初中数学二次函数经典综合大题练习卷

1、如图9〔1〕，在平面直角坐标系中,抛物线经过A〔-1,0〕、B〔0,3〕两点,与X轴交于另一点C,顶点为D.〔1〕求该抛物线的解析式与点C、D的坐标；〔2〕经过点B、D两点的直线与X轴交于点E,假设点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形,求点F的坐标；〔3〕如图9〔2〕P〔2,3〕是抛物线上的点,Q是直线AP上方的抛物线上一动点,求AAPQ的最大面积和此时Q点的坐标.2、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速开展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉与树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润y与投资本钱X成正比例关系,如图①所示;种植花卉的利润y与投资本钱乂成二次函数关系,如图②所示〔注:利润与投资本钱的单位：万元〕图① 图②〔1〕分别求出利润y1与y2关于投资量X的函数关系式；〔2〕如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木请求出他所获得的总利润Z与投入种植花卉的投资量X之间的函数关系式,并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？3、如图,为正方形的对称中心,,,直线交于,于,点从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动,同时,点从出发沿方向以个单位每秒速度运动,运动时间为．求：〔1〕的坐标为；〔2〕当为何值时,与相似？〔3〕求的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值与的最大值．4、如图①,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为,顶点C,D在第一象限.点P从点A出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点Q从点E<4,0>出发,沿X轴正方向以一样速度运动.当点P到达点C时,P,Q两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.〔1〕求正方形ABCD的边长.〔2〕当点P在AB边上运动时,AOPQ的面积S〔平方单位〕与时间t〔秒〕之间的函数图象为抛物线的一局部〔如图②所示〕，求P,Q两点的运动速度.〔3〕求〔2〕中面积S〔平方单位〕与时间t〔秒〕的函数关系式与面积取最大值时点的坐标.〔4〕假设点P,Q保持〔2〕中的速度不变,如止匕点P沿着AB边运动时，NOPQ的大小随着时间的增大而增大；沿着BC边运动时，NOPQ的大小随着时间的增大而减小.当点沿着这两边运动时,使N0PQ=90o的点有个.5、如图,在梯形中，厘米,厘米,的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动,动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为秒.(lɔ求边的长；〔2〕当为何值时,与相互平分；〔3〕连结设的面积为探求与的函数关系式,求为何值时,有最大值？最大值是多少?6、抛物线0与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴,轴相交于两点,并且与直线相交于点.<1>填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标,如此；<2>如图,将沿轴翻折,假设点的对应点,恰好落在抛物线上J与轴交于点,连结,求的值和四边形的面积；<3>在抛物线1〕上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形？假设存在,求出点的坐标;假设不存在,试说明理由.7、抛物线y=aχ2+bx+c的图象交

X轴于点A<x,0>和点B<2,0>,与y

轴的正半轴变于点C,其对称轴是

直线X=—1,tanNBAC=2,点A关

于y轴的对称点为点D.<1>确定A.C.D三点的坐标；<2>求过B.C.D三点的抛物线的解

析式；<3>假设过点<0,3>且平行于X轴的直线与<2>小题中所求抛物线交于M.N两点，以MN为一边,抛物线上任意一点P<x,y>为顶点作平行四边形,假设平行四边形的面积为S,写出S关于P点纵坐标y的函数解析式.<4>当<x<4时,<3>小题中平行四边形的面积是否有最大值,假设有,请求出,假设无,请说明理由.8、如图,直线AB过点A<m,0>,B<0,n><m>0,n>0>反比例函数的图象与AB交于C,D两点,P为双曲线一点,过P作轴于Q,轴于R,请分别按<1X2X3>各自的要求解答闷题.<1>假设m+n=10,当n为何值时的面积最大?最大是多少？＜2＞假设,求n的值：＜3＞在＜2＞的条件下,过0、D、C三点作抛物线，当抛物线的对称轴为x=1时,矩形PROQ的面积是多少?9、A、A、A是抛物线上的三点,人8、AB、AB分别垂直于X轴,垂足为B、B、B,直线AB交线段A1A3于点C. 112233 123 22〔1〕如图1,假设A1、A2、4三点的横坐标依次为1、2、3,求线段CA2的长.〔2〕如图2,假设将抛物线改为抛物线,A、A、A三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,求线段CA2的长. 123〔3〕假设将抛物线改为抛物线,A、A、A三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,请猜想线段CA2的长〔用a、b、C表示,并直接写出答案〕.10、如图,现有两块全等的直角三角形纸板I,11,它们两直角边的长分别为1和2.将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处,直角边在轴上.一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板I沿直尺边缘平行移动.当纸板I移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点.〔1〕求直线所对应的函数关系式；〔2〕当点是线段〔端点除外〕上的动点时,试探究：①点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠局部〔图中的阴影局部〕的面积是否存在最大值？假设存在，求出这个最大值与取最大值时点的坐标；假设不存在,请说明理由.11、OM是一堵高为2.5米的围墙的截面，小鹏从围墙外的A点向围墙抛沙包,但沙包抛出后正好打在了横靠在围墙上的竹竿CD的B点处,经过的路线是二次函数图像的一局部,如果沙包不被竹竿挡住,将通过围墙的E点,现以O为原点,单位长度为1,建立如如下图的平面直角坐标系,E点的坐标＜3,＞,点B和点E关于此二次函数的对称轴对称,假设tan∠OCM=1＜围墙厚度忽略不计＞.＜1＞求CD所在直线的函数表达式；＜2＞求B点的坐标；＜3＞如果沙包抛出后不被竹竿挡住,会落在围墙距围墙多远的地方?12、：在平面直角坐标系XOy中，一次函数的图象与X轴交于点A,抛物线经过0、A两点.〔1〕试用含a的代数式表示b；〔2〕设抛物线的顶点为D,以D为圆4,DA为半径的圆被X轴分为劣弧和优弧两局部.假设将劣弧沿X轴翻折,翻折后的劣弧落在。D,它所在的圆恰与OD相切,求。D半径的长与抛物线的解析式；〔3〕设点B是满足〔2〕中条件的优弧上的一个动点,抛物线在X轴上方的局部上是否存在这样的点P,使得？假设存在,求出点P的坐标；假设不存在,请说明理由.13、如图,抛物线交轴于A.B两点,交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线,交轴于C.D两点.(lɔ求抛物线对应的函数表达式；〔2〕抛物线或在轴上方的局部是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.假设存在,求出点N的坐标；假设不存在,请说明理由；〔3〕假设点P是抛物线上的一个动点IP不与点A.B重合〕，那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上,请说明理由.14、四边形是矩形,，直线分别与交与两点,为对角线上一动点〔不与重合〕.(lɔ当点分别为的中点时，〔如图1〕问点在上运动时,点、、能否构成直角三角形？假设能共有几个,并在图1中画出所有满足条件的三角形.〔2〕假设,，为的中点，当直线移动时,始终保持，〔如图2〕求的面积与的长之间的函数关系式.15、如图1,抛物线的顶点为,且经过原点,与轴的另一个交点为.(lɔ求抛物线的解析式；〔2〕假设点在抛物线的对称轴上,点在抛物线上,且以四点为顶点的四边形为平行四边形,求点的坐标；〔3〕连接,如图2,在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？假设存在，求出点的坐标；假设不存在,说明理由.16、如图,抛物线经过原点。和X轴y 上另一点A,它的对称轴x=2与X轴交于点C,直线y=-2x-l经过抛物线ITCX上一点B〈一2,m>,且与y轴、直线x=2\ \分别交于点D、E.图？ (lɔ求m的值与该抛物线对应的函数关系式；12〕求证：①CB=CE；②D是BE的中占.I八，〔3〕假设P<x,y>是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,假设存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由.17、如图，抛物线与轴交于A、B两点1点A在点B左侧〕，与y轴交于点C,且当二O和二4时,y的值相等.直线y=4χ-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3,另一点是这条抛物线的顶点M.(lɔ求这条抛物线的解析式;〔2〕P为线段OM上一点,过点P作PQ⊥轴于点Q.假设点P在线段OM上运动1点P不与点O重合,但可以与点M重合〕，设OQ的长为t,四边形PQCO的面积为S,求S与t之间的函数关系式与自变量t的取值围；〔3〕随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值,请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值,请简要说明理由；〔4〕随着点P的运动,是否存在t的某个值,能满足PO=OC？如果存在,请求出t的值.试卷答题纸参考答案1、解：〔1〕「抛物线经过A〔-1,0〕、B〔0,3〕两点，.∙.解得：抛物线的解析式为：•••由，解得:•♦•••由.∙.D〔1,4〕〔2〕;四边形AEBF是平行四边形，.∙.BF=AE.设直线BD的解析式为：，如此VB〔0,3〕，D〔1,4〕.∙. 解得：.∙.直线BD的解析式为：当y=0时,x=-3 .∙.E〔-3,0〕，ΛOE=3,VA〔-1,0〕.∙.OA=1, .∙.AE=2 .∙.BF=2,.∙.F的横坐标为2, .∙.y=3,,F〔2,3〕；〔3〕如图，设Q,作PS⊥x轴,QR⊥x轴于点S、R,且P〔2,3〕，,AR=+1,QR=,PS=3,RS=2-a,AS=3ΛS=S+s-s∆PQA四边形PSRQ∆QRA∆PSA(i≈+1)×(-(3+2a+353x3.∙.s△PQA...当时，s^pqA的最大面积为，此时Q2、〔1〕设yjkx,由图①所示,函数yι=kx的图象过〔1,2〕，所以2=k∙1,k=2,故利润y1关于投资量X的函数关系式是y1=2x,•••该抛物线的顶点是原点，.∙.设y2=aχ2,由图②所示，函数y2=ax2的图象过〔2,2〕，.∙.2=a∙22,,故利润y2关于投资量X的函数关系式是：y2=x2;〔2〕设这位专业户投入种植花卉X万元（0≤x≤8],如此投入种植树木〔8一x〕万元,他获得的利润是Z万元,根据题意,得z=2〔81x〕+x2=x2-2x+16=〔x-2〕2+14,当x=2时，z的最小值是14,∙.∙0≤x≤8,.∙.当x=8时,z的最大值是32.3、〔1〕C〔4,1〕 2分〔2〕当∠MDR=45。时，t=2,点H〔2,0〕 2分当∠DRM=45。时，t=3,点H〔3,0〕 2分〔3〕S=—t2+2t〔0<tW4〕；〔1分〕S=t2—2t〔t〉4〕〔1分〕当CR〃AB时，t=,〔1分〕S=〔1分〕当AR〃BC时，t=,S=〔1分〕当BR〃AC时，t=,S=〔1分〕4、解：〔1〕作BF⊥y轴于F.因为A〔0,10〕，B〔8,4〕所以FB=8,FA=6所以〔2〕由图2可知，点P从点A运动到点B用了10秒.又因为AB=10,10÷10=1所以P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位.〔3〕方法一：作PG⊥y轴于G如此PG//BF所以,即所以所以因为OQ=4+t所以即因为且当时,S有最大值.方法二：当t=5时，OG=7,OQ=9设所求函数关系式为因为抛物线过点〔10,28〕,〔5,〕所以所以所以因为且当时,S有最大值.此时所以点P的坐标为〔〕.〔4〕当点P沿AB边运动时，∠OPQ由锐角一直角一钝角；当点P沿BC边运动时，∠OPQ由钝角一直角一锐角〔证明略〕，故符合条件的点P有2个.5、解：〔1〕作于点,如如下图,如此四边形为矩形．又在中,由勾股定理得：〔2〕假设与相互平分．由如此是平行四边形〔此时在上〕．即解得即秒时,与相互平分．〔3〕①当在上，即时，作于,如此即当秒时,有最大值为②当在上，即时，易知随的增大而减小．故当秒时,有最大值为综上,当时,有最大值为6、⑴.第（2）题 备用图（2）由题意得点与点'关于轴对称，,将’的坐标代入得，（不合题意,舍去〕，.,点到轴的距离为3.,,直线的解析式为，它与轴的交点为点到轴的距离为.二LXJNH22ΞΞ4 16（3）当点在轴的左侧时,假设是平行四边形,如此平行且等于,把向上平移个单位得到,坐标为,代入抛物线的解析式，得：（不舍题意，舍去〕，，当点在轴的右侧时,假设是平行四边形,如此与互相平分，*与关于原点对称,，将点坐标代入抛物线解析式得：，（不合题意,舍去〕，，.存在这样的点或,能使得以为顶点的四边形是平行四边形.7、解：〈1〉丁点A与点B关于直线x=—1对称，点B的坐标是<2,0》J点A的坐标是<—4,0>由tanNBAC=2可得0C=8ΛC<0,8>丁点A关于y轴的对称点为D■T■■川四届尼加CJVXaJLe匹+心的国.∙.点D的坐标是<4,0><2>设过三点的抛物线解析式为y=a<χ-2><χ-4>代入点。<0,8>,解得a=1.∙.抛物线的解析式是y=χ2-6x+8<3>:抛物线y=X2-6x+8与过点<0,3>平行于X轴的直线相交于M点和N点.∙.M<1,3>,N<5,3>,=4而抛物线的顶点为<3,-1>当y>3时S=4<y-3>=4y-12当一1≤y<3时S=4<3-y>=-4y+12<4>以MN为一边,P<x,y>为顶点，且当<x<4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大.∙.当x=3,y=-1时,h=4S=∙h=4×4=16.∙.满足条件的平行四边形面积有最大值168、解：<1>所以n=5时，面积最大值是<2>当时，有AC=CD=DB过C分别作X轴,y轴的垂线可得C坐标为<>代入得<3>当时,得设解析式为得，所以对称轴因为P<x,y>在上所以四边形PROQ的面积9、解：（D∙.∙A1∖A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,.∙.A1B1=,A2B2=,A3B3=设直线A1A3的解析式为y=kx+b..∙.解得.∙.直线A1A2的解析式为.ΛCB2=2×2-=ΛCA2=CB2-A2B2=-2=.<2>设A1、A2、A3三点的横坐标依次n-1、n、n+1.如此A1B1=,A2B2=n2-n+1,AB=<n＋1>2-〔n＋1〕＋1.33设直线A1A3的解析式为y=kx+b解得.∙.直线A1A3的解析式为.∙.CB2=n1n-1]-n2+=n2-n+.∙.CA=CB—AB=n2—nH—m+n—1=.<3>当a>0时,CA2=a；当a<0时,CA2=-a10、解：〔1〕由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2,知两点的坐标分别为．设直线所对应的函数关系式为．有解得所以,直线所对应的函数关系式为．〔2〕①点到轴距离与线段的长总相等.因为点的坐标为,所以,直线所对应的函数关系式为．又因为点在直线上,所以可设点的坐标为．过点作轴的垂线,设垂足为点,如此有．因为点在直线上,所以有．因为纸板为平行移动,故有,即．又,所以．法一：故,从而有．得,．所以．又有．所以,得,而,从而总有．法二：故,可得．故．所以．故点坐标为．设直线所对应的函数关系式为,如此有解得所以,直线所对的函数关系式为．将点的坐标代入,可得．解得．而,从而总有．②由①知，点的坐标为,点的坐标为∙．当时,有最大值,最大值为．取最大值时点的坐标为．11、解:<1>∙.∙OM=2.5,tan∠OCM=1,ΛC<2.5,0>,M<0,2.5>.设CD的解析式为y=kx+2.5<k≠o>,2.5k+2.5=0,k=一1..∙.y=―x+2.5.<2>>B∖E关于对称轴对称，.∙.B<x,>.又TB在y=—x+2.5上，.∙.x=—1..∙.B<T,>.<3>抛物线y=经过B<—1,>,E<3,>,••∙∖y=,令y=o,如此=0,解得或.所以沙包距围墙的距离为6米.12、〔1〕解法一：T一次函数的图象与X轴交于点A.∙.点A的坐标为［4,0)T抛物线经过0、A两点解法二：T一次函数的图象与X轴交于点A.∙.点A的坐标为［4,0)T抛物线经过0、A两点.∙.抛物线的对称轴为直线(2)解：由抛物线的对称性可知，DO=DA.∙.点O在。D上，且NDOA=NDAO又由(1)知抛物线的解析式为.∙.点D的坐标为［)①当时,如图1,设。D被X轴分得的劣弧为,它沿X轴翻折后所得劣弧为,显然所在的圆与。D关于X轴对称,设它的圆心为D'.∙.点D'与点D也关于X轴对称丁点O在。D'上,且。D与。D'相切.∙.点。为切点 .∙.D'O⊥OD.∙.∠DOA=∠D'OA=45°...△ADO为等腰直角三角形.∙.点D的纵坐标为-2.∙.抛物线的解析式为②当时,同理可得：抛物线的解析式为综上，OD半径的长为,抛物线的解析式为或〔3〕解答：抛物线在X轴上方的局部上存在点P,使得设点P的坐标为〔x,y〕，且y〉0① 当点P在抛物线上时〔如图2〕•••点B是OD的优弧上的一点过点P作PE⊥x轴于点E由解得：〔舍去〕.∙.点P的坐标为②当点P在抛物线上时〔如图3〕同理可得,由解得：〔舍去〕.∙.点P的坐标为综上,存在满足条件的点P,点P的坐标为:或二、计算题13、解：〔1〕令抛物线向右平移2个单位得抛物线,.抛物线为即.〔2〕存在.令抛物线是向右平移2个单位得到的,在上,且又.四边形为平行四边形.同理,上的点满足四边形为平行四边形,,即为所求.〔3〕设点P关于原点得对称点且将点Q得横坐标代入，得点Q不在抛物线上.14、解：〔1〕能,共有4个．点位置如如下图：〔2〕在矩形中『ABC=BC-AB,．,．在中,...△BEF^△BAC..∙.S^aEP=S.CPF=CP・FC・sin∠ACB.,.15、解：〔1〕由题意可设抛物线的解析式为.抛物线过原点,..抛物线的解析式为,即.〔2〕如图1,当四边形是平行四边形时,.由,得,,点的横坐标为.将代入,得,；根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点,使得四边形是平行四边形,此时点的坐标为,当四边形是平行四边形时,点即为点,此时点的坐标为．・・・・・〔3〕如图2,由抛物线的对称性可知：,．假设与相似,必须有．设交抛物线的对称轴于点,显然,直线的解析式为．由,得,．．过作轴,在中,,,．．．与不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件