第8节 直线与圆锥曲线

第八章平面解析几何第8节直线与圆锥曲线1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有______、______、______；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C______；Δ＝0时，直线l与曲线C______；Δ＜0时，直线l与曲线C______.②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的________平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的________平行或重合.相交相切相离相交相切相离渐近线对称轴2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝

＝

或|AB|＝

＝

，k为直线斜率且k≠0.[常用结论]1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)√诊断自测√××解析(3)当“直线l与双曲线C只有一个公共点”成立时，则与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点或者直线l与双曲线相切有一个交点.(4)直线与抛物线的对称轴平行时也只有一个交点.D解析结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有4条，过点(0，1)且平行于渐近线的两条直线以及过点(0，1)且与双曲线相切的两条直线.解析由题意得a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线l的方程为y＝－x＋1，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一直线与圆锥曲线位置关系的判断解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(2)有且只有一个公共点.在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.感悟提升D解析法一由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，

消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴m≥1－5k2恒成立，∴m≥1且m≠5.

(2)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是__________________.设直线与双曲线的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，考点二弦的有关问题角度1焦点弦例2

(2023·武汉质检)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与

C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为____________.连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.

如图，不妨设A(0，－b)，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，角度2中点弦x＋2y－3＝0解析法一易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，即x＋2y－3＝0.

法二易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).角度3一般弦(1)求椭圆的方程；

解①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件.②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.1.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.2.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.感悟提升C

解析根据双曲线的定义，有|AF2|－|AF1|＝2a，①|BF1|－|BF2|＝2a，②由于△ABF2为等边三角形，因此|AF2|＝|AB|＝|BF2|，①＋②，得|BF1|－|AF1|＝4a，则|AB|＝|AF2|＝|BF2|＝4a，|BF1|＝6a，又∠F1BF2＝60°，即7a2＝c2＝7，解得a2＝1，则b2＝c2－a2＝6，

(2)以A(2，1)为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为________________.解析设A(2，1)是弦P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，4x－y－7＝0∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，

∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y－1＝4(x－2)，整理得4x－y－7＝0.∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x－y－7＝0.考点三圆锥曲线的切线问题解设与直线l：4x－5y＋40＝0平行的直线l′：4x－5y＋m＝0，当直线l′与椭圆相切于A点时，此时A到l距离最小；当直线l′与椭圆相切于B点时，此时B到l的距离最大.消去y得25x2＋8mx＋m2－225＝0，

Δ＝64m2－100(m2－225)＝0，∴m＝±25.感悟提升B即x－y－4＝0，切线l的斜率为1，与直线l垂直的直线的斜率为－1，过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0.

(2)过点P(2，2)作抛物线y2＝2x的切线l，切线l在y轴上的截距为________.解析可知抛物线的切线l为2y＝x＋2，1所以切线l在y轴上截距为1.考点四直线与圆锥曲线的综合

解由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48＞0，

(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.感悟提升a2＋b2＝c2，③由①②③可得a2＝5，b2＝4，

(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围.解由题意知直线l不过点A.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略).整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，化简得10k2＝8－9m，⑤FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升3A【A级

基础巩固】解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.B由Δ>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.D又c＝3，a2＝b2＋c2，联立解得a2＝18，b2＝9.BD

ABD所以直线与双曲线只有一个公共点，C错误；BD对于B，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，B正确；解析由题意得b＝1，c＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，Δ＝8(k2＋1)>0恒成立.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，又c2＝a2＋b2＝7，解得a2＝2，b2＝5，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.解设A(xA，yA)，B(xB，yB)，解由(1)知，F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意得直线AB的方程为y＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.C【B级

能力提升】解析由已知可得a＝8，b＝4，当弦与x轴重合时，弦长最长为2a＝16，则弦长的取值范围为[4，16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦