医药数理统计方法概率

《医药数理统计方法》§2.1Ch2随机变量及其分布§2.1随机变量与离散型随机变量的分布一、随机变量二、离散型随机变量的分布2023/9/184:141《医药数理统计方法》§2.1一、随机变量例：1)一场足球比赛的结果：

2)抛一枚硬币，观察其结果：2023/9/184:142《医药数理统计方法》§2.11、定义如果对于一个随机试验的每一种可能的结果e，都有一个实数值X(e)与之对应，则称X(e)为随机变量，简记为X。注：随机变量与普通变量（函数）的区别：随机变量的取值是随机的，试验的每一个结果的出现都有一定的概率，因而随机变量取各个值都有一定的概率。2023/9/184:143《医药数理统计方法》§2.12、分类随机变量因其取值方式的不同，通常分为离散型和非离散型两类，而非离散型中最重要的是连续型。

2023/9/184:144《医药数理统计方法》§2.1二、离散型随机变量的分布1、定义若随机变量只能取有限个或无限可列个数值，则称它为离散型随机变量。e女()男(A)P0.4830.517例：X01P0.4830.5172023/9/184:145《医药数理统计方法》§2.12、概率函数设离散型随机变量X的所以可能取值为xi(i=1,2,…)，相应的概率P(X=xi)=pi

称为离散型随机变量X的概率函数。

概率函数的性质：2023/9/184:146《医药数理统计方法》§2.13、分布列若离散型随机变量X的概率分布用表格的形式给出，则称此表格为离散型随机变量X的分布列。Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…2023/9/184:147《医药数理统计方法》§2.1例2.1给青蛙按每单位体重注射一定剂量的洋地黄。由以往实验获知，致死的概率是0.6，存活的概率是0.4.今给两只青蛙注射，求死亡只数的概率函数和分布列。2023/9/184:148《医药数理统计方法》§2.1分析：设死亡只数为X只，则X=0，1，2.设Ai={第i只死亡}，i=1,2。A1与A2相互独立.2023/9/184:149《医药数理统计方法》§2.1分布列为X012P0.160.480.36解：设死亡只数为X(只)，则X=0，1，2.所求概率函数为2023/9/184:1410《医药数理统计方法》§2.14、分布函数

设X

是一随机变量，x是任意的一个实数，则函数

F(x)=P(X

x)称为随机变量X

的分布函数。2023/9/184:1411《医药数理统计方法》§2.12)性质①F(x)是一个不减的函数；注：1)②2023/9/184:1412《医药数理统计方法》§2.1例：已知例2.1中青蛙死亡只数X的分布列为X012P0.160.480.36解：试求X的分布函数以及。2023/9/184:1413《医药数理统计方法》§2.2§2.2常见离散型随机变量的分布一、二点分布二、二项分布三、泊松分布四、几何分布五、超几何分布2023/9/184:1414《医药数理统计方法》§2.2一、二点分布X01P1-pp其中0<p<1，则称X

服从二点分布或0-1分布。1、定义若随机变量只能取0或1两个数值，其概率分布为：2、伯努利试验：只有两个可能结果的试验2023/9/184:1415《医药数理统计方法》§2.2二、二项分布1、n重伯努利试验：设在同一条件下，单次试验只有两种可能结果。将试验独立地重复进行n次，称这种重复独立的试验系列为n重伯努利试验。注：试验特点①每次试验成功的概率都等于p；②各次试验是相互独立的。2023/9/184:1416《医药数理统计方法》§2.2例2.2已知某药有效率为0.7，今用该药治疗病人3例，求有效人数为0，1，2，3的概率。2023/9/184:1417《医药数理统计方法》§2.22、Th2.1n重伯努利试验的计算公式

在一次试验中，事件A发生的概率为p，则在n次重复独立的试验中，事件A恰好发生k次的概率为：2023/9/184:1418《医药数理统计方法》§2.23、二项分布的定义若随机变量X

的概率函数为则称X

服从参数为n，p的二项分布，记为X～B(n,p)。2023/9/184:1419《医药数理统计方法》§2.2例2.3某种大批量产品的一级品率为0.2，现从中随机地抽取20件，问20件产品中恰好有k件(k=0,1,2,…,20)为一级品的概率是多少？解：这里是不放回抽取，但由于产量很大，且抽取的件数相对于产品的总数来说又很小，因而可以看作有放回抽取来处理。

将产品是否为一级品看成是一次试验的结果，检查20件产品相当于做了20重伯努利试验。设X为20件产品中一级品的件数，则X～B(20,0.2)2023/9/184:1420《医药数理统计方法》§2.2将结果用图2.3来表示注：二项分布的特点图形是一偏左、单峰曲线。当k增大时，概率P(X=k)先增大，达到最大值后，再减小。2023/9/184:1421《医药数理统计方法》§2.2例2.4据报道,有10%的人对某药有肠胃反应,为考察某厂的产品质量,现任选5人服用此药,试求:k个人有反应的概率(k=0,1,2,…5);不多于2个人有反应的概率;有人有反应的概率.2023/9/184:1422《医药数理统计方法》§2.2(3)P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)或查P291的附表1二项分布表2023/9/184:1423《医药数理统计方法》§2.2三、泊松分布

许多稀疏现象，如（1）生三胞胎；（2）某种少见病（如食管癌、胃癌）的发病例数;（3）用显微镜观察片子上每一格子内的细菌或血细胞数；（4）用X-线照射一种细胞或细菌，细胞发生某种变化或细菌死亡的数目等等，都服从或近似服从泊松分布，所以泊松分布律又称为稀疏现象律。2023/9/184:1424《医药数理统计方法》§2.21、定义2.7若随机变量X的概率函数为则称X

服从参数为

的泊松分布，记作X～P()。2023/9/184:1425《医药数理统计方法》§2.22、分布特点图形是一偏左、单峰曲线。且当增大时，图形趋于对称。泊松分布图的上升、下降情况与二项分布类似。当k增大时，概率P(X=k)先增大，达到最大值后，再减小。2023/9/184:1426《医药数理统计方法》§2.23、泊松定理表明泊松分布(P(

))是二项分布(B(n,p))在n→∞时的极限分布，其中

=np。注：n重伯努利试验n=1二点分布n=n

二项分布n→∞泊松分布2023/9/184:1427《医药数理统计方法》§2.2例2.7已知某地区的人群中患某病的概率为0.001，求在检查5000人中至少有2人患此病的概率。P(X≥2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)或查P264的附表2泊松分布表2023/9/184:1428《医药数理统计方法》§2.2四、几何分布＊2、常见的例子：1)购买奖券，中奖后不再购买;2)进行某种试验，直到试验成功不再做。1、若随机变量X的概率函数为则称X

服从几何分布。2023/9/184:1429《医药数理统计方法》§2.2五、超几何分布＊2、常见的例子：1)药品、疫苗等的质量检查;2)流行病学的研究。1、若随机变量X的概率函数为则称X

服从参数为N，M，n的超几何分布。2023/9/184:1430《医药数理统计方法》§2.3§2.3连续型随机变量的分布2023/9/184:1431《医药数理统计方法》§2.3一、概率密度函数1、定义设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在一个非负可积函数f(x)，对任意的x，都有则称X为连续型随机变量，称f(x)为随机变量X的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。2023/9/184:1432《医药数理统计方法》§2.3注：2023/9/184:1433《医药数理统计方法》§2.32、性质若f(x)在点x处连续，则(1)(2)(3)(4)2023/9/184:1434《医药数理统计方法》§2.3二、连续型随机变量的f(x)dx与离散型随机变量的的关系

离散型：2023/9/184:1435《医药数理统计方法》§2.3f(x)dx可以看成随机变量X落在小区间[x,x+dx]上的概率。可见f(x)dx与起着同样的作用，都描述了随机变量的分布情况。连续型：2023/9/184:1436《医药数理统计方法》§2.3例2.10已知连续型随机变量X的概率密度为试求:

2023/9/184:1437《医药数理统计方法》§2.3解:(1)2023/9/184:1438《医药数理统计方法》§2.3(2)2023/9/184:1439《医药数理统计方法》§2.3(3)2023/9/184:1440《医药数理统计方法》§2.4§2.4常见连续型随机变量的分布一、均匀分布二、指数分布三、正态分布2023/9/184:1441《医药数理统计方法》§2.4一、均匀分布(uniformdistribution)定义若随机变量X的概率密度为则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，记作X～U[a,b]。注：均匀分布可作为数值计算中估计误差，公共汽车的等待时间等问题的数学模型。2023/9/184:1442《医药数理统计方法》§2.4例2.11某公共汽车站每10分钟有一辆汽车通过，一位乘客对于汽车通过该站的时间完全不知道，他在任一时刻到达车站的可能性均等，试求他到达车站3分钟内就有公共汽车到站的概率。解：设该乘客候车时间为X(分钟)，则由题意知X服从[0,10]上的均匀分布，它的概率密度为所求概率为2023/9/184:1443《医药数理统计方法》§2.4二、指数分布(exponentialdistribution)定义若随机变量X的概率密度为其中

>0为常数，则称X服从参数为

的指数分布，记为X～E()。注：指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如动物、植物寿命，电子元件寿命，随机服务系统中的服务时间等都常被假定服从指数分布。2023/9/184:1444《医药数理统计方法》§2.4例2.12设某种动物的寿命X（单位：年）服从参数为0.1的指数分布，问一个这样的动物能活到12岁的概率是多少？2023/9/184:1445《医药数理统计方法》§2.4例2.10（改）设某种动物的寿命X（单位：年）服从参数为0.1的指数分布，问一个这样的动物能活到12岁的概率是多少？解：由题意知X～E(0.1)，它的概率密度为所求概率为2023/9/184:1446《医药数理统计方法》§2.4三、正态分布(normaldistribution)1、定义若随机变量X的概率密度为其中，

和

(

>0)为常数，则称X服从参数为的正态分布，记作X～。2023/9/184:1447《医药数理统计方法》§2.4注：1)概率密度f(x)示意图分布具有“中间大、两头小”的特点2023/9/184:1448《医药数理统计方法》§2.42)概率密度f(x)的性质①曲线f(x)关于直线x=

对称；②当x=

时，f(x)取得最大值；③曲线f(x)在x=

±

处具有拐点，且以x轴为水平渐近线；④

为位置参数，

为形状参数2023/9/184:1449《医药数理统计方法》§2.42、标准正态分布N(0,1)①概率密度

分布函数②2023/9/184:1450《医药数理统计方法》§2.4例2.11设随机变量X～N(0,1)，查表求：

(1)P(X<1.23)；(3)P(|X|>1.23)；

(2)P(X>1.23)；(4)P(|X|<1.23)。解:(2)(4)2023/9/184:1451《医药数理统计方法》§2.43、正态变量的标准化此时有2023/9/184:1452《医药数理统计方法》§2.4例2.12设随机变量解:(2)可见X落在(

-3

,

+3

)之外的概率是很小的。(正态分布具有“中间大、两头小”的特点)2023/9/184:1453《医药数理统计方法》§2.4(3)注：称为临界值或分位数。2023/9/184:1454《医药数理统计方法》§2.4现在要查P275附表4标准正态分布的双侧临界值表求2023/9/184:1455《医药数理统计方法》§2.5§2.5随机向量＊一、多维随机变量二、独立随机变量2023/9/184:1456《医药数理统计方法》§2.5一、多维随机变量通常把与同一个随机现象相联系的多个随机变量看作一个整体，称为多维随机变量，或多维随机向量。

由n个随机变量X1,X2,...,Xn构成的n维随机向量，记作(X1,X2,...,Xn

)。例1)为了研究某地区儿童身体的发育情况，要用身高、体重、胸围等多个随机变量来表示。

2)大学生体质健康标准评价指标五项我校采用的是：身高与体重、肺活量、立定跳远、台阶试验、握力(男)/坐位体前屈(女)2023/9/184:1457《医药数理统计方法》