考点41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

考点41曲线与方程、圆锥曲线的综合应用填空题1.(2018·北京高考理科·T14)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2-y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的综合应用,意在考查数形结合思想与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.【解析】椭圆,双曲线都关于x轴、y轴对称,所以只需考虑第一象限内的情况.记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P,椭圆左焦点为Q,右焦点为F,由已知,△OPF为正三角形,边长记为2,则高为3,所以椭圆半焦距为2,2a=PQ+PF=23+2,a=3+1,离心率23+1=3双曲线N的一条渐近线斜率为nm=tan60°=3e2=m2+n2m2答案:3-12二、解答题2.(2018·全国Ⅲ高考文科·T20)(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点.线段AB(1)证明:k<-12(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:2=+.【命题意图】考查圆锥曲线中的求曲线方程、最值问题,以及定值问题,意在考查知识的运用能力、推理能力、运算能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由已知,l的方程为y-m=k(x-1),即y=kx-k+m,由y消去y得(4k2+3)x2+8k(m-k)x+4(m-k)2-12=0,(*)4k2+3≠0,Δ>0,由根与系数的关系得,x1+x2=-8k因为线段AB的中点为M(1,m)(m>0),所以x1+x2=2,解得m=-34所以k<0,方程(*)变为(4k2+3)x2-2(4k2+3)x+94由判别式Δ>0得k2>14,又k所以k<-12(2)设P(xp,yp),因为++=0,+=2,所以=-2,易知F(1,0),=(0,m),所以=(xp-1,yp)=(0,-2m),所以xp=1,又因为点P在椭圆C上,所以3xp2+4所以|yp|=322||=2|yp|=3.因为点A在椭圆C上,所以3x12+4y12=12,y12所以||2=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+3-3x124=14||=12(4-x1),同理,||=12(4-x2),所以||+||=12(4-x1)+12(4-x2)=12[8-(x1+x2)]=1所以2||=||+||.3.(本小题14分)(2018·北京高考文科·T20)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线(1)求椭圆M的方程.(2)若k=1,求|AB|的最大值.(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q-74,1【命题意图】考查圆锥曲线中的求曲线方程,最值问题,以及定值问题,意在考查知识的运用能力,推理能力,运算能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】(1)由题意得2c=22,所以c=2,又e=ca=63,所以a=3,所以b2=a2-c所以椭圆M的标准方程为x23+y2(2)设直线AB的方程为y=x+m,由y=x+m,x23+y2=1则Δ=36m2-4×4(3m2-3)=48-12m2>0,即m2<4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-3m2,x1x2=则|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·易得当m2=0时,|AB|max=6,故|AB|的最大值为6.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则x12+3y12=3①,x2又P(-2,0),所以可设k1=kPA=y1x1+2,直线PA的方程为y=k由y=k1(x+2),x23+y2=1则x1+x3=-12k121+3k12,即