人教版九年级数学上册 （弧长和扇形面积）圆教学课件

圆24弧长和扇形面积

课时目标1.了解弧形、扇形的概念。2.理解弧长公式中n的意义，并会运用弧长公式进行有关计算。3.理解并掌握扇形面积的两个公式，会计算一些组合图形的面积。探究新知

在田径二百米比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？探究新知制造弯形管道时，怎样才能精确用料？700mm700mm100°°R=900mmCAB●●OD●●探究新知OA圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.B半圆弧一般是圆的一部分，那么你会求弧的长度吗？探究新知圆的周长：OABC=2πR圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？360°1°圆心角所对弧长：l=

2πR360πR180=Rn°圆心角所对的弧长：n°nπR180l=探究新知由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．n°O探究新知1.弧长公式半径为R,圆心角为n°的弧的弧长l为______.2.扇形由组成圆心角的_________和该圆心角_________围成的图形叫做扇形.两条半径所对的弧探究新知3.扇形的面积公式(1)S扇形=_____(n为扇形的圆心角的度数,R为扇形的半径).(2)S扇形=____(l为扇形的弧长,R为扇形的半径).进行计算时,要注意公式中n的意义,n表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的；探究新知【思维诊断】(打“√”或“×”)1.弧长公式是l=.()2.扇形的面积公式S=.()3.半径是6cm,圆心角为30°的弧长为cm.()4.半径为3cm,弧长为8cm的扇形面积为12cm2.()×××√探究新知制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧AB的长因此所要求的展直长度L=2X700+500π≈2970L===500πnπr180100x900xπ180探究新知在半径为

R的圆中，n°的圆心角所对的弧长（arclength

）的计算公式为：弧长公式.n°R【示范题1】如图,一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚,那么B点从开始至结束(B′)所走过的路径长度是多少?弧长公式及应用探究新知探究新知【解题探究】(1)找到等边△ABC每一次翻转的中心,画出点B所走的路径.

(2)等边△ABC每一次旋转的角度是多少?旋转的半径是多少?提示:等边△ABC每一次旋转的角度是120°,旋转的半径是1.弧长公式及应用【示范题1】如图,一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚,那么B点从开始至结束(B′)所走过的路径长度是多少?探究新知【想一想】1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？提示：圆周长为2πR，可看作是360°的圆心角所对的弧长；1°的圆心角所对的弧长为；圆心角为n°的弧长是圆心角为1°的弧长的n倍,∴n°的圆心角所对的弧长为弧长公式及应用探究新知弧长公式及应用【备选例题】矩形ABCD的边AB=8,AD=6,现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动翻滚,当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时(如图所示),求顶点A所经过的路线长.弧长公式及应用【解析】点A经过的路线长由三部分组成:以B为圆、AB为半径旋转90°的弧长;以C为圆心、AC为半径旋转90°的弧长;以D为圆心、AD为半径旋转90°的弧长,利用弧长公式可得探究新知弧长公式及应用【方法一点通】求与弧长相关计算的两个步骤（1）弧长公式涉及三个量，弧长、圆心角的度数、弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量（2）当问题涉及多个未知量时，可考虑用列方程组来求解.探究新知探究新知针对性练习某传送带的一个转动轮的半径为10cm.（1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？（2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？（3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？探究新知针对性练习解：（1）转动轮转一周，传送带上的物品A被送；（2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送；（3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送.

.探究新知扇形的面积公式及应用圆的面积：OABS=πR2圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？360°1°圆心角所对扇形面积：S扇形=πR2360Rn°圆心角所对扇形面积：n°nπR2360S扇形

=探究新知扇形的面积公式及应用在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为：扇形面积公式.n°R注意:（1）公式中n

的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；（2）公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.探究新知扇形的面积公式及应用知识点二扇形的面积公式及应用【示范题2】CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AO⊥BC,垂足为点E,AO=1.(1)求∠C的大小.(2)求阴影部分的面积.探究新知扇形的面积公式及应用【思路点拨】(1)由垂径定理得，再由圆周角和圆心角的关系，求出∠C=∠AOD，由直角三角形的两锐角互余，求出∠C.(2)不难得出∠AOB=120°，由直角三角形中30°的性质和勾股定理求出OF,AF，扇形OAB的面积减去△AOB的面积为阴影部分的面积.探究新知扇形的面积公式及应用【自主解答】(1)∵CD为⊙O的直径,CD⊥AB,∴,∴∠C=∠AOD.∵∠AOD=∠COE,∴∠C=∠COE.∵AO⊥BC,∴∠C=30°.(2)连接OB.由(1)知∠C=30°,∴∠AOD=60°,∴∠AOB=120°.在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°,探究新知扇形的面积公式及应用【想一想】扇形和弓形有什么区别?提示:弓形是由弦及其所对的弧组成的图形,扇形是由两条半径和圆心角所对的弧围成的图形.探究新知扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？探究新知扇形的面积公式及应用【微点拨】扇形的面积公式有两个：(1)已知扇形的半径和圆心角度数求面积时选用(2)已知半径和弧长求面积时选用例题讲解例题精讲水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m。求截面上有水部分的面积？（精确到0.01m2)巩固练习解：连接OA、OB，作OC⊥AB

于D，交弧AB

于点C.∵OC=0.6，DC=0.3,

在Rt△OAD

中，OA=0.6，利用勾股定理可得：∴OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3.∴∠OBD=30°，∴∠AOB=120°在Rt△OAD

中，∵OD=0.5OA,∴∠OAD=30°.有水部分的面积为=∵OA=OB，∵OC⊥AB

，∴AD=BD,∴AB=

.巩固练习0.60.30BACD120π×0.6²

13602－－AB－OD=探究新知如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.0ABDCE弓形的面积=S扇+S△变式练习探究新知00弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差规律提升课堂小结对弧长和扇形面积计算公式的灵活运用.

算一算积的计算，培养分析解决问题的能力.

弧长和扇形面积计算公式的推导.

弧长和扇形面积第二十四章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时

学习目标1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点）2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）导入新课图片欣赏问题1

如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？问题2

怎样来计算弯道的“展直长度”？因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.导入新课情境引入讲授新课与弧长相关的计算一问题1半径为R的圆,周长是多少？OR问题2下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?OR180°OR90°OR45°ORn°合作探究(1)

圆心角是180°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.(2)

圆心角是90°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.(3)

圆心角是45°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.(4)

圆心角是n°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.

用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.注意算一算

已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____.知识要点弧长公式例1

制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧AB的长因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.

答：管道的展直长度为2970mm．700mm700mmR=900mm(100°ACBDO·OA解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°.解得n≈90°因此，滑轮旋转的角度约为90°.一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取3.14）？练一练圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.半径半径OBA圆心角弧OBA扇形与扇形面积相关的计算二概念学习下列图形是扇形吗？判一判√×××√合作探究问题1半径为r的圆,面积是多少？Or问题2下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?圆心角占

周角的比例扇形面积占

圆面积的比例扇形的面积=Or180°Or90°Or45°Orn°扇形面积公式半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.注意知识要点

___大小不变时，对应的扇形面积与

__

有关，

___越长，面积越大.圆心角半径半径圆的

不变时，扇形面积与

有关，

越大，面积越大.圆心角半径圆心角总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.O

●

ABDCEFO

●ABCD问题扇形的面积与哪些因素有关？问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？想一想扇形的面积公式与什么公式类似？ABOO类比学习例3

如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）OR60°解：∵n=60，r=10cm，∴扇形的面积为扇形的周长为1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积S扇=

．2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇=

.试一试例4如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）(1)O.BAC

讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？阴影部分.O.BACD(2)O.BACD(3)(2)水面高0.3m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？

阴影部分面积=扇形OAB的面积-

△OAB的面积解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.∵OC＝0.6,DC＝0.3,∴OD＝OC-

DC＝0.3，∴OD＝DC.又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，∴AC＝AO＝OC.

从而∠AOD＝60˚,∠AOB=120˚.O.BACD(3)

有水部分的面积：S＝S扇形OAB

-SΔOABOBACD(3)OO弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积S弓形=S扇形-S三角形

S弓形=S扇形+S三角形知识要点弓形的面积公式

2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（）B．C.D.1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为

.当堂练习CABCOH