江海名师零距离二轮数学(大题提高版)

专题一解决集合与常用逻辑用语问题【典题导引】例1.设函数的定义域为，函数的值域为.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.例2.设函数，且曲线在点处的切线方程为其中是自然对数的底数．（1）求实数、的值；（2）设集合，．①求集合；②若，求实数的取值范围．例3．已知，函数（），（）．（1）求和的值域；（2）若，，使得成立，试求的取值范围．变题：是否存在实数，使得，成立？例4.设正项数列的前n项和为，，数列的前n项和为，且．（1）求证：数列为等比数列；（2）证明：“数列，，成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“，且”．专题二解决函数的图象与性质问题【典题导引】例1.已知函数为上的偶函数．（1）若时，．①求时，的解析式；②若函数有个零点，求实数的取值范围；（2）设，函数在上单调递增，试比较与的大小．例2.已知二次函数和函数．（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；（2）若方程有两个不等的实根，求证：函数在上是单调函数．例3.（2015上海）已知函数，其中为实数.（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.例4.设，函数，当时，的值域为，且.（1）①若,求的最小值；②若，，求的值；（2）若，且，求的取值范围.专题三解决基本初等函数问题【典题导引】例1.已知函数(且)．（1）当变化时，函数的图象恒过定点，试求定点的坐标；（2）若在区间上的最大值为，求的值．例2.设，函数，．（1）当时，求函数的最大值；（2）若，使得，求实数m的取值范围．例3.设函数.（1）若为偶函数，求实数的值；（2）设，求函数的最小值.变式：求函数的最小值．例4.已知函数且的图象经过点和．（1）求函数的解析式；（2）求函数的最小值；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．专题四解决利用导数研究函数问题（1）【典题导引】例1．设函数，其中a为实数．（1）若a=1，求证：恒成立；（2）若曲线上任意两点的连线的斜率都小于4，求实数a的最小值．例2.设函数，．（1）当时，求证：；（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．例3．(2013山东)已知函数．（1）设，求的单调区间；（2）设，且对任意，．试比较与的大小．例4.已知其中是自然对数的底数．（1）求证：函数存在极小值；（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．专题五解决利用导数研究函数问题（2）【典题导引】例1.设函数，，且．（1）若函数在区间上是单调性相同的单调函数，求实数的取值范围；（2）求证：时，函数存在两个零点．例2.已知函数，，其中是自然对数的底数．（1）求证：；（2）若关于x的不等式有解，求实数的取值范围.例3.已知函数在点处的切线为．（1）求实数的值；（2）是否存在实数，当时，函数的最小值为？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）若，求证：．例4.设函数．（1）求函数的单调区间；（2）设函数存在两个极值点，．①求实数的取值范围；②若其中是自然对数的底数，求证：．专题六解决三角恒等变换的有关问题【典题导引】例1.已知.（1）当时，若函数是偶函数，求的值；（2）当时，若，且，求的值．例2.在中，角的对边分别为，且．（1）求的值；（2）若，求的值．例3.已知,且．求的值；（2）求的值．例4.已知，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求的值．专题七解决三角函数的图象与性质问题【典题导引】例1．（2015湖北）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值.例2.（2015南通三模）已知函数（其中，，为常数，且，xyO22xyO22（例2图）（1）求函数的解析式；（2）若，求的值．例3．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的值域．例4．已知函数是偶函数，且图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值．专题八解决解三角形和正余弦定理应用问题【典题导引】例1．如图，已知中，，，，，且．（例1图）（1）求的大小；（例1图）（2）求的长． 例2．在中，角所对的边分别为，且．（1）求的大小；（2）若，求的取值范围；（3）若，的平分线，求．例3.（2016四川）在中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（1）证明：；（2）若，求．例4．在中，已知．（1）求的大小；（2）若的面积，求周长的最小值；（3）设角的对边依次为，若，且是锐角三角形，求的取值范围．专题九解决平面向量及应用问题【典题导引】例1.如图，在中，．（1）若，求，的值；ABCD（例1图）（2）若，，，求的值．ABCD（例1图）例2．设向量，，．（1）求的值；（2）若，求证：；（3）若，求的值．例3．如图，点是半径为，圆心角为的圆弧AB上的点．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求的（例3图）取值范围．（例3图）例4.在中，已知．（1）求角的大小；（2）设O为的外心（三角形各边中垂线的交点），当，的面积为时，求的值；（3）设为的中线，当时，求长的最大值．专题十解决不等式的有关问题【典题导引】例1．设函数．（1）若不等式的解集为，求、的值；（2）若，，且，求的最小值．例2．（1）在平面直角坐标系中，设是圆上相异三点，若存在正实数，使得，则的取值范围是．（2）已知正数满足：则的取值范围是．例3.（2016江苏改编）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值．例4.已知，，，且（1）当时，求不等式的解集；（2）当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间的长度定义为)，试求的最大值；（3）是否存在这样的，使得当时，?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．专题十一解决等差数列与等比数列问题【典题导引】例1．（2016天津）已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等比中项.（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，求证：例2．设数列满足，，，为常数．（1）若成等比数列，且，求的值；（2）设，，求证：数列为等差数列；（3）设，求数列的前项和．例3．设各项均为正数的数列的前项的和为，且满足，．（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）若，，成等比数列，其中，，求的值．例4.（2015南通一模）设数列的前项和为．若，则称是“紧密数列”．（1）若数列的前项和，证明：是“紧密数列”；（2）设数列是公比为的等比数列．若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围．专题十二解决数列综合应用问题【典题导引】例1.已知数列是等比数列．（1）设，．①若，，求实数的值；②若在与之间插入个数，使得成等差数列，求的值；（2）若数列是公差不为的等差数列，，，,其中是某个正整数，且，求证：数列中的每一项都是数列中的项．例2.已知数列满足，，．（1）当时，求证：数列是等比数列；（2）当时，求数列前项和；（3）若，求实数的值．例3.（2015四校联考）设数列的前项和为，且，.（1）若数列是等差数列，求数列的通项公式；（2）设，求证：数列是等差数列.例4.（2014江苏）设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．（1）若数列的前项和，证明：是“数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．专题十三解决直线与圆及其应用问题【典题导引】例1.已知圆:.（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得取得最小值时点的坐标.例2.在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．（1）求圆的方程；（2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程．例3.已知圆经过点，，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）过点作倾斜角互补的两条相异直线，与圆分别交于点、，求证：直线的斜率为定值；（3）设点在直线上，若圆上存在点、满足，求的取值范围．例4.（2016江苏）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．（例（例4图）专题十四解决圆锥曲线与方程问题【典题导引】例1．平面直角坐标系中，设双曲线，抛物线．（1）若双曲线的一条渐近线方程为，两准线之间的距离为，求双曲线的方程；（2）若双曲线的渐近线与抛物线交于点，且的垂心为的焦点，求双曲线的离心率．例2．如图，是椭圆上的三点，其中点是椭圆的右顶点，过椭圆的中心，且满足，．（1）求椭圆的离心率；（2）若直线被的外接圆所截得弦长为，求椭圆方程．（例2图）（例2图）例3.（2015南通一模）如图，在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，且是边长为的等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，记、的面积分别BF1CA（例3图）F2为、BF1CA（例3图）F2例4．（2015重庆）如图，椭圆的左、右焦点分别为,，且过的直线交椭圆于两点，且.（1）若，，求椭圆的标准方程；(例4图)（2）若，且，试确定椭圆离心率的取值范围.(例4图)专题十五解决解析几何中的综合问题【典题导引】例1．（2014江苏）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连结．（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；（例1图）（2）若（例1图）例2．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于（例2图）点，，若，求直线的方程．（例2图） 例3．已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设的中点分别为.（例3图）（1）求椭圆的方程；（例3图）（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．例4．在平面直角坐标系中，椭圆，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点，直线交椭圆于另一点．（1）若直线的斜率为，求直线的斜率；（2）若，，求的面积；（例4图）（3）是否存在定点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出（例4图）该定值；若不存在，请说明理由.专题十六解决立体几何中的有关问题【典题导引】例1．(2016江苏)如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，点F(例1图)在侧棱B1B上，且，．(例1图)（1）求证：直线平面；（2）求证：平面B1DE⊥平面A1C1F．例2.如图，在五面体中，四边形是矩形，平面．（1）求证：；CEABDF（例2图）CEABDF（例2图）例3.如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，是中点，是中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求证：．（例（例3图）例4.如图，四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点，．（1）求证：；（2）若菱形的边长为，，求四面体的体积；（3）若点在线段上，且，能否在棱上找到一点，使平面（例4图）平面？并证明你的结论．（例4图）专题十七应用题（1）【典题导引】例1．如图，某地有一条东西走向的公路，现经过公路上的处铺设一条南北走向的公路．施工中发现处正北百米的处有一古迹，为了保护古迹，决定以为圆心，百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路、，欲再新建一条公路，点、分别在公路、上，且要求与圆相切（切点为）．（1）设百米，试利用∽，将新建公路的长表示为的函数；(例1图)（2）试确定点的位置，使新建公路的长最短．(例1图)例2．如图，、是海岸线上相距的两个海边小城，圆是半径为的某海岛小城的环岛路，为圆上的物资中转站，其中，，且．为使中转站的物资运往城，计划从地沿环岛路至某地，再沿水路至海岸线上，最后沿海岸线至城修建运输线，其中,在线段上．（1）设，求运输线总长度关于的函数；（例2图）（2）求运输线总长度的最小值．（例2图）例3．如图，、是海岸线、上的两个码头，为海中一小岛，在水上旅游线上．测得，，到海岸线、的距离分别为，．（1）求水上旅游线的长；（2）海中，且处的某试验产生的强水波圆，生成小时时的半径为．若与此同时，一瘦游轮以的速度自码头开往码头，试研究强水波是否波及游轮的航行？（例3图）O（例3图）OM例4．某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为个单位的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足，其中当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克/升）且不高于（毫克/升）时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂质量为,试问自来水达到有效净化一共可持续几天?（2）如果投放的药剂质量为，为了使在天（从投放药剂算起包括第天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的取值范围.专题十八应用题（2）【典题导引】例1．已知海岛在海岛的北偏东的方向上，两岛相距海里．小船从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛移动，同时小船从海岛出发，沿北偏西方向以海里/小时的速度移动．（1）求小船航行过程中，两船相距的最近距离；（例1图）（2）求小船处于小船的正东方向时，小船航行的时间．（例1图）例2.如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中，是的中点，（例2图），设，且．（例2图）（1）若，求的长；（2）求长的最小值． 例3．如图，街道长，且与公路垂直，一端到公路、的距离分别为，，，为的中点，街道段有多处重要文物．现从公路上距离为的地修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园区．（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．①求点的坐标；②求公路的长；（2）为保护街道段的重要文物，规划设立一个圆形保护区，保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且和到该圆上任意一点的距离均不少于．当多长时，圆形保护区的面积最大？（例3图）（例3图）·OM·例4.水渠是地面上人工开凿的水道，用于引江河之水灌溉农田．某果园现有的旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图1），渠宽为，渠深为．现计划对现有的旧水渠进行改造．（1）为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为如图所示的等腰梯形的新水渠（、在抛物线弧上，），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少（即等腰梯形的面积最大）；（2）考虑到果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖成横断面为如图3所示的抛物线弧的外切等腰梯形的新水渠（点、在线段上），要使所挖土的土方量最少（即等腰梯形的面积最小），请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．（例4图1）（例4图1）24（例4图3）（例4图3）（例4图2）（例4图2）例5.某软件公司新开发一款游戏软件，该软件按游戏的难易程度共设置若干关的闯关游戏，为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干游戏币，设第关奖励个游戏币，且满足，该软件公司提供了两种奖励方案：①从第二关开始每闯过一关奖励的游戏币数是前一关的q倍；②从第二关开始每闯过一关多奖励d游戏币().游戏规定：闯关者须在闯关前任选一种奖励方案.（1）若选择第①种方案，设第关到第关奖励的总游戏币为，即，且，求q的取值范围；（2）若选择第②种方案，且设置第1关到第k关奖励的总游戏币数为100(即)时获特别奖励，为了增加获特别奖的难度，如何设置d的取值，使得k最大，并求k的最大值.专题十九解决概率统计与算法问题【典题导引】例1.（2015安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问名职工，根据这名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为.（1）求频率分布图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于的概率；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取人，求此人评分都在的(例1图)概率.(例1图)(例2图)例2.如图所示的算法中，令，若在集合(例2图)中，给取一个值，输出的结果是．（1）求值所在的范围；（2）求函数有个零点的概率．例3.班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定个男生和个女生来参与，把个人分别编号为，其中号是男生，号是女生，将每个人的编号分别写在张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．（1）为了选出人来表演双人舞，连续抽取张卡片，求取出的人不全是男生的概率；（2）为了选出人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．例4.（2015南通二模）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班名学生参加测试的结果如下：等级优良中不及格人数（1）从该班任意抽取名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的名男生记为，，，名女生记为，．现从这人中任选人参加学校的某项体育比赛．①写出所有等可能的基本事件；②求参赛学生中恰有名女生的概率．专题二十数学填空题解题突破【典题导引】（一）直接求解法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法．它是解填空题的常用基本方法．使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法．例1.（1）(2015江苏)设复数满足（是虚数单位），则的模为．（2）已知是奇函数，且，若，则．（3）已知向量，，则的最大值与最小值之和为．（4）已知函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是．（二）特殊化法当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论．一般性存在于特殊性之中，只要是求一般性的问题，绝大多数可以用特殊化法来解决．例2.（1）已知函数为奇函数，则函数上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为．（2）在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的值为__________．（3）设，若时，均有，则．（4）如图，在平行四边形中，，垂足为，且，则=例2（4）图.例2（4）图（5）观察下列等式： ①；②；③；④；⑤．可以推测，．（6）已知二次函数有零点与，设，，，则常数的值为

．（7）椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是

．（三）数形结合法借助图形的直观性，通过数与形的关系，迅速作出判断的方法称为数形结合法．文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形．例3.（1）已知函数，，的零点依次为，则由小到大的顺序是________．（2）满足条件的三角形的面积的最大值为．（3）若方程仅有一个实根，那么的取值范围是________．（四）构造模型法例4.（1）已知函数的最大值为，最小值为，则．（2）在四面体中，，，，则该四面体的体积．（3）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为．（4）（2015泰州一模）已知实数满足，，则的取值范围为．专题二十一运用分类讨论的思想方法解题【典题导引】例1.（由数学概念、运算引起的分类讨论）函数若，则的所有可能值的集合为______．训练1．（1）若函数在上是单调增函数，则实数的取值范围是________．（2）若集合，则实数的值的集合是________．（3）已知，求函数在区间上的最大值．例2.（问题中的条件是分类给出的引起的分类讨论）设是各项均不为零的项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列．（1）当时，求的数值；（2）求的所有可能值．例3．（由图形或图象引起的分类讨论）将一张长，宽的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为，，其中．记折痕长为．（1）若，求的最大值；（2）若，求的取值范围．例4．（问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论）(2016新课标Ⅰ)已知函数有两个零点.（1）求a的取值范围；（2）设是QUOTEQUOTE的两个零点，证明：.专题二十二运用数形结合的思想方法解题【典题导引】例1.（数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题）（1）函数的值域为．（2）若实数、满足条件，则的取值范围是_______.（3）的最大值为．（4）若实数、、、满足，则的最小值为．（5）（2015泰州一模）在中，角所对的边分别为，若且，则面积的最大值为．例2.（数形结合解决隐含轨迹问题）（1）已知，则与的夹角的取值范围为．（2）已知是平面上三个不同的点，若存在实数，使得，则的取值范围是．（3）设是等腰腰的中点，若，则面积的最大值为．例3．已知函数，，其中是自然对数的底数．（1）若函数有零点，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有两个相异实根，求实数的取值范围．例4.（2010江苏改编）设是定义在区间上的函数，其导函数为．如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质．已知函数具有性质，给定，，设m为实数，，，且，，若，求的取值范围．专题二十三运用函数与方程的思想方法解题【典题导引】例1.如图，已知椭圆，，为椭圆上一点，过作的两条切线、，、分别为切点．（1）求的取值范围；（2）把表示成的函数，并求出的最大值、最小值．（例1图）（例1图）例2.已知函数，．（1）求函数的最大值；（2）设，证明：．例3．已知等比数列是递增数列，，，数列满足，且．（1）证明：数列是等差数列；（2）若对任意，不等式总成立，求实数的最大值．例4．已知函数，其中是自然数的底数，．（1）若在上是单调增函数，求的取值范围；（2）当时，求整数的所有值的集合，使方程在上有解．专题二十四运用转化与化归思想方法解题【典题导引】例1.已知函数且的图象经过点和．（1）求函数的解析式；（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．例2.设的内角所对的边长分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）若，边上的中线的长为，求的面积．例3.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若点、都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上．①求直线的斜率；②求面积的最大值．例4.已知数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由；（3）证明：一定存在满足条件的正整数，，使得成等差数列，并求出正整数，满足的关系．专题二十五附加题归类分析及应对策略（一）——矩阵与变换与坐标系与参数方程【典题导引】例1.已知矩阵，，曲线在矩阵对应的变换作用下得到曲线，曲线在矩阵对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程．思考：设，求．例2.已知矩阵的一个特征值所对应的一个特征向量，求矩阵的逆矩阵．思考：已知矩阵不存在逆矩阵，则实数________.例3.在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程(为参数)，若圆与圆相切，求实数的值．例4.(2016新课标Ⅱ)在直线坐标系中，圆C的