考点15 函数y=Asin（wx＋￠）的图象及三角函数模型的简单应用

考点15函数y=Asin(wx+)的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)在区间π2③f(x)在[-π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是 ()A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③【解析】选C.因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确.当π2<x<π时,f(x)=2sinx,它在区间π2,π单调递减,故②错误.当0≤x≤π时,f(x)=2sinx,它有两个零点:0,π;当-π≤x<0时,f(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,它有一个零点:-π,故f(x)在[-π,π]有3个零点:-π,0,π,故③错误.当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sinx;当x∈[2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sinx-sinx=0,又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确.综上所述,①④正确【光速解题】画出函数f(x)=sin|x|+|sinx|的图象,由图象可得①④正确,故选C.2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T12)设函数f(x)=sinωx+π5(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在0,④ω的取值范围是125其中所有正确结论的编号是 ()A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④【命题意图】本题考查三角函数y=Asinωx+φ的图象与性质,【解析】选D.①若f(x)在[0,2π]上有5个零点,可画出大致图象,由图1可知,f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,故①正确.②由图1、图2可知,f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点,故②错误.④当f(x)=sinωx+π5=0时,ωx+π5=kπ(所以x=kπ因为f(x)在[0,2π]上有5个零点.所以当k=5时,x=5π-π当k=6时,x=6π-解得125≤ω<2910,故④③函数f(x)=sinωx+-π2+2kπ<ωx+π5<π2+2kπ(k2k-710π取k=0,当ω=125时,单调递增区间为-724π<x<1当ω=2910时,单调递增区间为-729π<x<3综上可得f(x)在0,π10上单调递增.故所以结论正确的编号有①③④.3.(2019·北京高考文科·T8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 ()A.4β+4cosβ B.4β+4sinβC.2β+2cosβ D.2β+2sinβ【命题意图】本题以直线与圆,三角函数作为问题背景,求面积的最值,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:大.【解析】选B.阴影区域面积最大时,也即△PAB面积最大时,AB不动,P动,即底AB是定值,高为点P到AB的距离最大时,面积最大.此时,点P在优弧AB的中点上,如图所示.设圆心为O,连接OA,OB,OP,因为∠APB=β,所以∠AOB=2β,S扇形AOB=12×2β×22=4βS△AOP=S△BOP=12OA·OPsin∠AOP=12×2×2sin(π-β)=2sin所以阴影区域面积最大为4β+4sinβ.4.(2019·天津高考理科·T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且gπ4=2,则f3π8= A.-2 B.-2 C.2 D.2【命题意图】本题考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与其参数A,ω,φ之间的关系.【解题指南】只需根据函数性质逐步得出A,ω,φ的值即可.【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=Asinφ=0,由|φ|<π可得φ=0;把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=Asin12ωx,g(x)的最小正周期为2π,可得ω=2,由gπ4=2,可得A=2,所以f(x)=2sin2x,f3π8=2sin5.(2019·天津高考文科·T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若gπ4=2,则f3π8= A.-2 B.-2 C.2 D.2【命题意图】本题考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与其参数A,ω,φ之间的关系.【解题指南】只需根据函数性质逐步得出A,ω,φ的值即可.【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=Asinφ=0,由|φ|<π可得φ=0;又因为f(x)的最小正周期为π,可得ω=2,所以y=f(x)=Asin2x,把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=Asinx,由gπ4=2,可得A=2所以f(x)=2sin2x,f3π8=2sin3π二、填空题6.(2019·全国卷Ⅰ文科·T15)函数f(x)=sin2x+3π2-3cos【命题意图】本题首先应用诱导公式,转化得到二倍角的余弦,进一步应用二倍角的余弦公式,得到关于cosx的二次函数.题目有一定的综合性,注重了基础知识、数学式子的变形及运算求解能力的考查.【解析】f(x)=sin2x+3π2-3cosx=-cos=-2cos2x-3