湖南省长沙市开福区长沙市2023学年高三第六次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线C：x24y的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，若弦AB《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题lAF的长为，则25（）BF411B．3或31C．4或41D．5或5A．2或22．公差不为零的等差数列{a}中，++=13，且、、成等比数列，则数列{a}的公差等于()aaa12aaa1525nnA．1B．2C．3D．4对应的点位于（）D．第四象限2323．若i为虚数单位，则复数zsinicos的共轭复数z在复平面内3A．第一象限B．第二象限C．第三象限x2yy2x1021a0,b0的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方4．已知直线l：过双曲线程为（）a2b2xy2xyxy221D．91621221xy221C．169A．520B．205PABCDEF各顶点都在同一个球（记为球O）的球面上，且底面ABCDEF为正六边形，顶点在5．已知六棱锥P底面上的射影是正六边形ABCDEF的中心G，若PA，，则球O的表面积为（）AB26916C．6D．9A．B．34x20xy0Px,y，则点的坐标满足不等式6．设不等式组，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点Pxy0x2y22的概率为ππA．8B．411C．2πD．2π（为虚数单位），则的虚部为（）izD．1A．B．iC．11n(n1)有aaa1a1成立，若，则等于（）110*nn1n101A．1091B．10122D．11111C．11n9．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则的值为（）nA．100B．1000C．90D．90fxax2gxeyx与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（）10．函数axee,2A．,B．C．,eD．,e24ACB11．已知全集UZ,A1,2,3,4,Bxx1x30,xZ，则集合的子集个数为（）UA．2B．4C．8D．1612．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。ac2b，且sinAcosC3cosAsinC，则213．在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知2b_________．14．验证码就是将一串随机产生的数别其中的验证码信息，输入表单提交网站录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟该验证码的中间数字是型验证码”，则7的概率为字或符号，生成一幅图片，图功后才能使用某登录验证码由0，1，2，…，9中的片里加上一些干扰象素（防止OCR），由用户肉眼识项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登五个数字随机组成.将验证，验证成__________.1．15．已知等边三角形ABC的边长为AM2MB,点N、T分别为线段BC、CA上的动点,则ABNTBCTMCAMN取值的集合为__________．xy221（a0，b0）的左顶点为，右焦点为，过作轴的垂AFFx16．在平面直角坐标系xOy中，双曲线a2b2PQ.若APQ为直角三角形，则该双曲线的离心率是______.线交双曲线于点，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.y将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t；表示全国GDP总量，表中zlnyi1,2,3,4,51，5z.iz5iii15tt5ttyy5ttzz2tyziiiiii1i1i1326.4741.90310209.7614.05ˆ与yˆcedt（其中为自然对数的（1）根据数据及统计图表，判断ybtae2.718底数）哪一个更适宜作为全国t的回归方程.yyGDP总量关于t的回归方程类型？（给出判断即可不必，说明理由），并求出关于（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.ˆˆˆ线性回归方程ybxa中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：nxxyybˆi1iiˆˆ，aybx.nxx2ii1参考数据：n45678en的近似值551484031097298112分）已知函数f(x)eln(xa)(a0).18．（xa(x)在(0,)上存在唯一的零点；fa的值1，求ABCDABBC2，CDAD7，ABC120.PABCD中，PA平面，（Ｉ）证明：BDPC；33角的（Ⅱ）若M是PD中点，BM与平面PAB所成的正弦值为，求PA的长.1020．（12分）在最外门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，高考成绩按新的规则转高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求学高一.相应地，.双超中年级有学生1200人，新公布的湖南新高考方案中，“312”模式要求学生在语数3后三科的换后计入高考总分现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：序号1选科情况134序号11选科情况236序号2122232425选科情况156序号3132333435选科情况235223512131415234235236323514524523541451352351355156236256156624525623523523616171819202361562361452352627282930156134235246156363738394023615613423524578910（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？（2）请创建列联表，”有关.运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目nadbc2附：Kabcdacbd2PKk0.1002.7060.0503.8410.0106.6350.0012k10.828了历史科目，且在政治和地理2门中新生中随机抽取3人，设具备A高校B专业报名资格的人数为X，用样本的（3）某高校A在其热门人文专业B的招生简章中明确要求，仅允许选修至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一频率估计概率，求X的分布列与期望.acosx,1,b3sinx,1fxaba2．21．（12分）已知向量，函数2（1）求函数的最fx小正周期及单调递增区间；12（2）在ABC中，三内角A,B,CA,的对边分别为，已知a,b,c函数的fx图像经过点b,a,c，成等差数列，且ABAC9，求a的值．22．（10分）已知函数fxekx2有两个极值点，xx.x212（1）求实数k的取值范围；fxfxk.（2）证明：12xx12参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出AF,BF.【详解】2p4254，设直线的倾斜角为，则ABcos2cos21625119，即16tan3所以cos2，tan2，cos24所以直线l的方程为y3x1.当直线l的方程为y3x1，44yx1x24y，解得x1和x4，所以AF4；40联立3BF01124AF1，综上，BF4AF4BFx1.同理，当直线l的方程为y341或.选C.4【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.2．B【解析】设数列的公差为d,d0.由aaa13，a,a,aa,d成等比数列，列关于的方程组，即求公差1d.125125【详解】设数列的公差为d,d0，aaa13,3a5d13①.1251成等比数列，ad5aa4d②，a,a,a221111解①②可得d2.故选：B.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.3．B【解析】由共轭复数的定义得到，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解z【详解】由题意得zsin23icos2，3210，322因为sin30，cos23所以z在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.4．A【解析】x2y2a2b2根据直线l：y2x10过双曲线c5，又和其中一条渐近线平行，得到1a0,b0的一个焦点，得b2a，再求双曲线方程.【详解】x2y2a2b2因为直线l：y2x10过双曲线1a0,b0的一个焦点，F5,0，所以c5，所以又和其中一条渐近线平行，所以b2a，所以，b220，a5221.520故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．D【解析】，再结合球的性质，求得球的半径R32由题意，得出六棱锥PABCDEF为正六棱锥，求得PGPA2AG22，利用表面积公式，即可求解.【详解】由题意，六棱锥PABCDEF底面ABCDEF为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形ABCDEF的中心，GP可得此六棱锥为正六棱锥，又由AB2AG2，，所以在直角PAG中，因为PA6设外接球的半径为R，PGPA2AG22，，所以在AOG中，可得AO2AG2OG2，即R2(2R)2(2)2，解得R3，2S4R29.所以外接球的表面积为故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.画出不等式组表示的区域Ω，求出其面积，再得到x2y2在区域Ω内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.2Ω所以AOB的面积为4，1为半径的圆面，其面积为，242满足不等式x2y2的点，在区域Ω内是一个以原点为圆心，2由几何概型的公式可得其概率为P=2=，48故选A项.【点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.7．D【解析】根据复数满足z1i1i，利用复数的除法求得z，再根据复数的概念求解.z【详解】因为复数满足z1i1i，z1i1i所以z2i，1i1i1i所以z的虚部为1.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．B【解析】1n(n1)观察已知条件，对aa1进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.n1n【详解】1n(n1)aan(n1)1(111nn1nn1)11(1111已知aa1，则)，所以有aa1(12)，n1nn1n21aa1(11)，2332aa1(11)，3443aa1(11)，两边同时相加得aa9(11)，又因为a1，所以a19(11)91.101010910101109101故选：B【点睛】1n(n1)本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解.9．A【解析】利用频率分布直方图得到支出在[20,40)的同学的频率，再结合支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，即得解【详解】由题意，支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人由频率分布直方图可知，支出在[20,40)的同学的频率为(0.010.024)100.34,n34100．0.34故选：A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.10．C【解析】2lnxfxax2ylnxax2lnx由题可知，曲线与有公共点，即方程a有解，可得有解，令xhx2lnx1lnxx1e，则hx1xhxhe，也即为最大值，，对分类讨论，得出时，取得极大值exx2进而得出结论.【详解】fxax2ylnx与有公共点，即方程ax2lnx有解，解：由题可知，曲线2lnx有解，令hx2lnx1lnx即a，则hx，xxx2hx0，1hx010x则当时，；当时，xeee11时，取得极大值故xhe，也即为最大值，hxehx当趋近于时，趋近于，所以ae满足条件．x0故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．11．C【解析】ACB则子集个数可U先求B.再求CBU，求得求【详解】CBxx1x30,xZx1x3,xZ=1,0,1,2,3,则集合ACB1,2,3,故由题UU其子集个数为283故选C【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题12．A【解析】由ACB可确定集合C中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情，况得到答案.【详解】2,2,0,2,1,2,0,1，共种情况，所以选4由ACB可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有A项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．4【解析】∵sinAcosC3cosAsinCab2c23b2c2a22理与余弦定理可得：∴根据正弦定ac，即2c22a2b22ab2bc∵a2c22b∴b24b∵b≠0∴b4故答案为4514．36【解析】首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是7的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】根据“钟型验证码”中间数字最大，4,5,6,7,8,9.然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是0,1,2,3当中间是4时，其它4个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所CC6种.以方法数有2242当中间是5时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），CC10330种.所以方法数有2253当中间是6时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），CC15690种.所以方法数有2264当中间是7时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯CC2110210种.一），所以方法数有2275当中间是8时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法CC2815420种.唯一），所以方法数有2286当中间是9时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排CC3621756种.法唯一），所以方法数有2297210630902104207561512362105.所以该验证码的中间数字是7的概率为5故答案为：36【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.15．6【解析】根据题量积的意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出NT,TM,MN,的表达式,再进行数运算,最后求和即可得出结果.【详解】y直线为轴线段BC的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系如图所示,,解:以BC的中点O为坐标原点,BC所在x,23则A0,3,B1,0,C1,0,M,,33则AB1,3,2,0,CA1,3,BCAC,设Nt,0,ATOTOAATOAAC(0,3)(1,3)(,3(1)),(,3(1)),即点T的坐标为则NTt,3(1),TM,33(1),MNt22,3,3333所以ABNTBCTMCAMN1(t)(3)3(1)2033(1)23323(1)t36336故答案为:【点睛】本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.16．2【解析】b2根据APQ是等腰直角三角形，且PQac，解出.e即得F为中点可得AFPF，再由双曲线的性质可得a【详解】xcbb22APQ，解得y，即线段PF，为直角三角形，0P(c,y)0由题，设点，由xy221(a0,b0)aaa2b2PAQ2bac，，且APAQ，又F为双曲线右焦点，PQ过点2F，且轴，AFPF，可得PQxac2a2ac2aacc0，即e1，e2.ee20，又2，整理得：22a故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的简单性质，是常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。e1.405t；（2）148万亿元.2.31217．（1）ycedt，ˆye1.405t2.312e【解析】yceyce更适宜，对两边取自然对数得lnylncdtzlnyalnc，令，，，则bd（1）由散点图知dtdtzabt，再利用线性回归方程的计算公式计算即可；t5.2代入所求的回归方程中计算即可.（2）将【详解】（1）根据数据及图表可以判断，ycedt更适宜作为全国总量关于yt的回归方程.GDP对ycedt两边取自然对数得lnylncdtalnc，令，，，得bdzabt.zlny5ttzz14.0510ˆii1.405，b因为i15tt2ii1ˆazbt1.9031.40532.312，所以z1.405t2.312，t的线性回归方程为所以关于zee1.4052.312ˆ1.405y所以关于t的回归方程为yet2.312t.t5.2代入ye1.4051.4055.22.3124.994，，其中ˆt2.312（2）将于是2020年的全国总量约为：yˆe4.994e148万亿元.GDP5【点睛】本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理，是一道中档题.11）证明见解析；（2）218．（【解析】(x)在(0,)上存在唯一的零点即可；（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明ffx11以及lnx的单调性，（2）根据导函数零点fxx，判断出的单调性，从而可确定，利用0fxyxminmin可确定出之间的关系，从而的值可求ax,a0.【详解】1xa（1）证明：∵f(x)eln(xa)(a0)，∴f(x)exaxa.1xa∵exa在区间(0,)上单调递增，在区间上单调递减，(0,)(x)在(0,)上单调递增∴函数.f1aea又f(0)eg(a)aea(a0)，g(a)1e0，，令aaaaea则g(a)在(0,)上单调递减，g(a)g(0)1f(0)0.，故12a1令ma1，则f(m)f(a1)e0(x)在(0,)上存在唯一的零点所以函数f.11fxex0a0ea，即xa（）x(0,)0（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得x0*.xa0001xaxa在(0,)上单调递增.函数f(x)ef(x)0，f(x)单调递增时，x0,xf(x)0时，xx,0∴当，f(x)单调递减；当.0lnxa.f(x)fxeminxa0∴00lnxa.01f(x)fx*）式得min由（xa001lnxa1xa1是方程的解.∴，显然xa0001xa1又∵lnxa1lnx是单调递减函数，方程xa1，y有且仅有唯一的解x00011.2x1a01，∴，即所求实数的值为把代入（）式，得*e12aaa2【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，“设而不求”的思想进行分析Ⅱ）6可通过.19．（Ⅰ）见解析；（【解析】ADCD，得三点共线，且ACBD，又BDPA，OB,ODB,O,D（Ⅰ）取AC的中点O，连接，由ABBC，再利用线面垂直的判定定理证明.（Ⅱ）设PAx，则ABCDBD3PBx4PDx27，，在底面中，，在PBM中，由余弦定理得：2PB2BM2PM22BMPMcosPMBDBM△，在中，由余弦定理得x219DB2BM2DM22BMDMcosDMBBM，两式相加求得D作DHBA，则DH，再过4DHD到平面PAB的距离，由M是PD中点，得到M到平面PAB的距离，然后根据BM与平面2平面PAB，即点33PAB所成的角的正弦值为求解.10【详解】（Ⅰ）取AC的中点O，连接OB,OD，由ABBC，ADCDB,O,D，得三点共线，且ACBD，又BDPA，ACPAA，所以BD平面PAC，所以BDPC.（Ⅱ）设PAx，PBx4PDx27，，2在底面ABCD中，BD3，PBBM2PM22BMPMPMB，，在PBM中，由余弦定理得：2cos在DBM中，由余弦定理得△DBBMDM22BMDMDMBcos22DBPB22BM22DM22两式相加得：，2x27x所以2132BM2，22x219BM，4DH过D作DHBA，则平面PAB，33，sin602DHBD即点D到平面PAB的距离DH33，以为M到平面PAB的距离因为M是PD中点，所h24因为BM与平面PAB所成的角的正弦值为33，1033h3310，x2194sin即BM4解得x6.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力，属于中档题.20．（1）不需调整（2）列联表见解析；有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关（3）详见解析【解析】（1）可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2，推理得对应开设选修班的数目分别为15，1．推理知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为p120.3．用频率估计概率，则40X~B(3,0.3)，根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望．【详解】（1）经统计可知，样本40人中，选修化学、生物的人数分别为24，11，则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2．根据每个选修班最多编排50人，且尽量满额编班，得对应开设选修班的数目分别为15，1．现有化学、生物科目教师每科各8人，根据每位教师执教2个选修班，当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的一位教师执教一个班的条件，知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下：选物理不选物理合计选化学不选化学合计1952461015162540240(191056)27.1116.635，则K25152416有99%的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关．122门中至少选修了一门的人数为12，频率为p0.3．40（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理用频率估计概率，则X~B(3,0.3)，分布列如下：X01230.3430.4410.1890.021P数学期望为E(X)np30.30.9．【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．k,kkZ（2）21．（1），3【解析】a326，故可求其周期二倍角公式化简fxfxsin2x（1）利用向量的数量积和得与单调性；6得到fA1，故可求得A的大小，再根据数量积得到bc的乘积，最后结合余弦定理21A,（2）根据图像过2和bc2a构建关于a的方程可即．【详解】6（1）fxaba2aab213cos2xsin2xsin2x，2222最小正周期：T，26,kZ得由2k2x2kkxkkZ，2623所以fxkZ；k,k的单调递增区间为362kkZ，fAsin2A12k或5（2）由可得：2A62666所以A3．2abcb,a,c又因为成等差数列，所以而ABACbccosA1bc9,bc18，2bc2a22bc4a2a236cosA121a21,a32．122bce,22．（1）（）证明见解析2【解析】gxekx，求（1）先求得导函数，根据两个极值点可知fxfxekx0有两个不等实根，构造函数xxk0和两种情况，即可确定零点的情况，即可由零点的情况确定的取值范围；k0gx得；讨论gxkfxekx0fxekx0，代入不等式化简变形后可知只需证明（2）根据极值点定义可知，x1x21122；构造函数hx的单调区间，由题意可知xx1xx2hxhxhx，并求得hx，进而