2020-2021学年北师大版数学九年级下册第一章测试题及答案解析（二）

北师大版数学九年级下册第一章测试题（二）

（直角三角形的边角关系）

一、选择题

1.已知在RtZ\ABC中，ZC=90",sinA=X则tanB的值为（）

5

A.&B.2C.3D.3

3544

2.如图，一个小球由地面沿着坡度i=l：2的坡面向上前进了10m,此时小球

距离地面的高度为（）

A.5mB.2娓mC.4娓mD..12-m

3

3.如图，在菱形ABCD中，DE±AB,COS-A,BE=2,则tan/DBE的值

A5

()

A.1B.2C.金D.金

225

4.直角三角形两直角边和为7,面积为6,则斜边长为（）

A.5B.V37C.7D.V38

5.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度

AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角a=30。，则飞机A与指挥台B的

A.1200mB.1200V2mC.1200bmD.2400m

6.如图，已知在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,则cosB的值是（）

5543

7.如果a是锐角，且sina=2那么cos（90°-a）的值为（）

5

A.里B.刍C.WD.里

5543

8.已知：在RtaABC中，ZC=90°,sinA=W,则cosB的值为（）

4

A.近B.2C.gD.国

4554

9.在^ABC中，若tanA=l,sinB=』?>,你认为最确切的判断是（）

2

A.AABC是等腰三角形B.Z^ABC是等腰直角三角形

C.aABC是直角三角形D.aABC是一般锐角三角形

二、填空题

10.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从

一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米.

11.如图，有一滑梯AB,其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则

NA的度数约为（用科学计算器计算，结果精确到0.1。）.

12.小兰想测量南塔的高度.她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°,再往塔的

方向前进50m至B处，测得仰角为60。，那么塔高约为m.（小兰身高忽略

不计，取后1.732）

13.如图，在直角ABAD中，延长斜边BD到点c,使DC=LBD,连接AC,若

tanB=旦，则tan/CAD的值

3

14.如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位

于地面R处的雷达测得AR的距离是40km,仰角是30°,n秒后，火箭到达B

点，此时仰角是45。，则火箭在这n秒中上升的高度是km.

5.

F30逐:逮

三、解答题

15.计算下列各题：

(1)^/2(2COS450-sin60")+2ZK；

4

(2)(-2)0-3tan30°+|V3-2|.

16.在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大

树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：

⑴在大树前的平地上选择一点A,测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；

（2）在点A和大树之间选择一点B（A,B,D在同一直线上），测得由点B看大树

顶端C的仰角恰好为45°；

⑶量出A,B两点间的距离为4.5米.

请你根据以上数据求出大树CD的高度.（精确到0.1米）（可能用到的参考数

据：sin35fo.57,cos35°^0.82,tan35fo.70)

17.每年的5月15日是"世界助残日”，我区时代超市门前的台阶共高出地面

1.2米，为帮助残疾人，便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，

轮椅行走斜坡的坡角不得超过9°,已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为

8米（斜坡不能修在人行道上），问此商场能否把台阶换成斜坡？（参考数据：

sin9°=0.1564,cos9°=0.9877,tan9°=0.1584）

1.2米

8米

18.如图，信号塔PQ座落在坡度i=l：2的山坡上，其正前方直立着一警示

牌.当太阳光线与水平线成60。角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长

为2代米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高.（结果不取

近似值）

19.如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖

点D的仰角为45。，再沿AC方向前进60m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角

为60。，塔底点E的仰角为30。，求塔ED的高度.（结果保留根号）

ABC

20.耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是"运河四大名塔”之一（如图

1）.数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上

的A,B两点的俯角分别为17.9。，22°,并测得塔底点C到点B的距离为142米

（A、B、C在同一直线上，如图2）,求运河两岸上的A、B两点的距离（精确

到1米）.

（参考数据:sin22°«=0.37,cos2200.93,tan22°-0.40,sinl7.9°^0.31,

cosl7.9°弋0.95,tanl7.9°=0.32）

图1图2

21.如图，为了测得一棵树的高度AB,小明在D处用高为1m的测角仪CD,

测得树顶A的仰角为45°,再向树方向前进10m,又测得树顶A的仰角为60°,

求这棵树的高度AB.

10m

答案与解析

1.已知在Rt^ABC中，ZC=90°,sinA=X则tanB的值为（）

5

A.aB.9C."D.3

3544

【考点】T1：锐角三角函数的定义；T4：互余两角三角函数的关系.

【专题】选择题

【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角

函数关系式求解.

【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解.

•.•在RtaABC中，ZC=90°,

...sinA=旦，tanB=-^Da2+b2=c2.

ca

VsinA=—,设a=3x,则c=5x,结合a?+b2=c?得b==4x.

5

/.tanB二旦=.4x=4.

a3x3

解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解.

〈A、B互为余角，

AcosB=sin(90°-B)=sinA=-2..

5

XVsin2B+cos2B=l,

.*.sinB=Ayi_cos2B=X

J

4_

tanB=si橙=■^鱼

cosBA3

5

故选A.

【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数

的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数

值.

2.如图，一个小球由地面沿着坡度i=l：2的坡面向上前进了10m,此时小球

距离地面的高度为（）

A.5mB.2娓mC.4代mD..IP.m

3

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】选择题

【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长.

【解答】解：•.•AB=10米，tanA=©GL

AC2

.,.设BC=x,AC=2x,

由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,100=X2+4X2,解得x=2j^,

，AC=4遥，BC=2述米.

故选B.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，能从实际问题

中整理出直角三角形是解答本题的关键.

3.如图，在菱形ABCD中，DE±AB,COSA,BE=2,则tan/DBE的值

A=5

()

A.LB.2C.金D.金

225

【考点】T7：解直角三角形；L8：菱形的性质.

【专题】选择题

【分析】在直角三角形ADE中，cosA=34望理，求得AD,AE.再求得

5ADAD

DE,即可得至UtanNDBE=理.

BE

【解答】解：设菱形ABCD边长为t.

VBE=2,

Z.AE=t-2.

VcosA=—,

5

•••AE―3»

AD~5

••t•-2L.，3・

t5

/.t=5.

/.AE=5-2=3.

DE=VAD2-AE2=7B2-32=4•

.,.tanZDBE=^A=2.

BE2

故选B.

【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间

的关系.

4.直角三角形两直角边和为7,面积为6,则斜边长为（)

A.5B.V37C.7D.V38

【考点】AD：一元二次方程的应用；KQ：勾股定理.

【专题】选择题

【分析】可设直角三角形一直角边为x,则另一直角边为7-X,由面积为6作

为相等关系列方程求得x的值，进而求得斜边的长.

【解答】解：设直角三角形一直角边为x,则另一直角边为7-X,

根据题意得b（7-x）=6,

2

解得x=3或x=4,

所以斜边长为序了;及

故选A.

【点评】可根据直角三角形的面积公式列出关于直角边的方程，解得直角边的

长再根据勾股定理求斜边的长.熟练运用勾股定理和一元二次方程是解题的关

键.

5.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度

AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角a=30。，则飞机A与指挥台B的

距离为（）

A.1200mB.1200我mC.1200ymD.2400m

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】选择题

【分析】首先根据图示，可得NABC=Na=30。，然后在RtAABC中，用AC的长

度除以sin30°,求出飞机A与指挥台B的距离为多少即可.

【解答】解：•••NABC=Na=30。

，AB=―尬—=1±01=2400（m）,

sin30°L

2

即飞机A与指挥台B的距离为2400m.

故选D.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要熟练掌握，

解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系

问题加以解决.

6.如图，已知在Rt^ABC中，NC=90。，AB=5,BC=3,则cosB的值是()

5543

【考点】T1：锐角三角函数的定义.

【专题】选择题

【分析】根据余弦的定义解答即可.

【解答】解:在ABC中,BC=3,AB=5,

cosB=^-=—,

AB5

故选：A.

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边a与斜边c的

比叫做NA的余弦是解题的关键.

7.如果a是锐角，且sina二巨，那么cos(90°-a)的值为()

5

A.&B.WC.3D.当

5543

【考点】T3：同角三角函数的关系.

【专题】选择题

【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可.

【解答】解：为锐角，sina=W，

5

/.cos(90°-a)=sina=A.

5

故选B.

【点评】本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解

答的基础.

8.已知：在RtaABC中，ZC=90°,sinA=W,则cosB的值为（）

4

A.1B.AC.AD.A

4554

【考点】T4：互余两角三角函数的关系.

【专题】选择题

【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案.

【解答】解：由在RtaABC中，ZC=90°,得

ZA+ZB=90°,

cosB=sinA=3,

4

故选：D.

【点评】本题考查了互余两角三角函数关系，利用一个角的余弦等于它余角的

正弦是解题关键.

9.在△ABC中，若tanA=l,sinB=返，你认为最确切的判断是（）

2

A.AABC是等腰三角形B.AABC是等腰直角三角形

C.^ABC是直角三角形D.ZSABC是一般锐角三角形

【考点】T5：特殊角的三角函数值.

【专题】选择题

【分析】先根据特殊角的三角函数值求出NA,ZB的值，再根据三角形内角和

定理求出NC即可判断.

【解答】解:VtanA=l,sinB=YH_,

2

；.NA=45。，ZB=45°.

又Y三角形内角和为180。，

/.ZC=90°.

.••△ABC是等腰直角三角形.

故选B.

【点评】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值，三角形内角和定理及等

腰三角形的判定.

10.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从

一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，间小鸟至少飞行10米.

【专题】填空题

【分析】根据"两点之间线段最短"可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞

行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.

【解答】解：如图，设大树高为AB=12m,

小树高为CD=6m,

过C点作CELAB于E,则四边形EBDC是矩形，

连接AC,

，EB=6m,EC=8m,AE=AB-EB=12-6=6(m),

在RtAAEC中，

AC=,J62+g2=10(m).

故小鸟至少飞行10m.

故答案为：10.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解

决实际问题的能力.

11.如图，有一滑梯AB,其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则

NA的度数约为27.8。（用科学计算器计算，结果精确到0.1。）.

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】填空题

【分析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可.

【解答】解：’.•tan旦心0.5283,

AC5.3

,NA=27.8°,

故答案为:27.8°.

【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度

与水平宽度的比值，难度不大.

12.小兰想测量南塔的高度.她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°,再往塔的

方向前进50m至B处，测得仰角为60。，那么塔高约为43.3m.（小兰身高

忽略不计，取后1.732）

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】填空题

【分析】从题意可知AB=BD=50m,至B处，测得仰角为60。，sin6CT=迟.可求

BD

出塔高.

【解答】解：VZDAB=30°,ZDBC=60°,

.\BD=AB=50m.

.*.DC=BD«sin60°=50X12=43.3.

2

故答案为：43.3.

【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间

的联系，从而求解.

13.如图，在直角^BAD中，延长斜边BD到点C,使DC=1BD,连接AC,若

tanB=—,则tan/CAD的值—

3~5~~

【专题】填空题

【分析】延长AD,过点C作CE1AD,垂足为E,由tanB=§,即殁=旦，设

3AB3

AD=5x,则AB=3x,然后可证明△CDES/\BDA,然后相似三角形的对应边成比

例可得：CE=DE=CD=1,进而可得CE=3X,DE="X,从而可求tan/

ABADBD222

CAD=些」

AE5

【解答】解：如图，延长AD,过点C作CE_LAD,垂足为E,

VtanB=l,即孙旦

3AB3

.,.设AD=5x,则AB=3x,

VZCDE=ZBDA,ZCED=ZBAD,

/.△CDE^ABDA,

•••C,E_■一D•E_•一C,D_•一1•，，,

ABADBD2

，CE=2X,DE=£X,

22

/.AE=A^,,

2

tanZCAD=^-=—,

AE5

故答案为L.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角

三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将

ZCAD放在直角三角形中.

14.如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位

于地面R处的雷达测得AR的距离是40km,仰角是30°,n秒后，火箭到达B

点，此时仰角是45。，则火箭在这n秒中上升的高度是（20^-20）km.

B

A

L30；

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】填空题

【分析】分别在RtZXALR,Rt^BLR中，求出AL、BL即可解决问题.

【解答】解:在RtAARL中，

VLR=AR«cos30°=40X20M(km),AL=AR«sin30°=20(km),

在RtABLR中，VZBRL=45°,

RL=LB=20%,

，AB=LB-AL=(2073-20)km,

故答案为(20y-20)km.

B

■、、

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等

知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念解决问题.

15.计算下列各题：

(1)^2(2cos45°-sin60°)+返1；

4

(2)(-2)0-3tan30°+|V3-2|.

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幕；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】解答题

【分析】⑴原式利用特殊角的三角函数值化简，合并同类二次根式化简得到结

果；

(2)原式第一项利用零指数幕法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，

最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果.

【解答】解：⑴原式=&X(2X返-亚)+&^2-返+返2；

22422

(2)原式=1-3X&2-后3-2^3.

3

【点评】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数累，特殊角

的三角函数值，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16.在数学活动课上，九年级(1)班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大

树(如图)的高度，设计的方案及测量数据如下：

⑴在大树前的平地上选择一点A,测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；

(2)在点A和大树之间选择一点B(A,B,D在同一直线上)，测得由点B看大树

顶端C的仰角恰好为45。；

⑶量出A,B两点间的距离为4.5米.

请你根据以上数据求出大树CD的高度.(精确到0.1米)(可能用到的参考数

据：sin35°=0.57,cos35°^0.82,tan35°^0.70)

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解答题

【分析】首先分析图形：本题涉及到两个直角三角形4DBC、AADC,应利用其

公共边CD构造等量关系，借助AB=AD-DB=4.5构造方程关系式，进而可求出

答案.

【解答】解：设CD=x米；

VZDBC=45°,

/.DB=CD=x,AD=x+4.5；

在RtaACD中，tanNA=里，

AD

/.tan35°=——-——；

x+4.5

解得：x=10.5；

所以大树的高为10.5米.

解法2：在Rt^ACD中，tan/A=@,.*.AD=_2P_；

ADtan35

在RgBCD中，tan/CBD="ABD=—⑷—；

BDtan450

而AD-BD=4.5,

即―”-也—=4.5,

tan350tan450

解得:CD=10.5；

所以大树的高为10.5米.

【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三

角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形.

17.每年的5月15日是"世界助残日”，我区时代超市门前的台阶共高出地面

1.2米，为帮助残疾人，便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，

轮椅行走斜坡的坡角不得超过9°,已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为

8米（斜坡不能修在人行道上），问此商场能否把台阶换成斜坡？（参考数据：

sin9°=0.1564,cos9°=0.9877,tan9°=0.1584）

8米

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解答题

【分析】先求得拆除台阶换成斜坡后的坡角，与9。比较，再判断是否能把楼梯

换成斜坡.

【解答】解：由于台阶共高出地面1.2米，商场门前的人行道距门前垂直距离

为8米，

则拆除台阶换成斜坡后的坡角的正切值为tana="0.15Vtan9。，

8

因此，此商场能把台阶换成斜坡.

【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力.

18.如图，信号塔PQ座落在坡度i=l：2的山坡上，其正前方直立着一警示

牌.当太阳光线与水平线成60。角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长

为2代米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高.（结果不取

近似值）

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；U5：平行投影.

【专题】解答题

【分析】如图作MF_LPQ于F,QEJ_MN于E,则四边形EMFQ是矩形.分别在

RtAEQN>RtAPFM中解直角三角形即可解决问题.

【解答】解：如图作MF_LPQ于F,QELMN于E,则四边形EMFQ是矩形.

在RtAQEN中，设EN=x,则EQ=2x,

QN2=EN2+QE2,

.'>20=5x2,

Vx>0,

x=2,

AEN=2,EQ=MF=4,

VMN=3,

AFQ=EM=1,

在RtAPFM中，PF=FM・tan60°=4«,

，PQ=PF+FQ=4后1.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度问题，锐角三角函数等知识，

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考

题型.

19.如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖

点D的仰角为45°,再沿AC方向前进60m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角

为60。，塔底点E的仰角为30。，求塔ED的高度.（结果保留根号）

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解答题

【分析】先求出NDBE=30°,ZBDE=30°,得出BE=DE,然后设EC=xm,则

BE=2xm,DE=2xm,DC=3xm,BC=@m,然后根据NDAC=45°,可得AC=CD,列

出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度.

【解答】解：由题知，ZDBC=60°,ZEBC=30°,

，ZDBE=ZDBC-ZEBC=60°-30°=30°.

XVZBCD=90°,

二NBDC=90。-ZDBC=90°-60°=30°.

AZDBE=ZBDE.

，BE=DE.

设EC=xm,则DE=BE=2EC=2xm,DC=EC+DE=x+2x=3xm,

（2X）2-X2=^＜，

由题知，ZDAC=45",ZDCA=90°,AB=20,

.•.△ACD为等腰直角三角形，

.*.AC=DC.

J§x+60=3x,

解得：x=30+10jj,

2x=60+20V3.

答：塔高约为（60+20%）m.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰