四年级下册数学讲义竞赛专题：第二讲数列与数表人教版

数列与数表数列与数表知识概述知识概述1、数列：主要包括⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差数列通用公式：通项公式：第n项=首项+（项数–1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷23、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。4、数表规律给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。具体方法和步骤是：⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；⑵猜想符合规律的一般性结论；⑶验证或证明结论是否正确。在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。经过观察与归纳找出数与图的规律。观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是经过观察与归纳找出数与图的规律。观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是“看不出”。在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律。只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案。同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多。名师点题例例1（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？（2）在数列3、6、9……，201和是多少？（3）如果继续写下去，第201个数是多少？【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）公差+1,便可求出。项数=（201-3）3+1=67（2）求和公式=（首项+末项）×项数÷2=（3+201）×67÷2=102×67=6834（3）根据公式：末项=首项+公差（项数-1）末项=3+3（201-1）=603，第201个数是603例例2添在图中的三个正方形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律，确定出A=B=C=；9912320234A3BC【解析】第一组（1+2）×3=9

第二组（2+3）×4=20

第三组（3+4）×5=35

由分析得：A=35，B=4，C=5.例例3用相同的立方体摆成下图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？【解析】第一层：1第二层：1+2第三层：1+2+3第四层：1+2+3+4...第十层：1+2+3+4+…+10=55（1+10）×10÷2

=11×10÷2

=110÷2

=55(个)【巩固拓展】1、3＋7＋11＋…＋99＝？【解析】3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。2、求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。【解析】末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。3、添在图中的三个五边形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律，确定出A=B=C=D=；1124375BADC3348521【解析】多线找规律①中出现123，②出现345，③应该为567，所以B=6D=7①中1+3=4，②中3+5=8，③5+D=A，D=7，A=12①中1×7=7②中3×7=21③5×7=35C=354、全部三位数的和是多少？【解析】所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。（100+999）9002=10999002=494550例1例1图中是一个堆放铅笔的V形架,如果最上面一层放60支铅笔.问一共有多少支铅笔?【解析】从最底层到最上层每一层堆放的铅笔支数组成一个等差数列,所以一共放铅笔.(1+60)×60÷2=61×60÷2=3660÷2=1830(支).【巩固拓展】建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。【解析】根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷2=52(根)。例例2计算：1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70=【解析】这是一个综合数列求和，我们把原数列的奇数项和偶数项分开来看奇数项：偶数项：把奇数项的和求出来，偶数项的和求出来，两个和相加即为原数列的和。偶数项的项数是：，那么奇数项的项数就是。奇数项的和：，偶数项的和：，原数列的和：。【巩固拓展】有两个数列对应关系如下表所示：

(1)当B=37时，A=_________．(2)当A=1995时，B=______．【解析】（1）B=37代入项数=（末项–首项）÷公差+1求出为第12项A的第12项：3+（12-1）×2=25（2）当A=1995项数=（1995-3）÷2+1求出为第997项B的第997项：4+（997-1）×3=2992例例3在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。【解析】（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。(2）火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。【巩固拓展】用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?【解析】如果把图中最上端的一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个三角形(2个向上的三角形,一个向下的三角形)看做第二层,那么这个图中一共有10层三角形。不难看出,这10层三角形每层所需火柴棒根数,自上而下依次为:3,6,9,…,3×10。它们成等差数列,且首项为3,公差为3,项数为10。求火柴的总根数,也就是求这个等差数列各项的和。即:3+6+9+…+30=(3+30)×10÷2=33×5=165(根)这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒。例例4有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?【解析】提示：开第一把锁时，如果不凑巧，试了49把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试49次，同理，开第二把锁至多需要48次，开第三把锁至多需试47次，…，等打开第49把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。解：根据以上分析,可以把本题转化为求一个等差数列的和，即49+48+47+…+2+1=(49+1)×49÷2=1225(次)答：至多要试1225次。【巩固拓展】1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?【解析】59+58+57+…+2+1=(59+1)×59÷2=1770(次)2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了?【解析】答:一共有8把锁的钥匙搞乱了。例1例1（小机灵杯初赛）有许多等式：2＋4＋6＝1＋3＋5＋38＋10＋12＋14＝7＋9＋11＋13＋416＋18＋20＋22＋24＝15＋17＋19＋21＋23＋5…第十个等式的右边的和是多少？【解析】前九个等式左边的数共有3+4+5+…+11=(3+11)×9÷2=63个数那么第十个等式左边的第一个数就是第64个：根据通项公式：第n项=首项+（项数–1）×公差2+（64-1）×2=128.所以第十个等式右边的数的和：128+130+132+…+150=(128+150)×12÷2=1668例例2（第九届小机灵杯五年级复赛）有若干个根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成下面的图形，找这样下去，第10个图中共用了多少根火柴？【解析】把最后一排封底用的火柴分开看。第一个图，上面用3个，封底用1个第二个图，上面用3＋7个，封底用3个第三个图，上面用3＋7＋11个，封底用5个……第十个图，上面用3＋7＋11＋15＋……＋=210，封底用19个。所以一共用了229根火柴。例例3将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈。【解析】除周围4个小圆外，中间小圆的规律是1×2，2×3，3×4，……，第6个图有6×7＋4＝46个小圆。例例4(第七届“中环杯”四年级决赛)有一串这样的数字：2，0，0，6，0，6，2，0，0，6，0，6，2，0，0，6，0，6….共2022个数。其中共有()个0，()个2，()个6。【解析】经过观察，这个数列以“2，0，0，6，0，6”为一周期循环；因为2022÷6=334……2；所以共有334×3＋1＝1003个0，334×1＋1=335个2，334×2＝668个6。例例5(第六届“中环杯”四年级初赛)有一串数9286…，从第三个数字起，每一个数码都是它前面两个数码积的个位数，那么前100个数码的和是_______。【解析】因为9＋2＝18，2×8＝16，8×6＝48，6×8＝48，8×8＝64，8×4＝32，4×2＝8，…所以这串数从第二个开始以“286884”的规律不断循环；因为(100－1)÷6＝16……3；前100个数码的和是9＋(2＋8＋6＋8＋8＋4)×16＋(2×8＋6)＝601。例例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。1、（第9届中环杯四年级初赛）计算：1+11+21+…+1991+2022+2022=【解析】等差数列求和，项数：（2022-1）÷10+1=202和：（1+2022）×202÷2=2032122、四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？【解析】假设45位同学排成一队，第1位同学一次与其他同学握手，一共握了44次，第2位同学因与第1位同学已握手，只需要与另外43位同学握手，一共握了43次，这样第3位同学只需与另外的42位同学握手，…，依次类推。握手的次数分别为：44,43,42，…，3,2,1，这样应用等差数列求和公式即可解答。解：根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和即44+43+42+…+3+2+1=（44+1）×44÷2=990（次）答：同学们共握了990次手。3、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？【解析】7+95=102（根）95-7+1=89（层）102892=4539（根）答：这堆圆木一共有4539根。4、（第9届中环杯初赛）如图所示，白色和黑色的三角形按顺序排列。当两种三角形的数量相差12个时，白色三角形有_______个。【解析】每个图形两种三角形的个数相差依次成为数列1，2，3，4，5，第12个图形黑白三角形相差12，那么白色三角形的个数1+2+3+…+11=66（个）5、标有A,B,C,D,E,F,G,H记号的八盏灯，顺次排列一行，每盏灯装有一个开关，现在A,C,E,G开着，其余四盏是灭的，小明从灯A开始顺次拉开关，从A到H，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动次后，灭的灯是