考点24 数列求和及综合应用

考点24数列求和及综合应用一、填空题1.(2018·江苏高考·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}.记Sn为数列{an}的前n项和,则使得Sn>12an+1成立的n的最小值为.

【解析】B={2,4,8,16,32,64,128…},与A相比,元素间隔大,所以从Sn中加了几个B中元素考虑,1个:n=1+1=2S2=3,12a3=362个:n=2+2=4S4=10,12a5=603个:n=4+3=7S7=30,12a8=1084个:n=8+4=12S12=94,12a13=2045个:n=16+5=21S21=318,12a22=3966个:n=32+6=38S38=1150,12a39=780发现21≤n≤38时Sn-12an+1与0的大小关系发生变化,以下采用二分法查找:S30=687,12a31=612,所以所求n应在22~29之间,S25=462,12a26=492,所以所求n应在25~29之间,S27=546,12a28=540,所以所求n应在25~27之间,S26=503,12a27=516,因为S27>12a28,而S26<12a27,所以使得Sn>12an+1成立的n的最小值为27.答案:27二、解答题2.(本小题13分)(2018·北京高考文科·T15)设{an}是等差数列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2.(1)求{an}的通项公式.(2)求ea1+ea2+【命题意图】考查求数列的通项公式与前n项和,以及对数运算,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、数据分析的数学素养.【解析】(1)由已知,设{an}的公差为d,则a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln2,又a1=ln2,所以d=ln2,所以{an}的通项公式为an=ln2+(n-1)ln2=nln2(n∈N*).(2)由(1)及已知,ean=enln2=(eln2)n=2所以ea1+ea2+…+ean=21+22+…+2n=2(1-23.(本小题满分13分)(2018·天津高考理科·T18)设{an}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式.(Ⅱ)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*),(ⅰ)求Tn;(ⅱ)证明∑k=1n(Tk+bk【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.【解析】(I)设等比数列{an}的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故an=2n-1.设等差数列{bn}的公差为d,由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n.所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,数列{bn}的通项公式为bn=n.(II)(ⅰ)由(I),有Sn=1-2n1-2=2n-1,故T∑k=1n2k-n=2×(1-2n(ⅱ)因为(Tk+k·2k+1(所以,∑k=1n(Tk+bk+2)b4.(本小题满分13分)(2018·天津高考文科·T18)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(Ⅰ)求Sn和Tn;(Ⅱ)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.【解题指南】(Ⅰ)利用等差、等比数列的公式,结合题设条件,即可求解;(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论,将题设代数式化简,利用方程思想求解.【解析】(I)设等比数列{bn}的公比为q,由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故bn=2n-1.所以Tn=1-2n1设等差数列{an}的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n,所以Sn=n((II)由(I),知T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2.由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得n(n+1)2+2n+1-n-2=整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.所以n的值为4.5.(本小题满分16分)(2018·江苏高考·T20)设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{bn}是首项为b1,公比为q的等比数列.(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围.(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,m2],证明:存在d∈R,使得|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示)【解析】(1)由条件知:an=(n-1)d,bn=2n-1.因为|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1,2,3,4均成立,即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得73≤d≤5因此,d的取值范围为73(2)由条件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1.若存在d,使得|an-bn|≤b1(n=2,3,…,m+1)成立,即|b1+(n-1)d-b1qn-1|≤b1(n=2,3,…,m+1),即当n=2,3,…,m+1时,d满足qn-1-2n-1b因为q∈(1,m2],则1<qn-1≤qm≤2,从而qn-1qn-1n-1b1>0,对n=2,3,因此,取d=0时,|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立.下面讨论数列qn-1-2n-1的最大值和数列qn①当2≤n≤m时,qn-2n-qn当1<q≤21m时,有qn≤qm≤2,从而n(qn-qn-1)-qn因此,当2≤n≤m+1时,数列qn-故数列qn-1②设f(x)=2x(1-x),当x>0时,f'(x)=(ln2-1-xln2)2x<0,所以f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1.当2≤n≤m时,qnnqn-1n-因此,当2≤n≤m+1时,数列qn-故数列qn-1因此,d的取值范围为b6.(2018·江苏高考·T23)(本小题满分10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…in,如果当s<t时,有is>it,则称(is,it)是排列i1i2…in的一个逆序,排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2,记fn(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2),f4(2)的值.(2)求fn(2)(n≥5)的表达式(用n表示).【解析】(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-1.为计算fn+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.当n≥5时,fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2因此,n≥5时,fn(2)=n27.(2018·浙江高考T20)(本题满分15分)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.(Ⅰ)求q的值.(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.【解析】(Ⅰ)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20得8q+因为q>1,所以q=2.(Ⅱ)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}的前n项和为Sn.由cn=S解得cn=4n-1.由(Ⅰ)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)·12n-1,故bn-bn-1=(