条件.

故选：D.

6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=60°,c=4,a=2j，，则怨吟

sinB

=（）

A.—B.且C.JlD.3

33

解：由余弦定理，得〃2=b2+c2-2〃OCOSA,

即28=6+16-46,也即岳-4b-12=0,

解得b=6或6=-2（舍去），

所以驷心互NI

sinBb63

故选：B.

7.已知点尸为函数），=,历计43的图象上的一点，且点尸的横坐标为1,则该函数图象在

点P处的切线方程为()

A.8x-y-4=0B.13x-y-9=0C.8x-y-3=0D.13x-y-8=0

解：由y=x2//tr+4x3,得y'=2x*lnx+x+12x2,

k=i=13,

又冗=1时，y=4,

，该函数图象在点尸处的切线方程为y-4=13(x-1),即13x-y-9=0.

故选：B.

8.当x>l时，/(x)=一自一的最大值为()

/+4

A.--B.--C.D.2

42

解：因为%>1,

当且仅当X4，即x=2时取等号，

X

X1

故/(x)=-2―的最大值为；.

X2+44

故选：A.

9.函数/(x)=R-12x在区间［-3,1］上的最小值是()

A.-10B.-11C.-15D.-18

解：f(x)=-12+3N=3(x+2)(x-2),

当-3Wx<-2时，f'(x)>0,f(x)递增；当-2VxWl时，f(x)<0,f(x)递

减,

所以当x=-2时f(x)取得极大值，即最大值，为了(-2)=22,

又-3)=15,/(1)=-5,

所以f(x)的最小值为/(1)=-11.

故选：B.

10.已知抛物线f=2px(p>0)上一横坐标为5的点到焦点的距离为6,且该抛物线的准

22_

线与双曲线C：号-%=1(〃>°，匕>°)的两条渐近线所围成的三角形面积为2员，

则双曲线C的离心率为()

A.3B.4C.6D.9

解：由题意，5+步6,即P=2,则抛物线V=2px（p>0）的直线方程为x=-l,

22

双曲线C：岂5-上］=1（。>0,6>0）的两条渐近线方程为y=±—x，取x=-l,

az/a

可得A（-1,卫），B（-1,—）,如图,

a

11.已知等比数列｛〃〃｝的前n项和为Sn,公比q>0,ai=l,。3=。2+2.若数列｛5｝的前n

项和为Tn,Cln+1=bnSn+1Sn,则7^=（）

A•察B1023r1022D.1

'1024'10231023

解：根据题意，设等比数列｛〃“｝的公比为q,（q>0）

若m=l,〃3=〃2+2.贝lj炉=q+2,解可得4=2或-1,

又由q>0,则4=2,

则S,,=ai（1-q）=2"-1,

1-q

又由斯+尸6,£+5“则包=小0=2会•=/1

bn+lbnbn+l'bnnSn+l

贝!1n=（；-；）+（/--；）+...+）=91

>1>2>3>9b10blS10

又由Sn=2n-i,

11022

则79=—；-

2-1210-1-1023,

故选：C.

12.已知函数=xe，-6-。有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（

4、

A.[--0)B.(-1,0]

e

42

c-]D.(-I,0)

ee

解：函数/（x）=工小-eJa有且仅有两个不同的零点,

则4=（X-1）©r有且仅有两个不同的零点,

则>=。和且=（x-1）资的图象有且只有2个不同的交点，

gr（x）=xeS令g'（x）>0,解得：x>0,令g'（x）<0,解得：x<0,

故g（K）在（-8,0）递减，在（0,+°°）递增，故g（x）min=g（0）=-1,

而X-—8时，g（X）-0,1f+8时，g（X）f+8,如图示：

结合图象，-1V〃VO,

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若命题p："meR,x（）2+6aW8xo”为假命题，则实数a的取值范围是_+8）

解：根据命题与它的否定命题一真一假，

因为命题p：u3xoGR,x（）2+6aW8xo"为假命题，

所以它的否定命题是「p："Vx€R,炉+6〃>8/’为真命题；

即“VxeR,N-8x+6a>0”为真命题，

所以△=64-24a<0,解得“>&•；

3

则实数a的取值范围是喙+8).

故答案为：(与+8).

x-y-140

14.已知x,y满足约束条件［x-2y+2>0,则Z=x-3y的最大值是3

x》0

解：由约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，

由x-y-1=0,取x=0,解得A(0,-1),

化目标函数z—x-3y为y-—

33

由图可知，当直线过点4(0,-1)时，直线在y轴上的截距最小，

Z取得最大值，代入得0-3X(-1)=3,故z=x-3y的最大值为3.

故答案为：3.

15.函数y=/3-2x2-96x+8的极小值是-856.

解：*/y=—x3-2x2-96x+8,

3

：.y'=x2-4x-96,

令y'>0,解得：x>12或x<-8,

令y'<0,解得：-8<xV12,

故函数在(-8,-8)递增，在(-8,12)递减，在(12,+8)递增，

故函数丁=字3-2x2-96A+8的极小值是y\x=\2=-856,

故答案为：-856.

16.己知双曲线C：4-5=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为Q(-c,0),F23

azbz

0),其渐近线方程为丫=±版，焦距为2百5.点尸在双曲线C上，且在第一象限内,

若△PAR的面积为4百5,则点P的坐标为_(遍，4).

解：如图，

22

方=2衣，则双曲线方程为1_J=i.

28

由已知可得，恒1尸21=2内，设〃)(沉>0,〃>0),

则*X2，I3Xn=WI5,得〃=4，

2

「•:一=解得/(相>0).

28

的坐标为(逐，4).

故答案为：(返，4).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.已知集合人={川——>1},B={x\x2+(1-2a)x+a2-a<0}.

1-x

(I)求集合A,B；

(ID若408=8,求实数。的取值范围.

解：(I)A={x0)={x|B={M(x-a)(x-a+\)V0}={M。-1

x-1

<x<a}；

(II)*：AQB=Bf：.BQAf

解得-2WaWl,

la<l

•••实数a的取值范围是[-2,1].

18.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边，且满足

a(sinA—^sinB)=(sinC+sinB)(c-bzc=4.

(I)求aABC的外接圆的半径;

(II)求△ABC的面积的最大值.

解：(I)由题意及正弦定理得到a(a-/b)=(c+b)(c-b)，

即2622ab

即a+b-c=-^-，

由余弦定理可得cosC=《，

4

所以sinC=W^.

设△A8C的外接圆的半径为R.

4

因为三-21?，即在""R,

sinC—■-

4

解得RJ席.

15

(II)因为理=。2+炉-2H?COSC,且C=4,

所以16=a?+b2-普〉2ab-普即ab《夸’

所以江瓯fbsinCqX竽XV15=4/15>

当且仅当〃时取等号.

故△ABC的面积的最大值为亚运.

3

19.已知数列｛斯｝的前n项和Sn满足Sn=2a,i-1,数列｛d｝满足bn-Iog2an+log2fln+1.

(I)求｛“"｝,｛儿｝的通项公式；

(II)若数列｛/｝满足Cn=anb“,求｛.｝的前n项和T,,.

解：(I)由题意，当”=1时，ai=Si=2ai-1,解得0=1,

当〃》2时，由S“=2a“-1,可得

Sn-t=2an-l-1,

两式相减，可得

(1"=2即-2。"-1,

化简整理，得知=2%一

.••数列｛〃“｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

'.an=1*2"''=2"'〃6N*,

rtrt

.".^/I=log2an+log2an+i=log22'+log22=n-l+n=2n-1,〃eN*,

(II)由(I),可得

Cn=anbn=(2«-1)*2"'

A7],=C1+C2+C3+―+Cn=1X1+3X2'+5X22+-+(2w-1)X2nl,

24=IX21+3X22+…+(2n-3)X2nl+(2n-1)X2",

两式相减，可得

-7；,=l+2X21+2X22+—+2X2nl-(2n-1)X2n

=1+2X(2'+22+-+2,rl)-(2/?-l)X2"

o_on

=1+2义N乙-(2n-1)X2«

1-2

=-(2n-3)X2"-3,

：.Tn=(2n-3)X2"+3.

20.已知函数/(x)=-Inx(aeR).

(I)若/(X)的图象在点(1,/(1))处的切线与X轴负半轴有公共点，求。的取值

范围：

(II)当4=1时，求/(X)的最值.

解：(I)/(x)=eK'a-lux,则f(x)=^"°-—,

x

故/(1)=el'a,f(1)=el'a-1,

故切线方程是：y-e,a=(ela-1)(x-1),即y=(ela-1)x+1,

切线过定点(0,I),若/(x)的图象在点(1,/(I))处的切线与x轴负半轴有公共

点，

则解得：a<1；

(II)a—1时，f(x)1-Inx,函数的定义域是(0,+8),

f(x)=ex1-—,f"(x)=evl+-V>0,故/(x)在(0,+°°)递增，

xx

而，(i)=0,故xe(0,1)时，#(X)<o,xe(1,+8)时，f(尤)>0,

故/a)在(0,1)递减，在(1,+8)递增，

故/(x)min=f(1)=1.

21.已知焦点在X轴上的椭圆的长轴长是短轴长的2倍，椭圆上的动点P到左焦点距离的

最大值为2+\石.

(I)求椭圆的方程；

(II)过点(1,0)的直线/与椭圆C有两个交点A,B,△OAB(。为坐标原点)的面

积为占求直线/的方程.

5

22

解：（/）设椭圆的方程为半焦距为c,

azbz

’2a=2・(2b)f=2

a2「

由已知得<a+c=2+聪，解得<b=l，.•.椭圆的方程为午+y2

2-2.2dG

a-bK+ccvo

（II）由题可知直线/的斜率不为0,可设直线/的方程为X=，"），+1,A（XI,yi）,8（X2,

”），

—--+V=1c、cZmo

+=yy=

<4V，=(m2+4)V+2加y-3=0,Ay22-，l2"~2~

.m+4m+4

x=my+l

△OAB的面积S=yX|yj-y2|,/.|Yj-y2I

22

|y1-y2|=(y1+y2)-4y1y2=(—|y-)