飞行力学第四章

第四章

刚性飞行器运动方程

内容

引言4.1刚性飞行器动力学方程4.2刚性飞行器运动学方程4.3刚性飞行器运动方程讨论＊4.4运动方程组线性化4.5纵向小扰动运动方程组4.6横航向小扰动运动方程组小结

引言

稳定性指飞行器在受到外界瞬时扰动后，是否具有自动地恢复到原来平衡状态的能力。操纵性指飞行器对驾驶员操纵或舵面指令输入的响应，即从一种飞行状态过渡到另一种飞行状态的能力.性能质点动力学系统飞行品质质点系动力学系统研究内容

操纵性与稳定性：研究飞机在外力和外力矩作用下运动参数的变化特性。

引言（续）

假设1、刚性假设2、静止地球与平面大地假设3、标准大气假设4、忽略旋转部件及液体晃动的影响。运动方程刚体六自由度数学模型。包括六个动力学方程：其中三个用来描述质心的平动，三个描述飞行器绕质心的转动。另外，还有六个运动学方程，分别用来描述飞行器在空间的位置和姿态。

引言（续）

(1)应用牛顿第二定律、动量矩定律和运动学原理，导出飞行器相对于动坐标轴系的一般运动方程组；(2)根据小扰动假设，将非线性运动方程组线性化；(3)根据某些简化条件，将纵向运动和横侧运动分开，得到飞行器的纵向和横侧运动方程组。本章主要内容4.1刚性飞行器动力学方程1、任意动坐标系中质心运动方程基本原理：牛顿第二运动定律速度和角速度在动坐标系的投影

4.1.1飞行器质心移动的动力学方程速度的微分单位矢量的微分绝对加速度其中根据动力学方程得根据可得标量方程组为：质心动力学方程速度分量2、航迹坐标系中的质心动力学方程角速度分量1、推力外力分量2、气动力3、重力矢量形式方程组地面轴系机体轴系气流轴系航迹轴系,

,,

,

(无风时)标量形式方程组速度分量3、机体坐标系中的质心动力学方程角速度分量1、推力外力分量2、气动力3、重力矢量形式方程组地面轴系机体轴系气流轴系航迹轴系,

,,

,

(无风时)标量形式方程组根据速度之间的关系可得解出在、不大的快速机动中，可近似认为速度不变，且从而有4.1.2飞行器绕质心转动的动力学方程动量矩定理：微元动量矩微元绝对速度全机动量矩对质心因为由有则有令矩阵形式转动惯量矩阵1、固连于飞行器的任意动系中绕质心转动动力学方程得到转动运动方程的标量形式将动量矩关系式代入,得到得质心转动动力学方程为得则如果Ox、Oz平面位于飞机的对称面，则Oy轴为惯性主轴，因此，Ixy=Iyz=0。矩阵形式方程简化为一般地，转动动力学方程均在机体坐标系下建立。若即2、机体坐标系中绕质心转动动力学方程令有综合运动方程组一般形式平动转动4.2刚性飞行器运动学方程4.2.1飞行器质心运动学方程航迹速度分量表示的运动学方程根据运动学关系机体速度分量表示的运动学方程根据运动学关系，可得1、欧拉角表示法4.2.2飞行器绕质心转动运动学方程转动运动学方程为缺陷：＝E90º出现奇异。解决办法：四元数法2、四元数表示法两个同原点的坐标系Sa和Sb总能通过绕某一固定轴OR转动一个角度

而重合。设OR与空间坐标分别形成A、B、C三个角度,则可定义如下四个数abcxyzABCRO其满足用四元数表示的Sa到Sb的变换矩阵根据地面坐标系与机体坐标系之间的关系，可得等式两边对应元素相等，可得这是用欧拉角表示的四元数。根据地面坐标系与机体坐标系之间的关系，可得等式两边对应元素相等，可得欧拉角。对上式积分可得四元数的时间响应。在已知四元数的情况下，可以用其表示描述飞机姿态的欧拉角

、

、

。结合欧拉角速率与旋转角速度的关系，对上式求导描述飞机姿态的欧拉角为这就是用四元数表示的飞机空间姿态角。其中，arctan2表示带两个输入参数的反正切函数，其值域为[-

，

]。4.3刚性飞行器运动方程讨论*4.4运动方程组线性化线化目的

飞行动力学系统一般是非线性动力学系统，其全量运动方程是变系数、非线性的微分方程组。

非线性微分方程组，一般情况下，无法求得其通解的解析表达式，只能用数值法求解，即在确定的数值条件下得到具体的数值结果。如数值积分方法，只能求解确定初值和控制输入情况下解的时变历程。不容易归纳出具有普遍意义的一般性规律。

本节开始，将采用“小扰动法”对非线性微分方程进行线化，以便解析求解，并从中归纳出具有普遍意义的规律，确定飞行品质指标，作为飞行器设计的指南。1、基本概念基准运动

飞机在驾驶员的操纵下，按预定规律进行的运动。一般为平衡运动，如定常直线运动、正常盘旋等。基准运动参数用下标“*”表示。扰动运动

受外界瞬时干扰后所形成的运动，其运动参数在一段时间内一般会偏离原来的基准运动。运动参数不带任何下标。

4.4.1小扰动法在研究飞行器的稳定性与操纵性时，一般将其运动分为基准运动和扰动运动。

实际运动参数=基准运动参数+扰动运动参数增量

=

*+

V=V*+

V

…

……xi=xi*+

xi2、基本假设小扰动假设

外加扰动比较小，扰动运动增量为小量。基于此，可以对非线性方程进行线化，且

xi以线性增量近似，忽略二阶以上增量。

飞行器具有对称面

基准运动是飞行器对称面处于铅垂平面内的运动,无分离

基于上述假设，不仅可以将非线性方程线化，而且可以对线化后的方程进行降维并分为纵向和横侧向运动.纵向参数改变(

V,

,

q等)只影响纵向气动力/力矩(

D,

L,

M);横侧向参数改变(

,

p,

r等)只影响横侧向气动力/力矩(

C,

L,

N)——小迎角飞行3.线性化方法运动方程一般形式一般运动方程泰勒级数展开运动参数一般形式基准运动方程运动参数或它们的时间导数或操纵量。得线化运动方程为常系数线性微分方程组(1)、发动机推力相对于基准状态增量

4.4.2外力、外力矩的线性化1、力和力矩的线性表达式(2)、重力相对于基准状态增量(3)、气动力阻力侧力升力横航向运动作对称变化，纵向气动力、力矩也是对称的，所以有以下导数为零：横航向运动参数变化，不会产生纵向气动力/力矩。(4)、外力矩（5）、综合（1）、对速度的导数类似地，有2、各类力和力矩导数（2）、对高度的导数对于阻力

类似地，有

（3)、对角度的导数(静导数)纵向静导数横航向静导数(4)、对角速度的导数(动导数)纵向动导数无因次角速度横航向动导数无因次角速度综合纵向静稳定性导数升降舵操纵效能俯仰阻尼横侧向静稳定性导数副翼操纵效能滚转阻尼偏航阻尼方向舵操纵效能4.4.3运动方程的线性化运动方程组一般形式平动转动假设参考坐标系为机体坐标系，基准运动为定直平飞外力和外力矩运动参数1、质心动力学方程的线性化对阻力方程进行线性化，基准状态对升力方程进行线性化，考虑对侧力方程进行线性化，假设2、绕质心转动动力学方程的线性化对倾斜力矩方程进行线性化，假设利用同样的假设，对俯仰力矩和偏航力矩方程线性化，得：假设3、质心运动学方程的线性化地轴系下x轴方向速度分量为对其进行线性化由于，则同理可得4、绕质心运动学方程的线性化对绕质心运动学方程线性化，有利用假设同理可得5、几何关系方程的线性化对几何关系方程进行线性化，假设可得：纵向横向4.5纵向小扰动运动方程组4.5.1纵向小扰动方程的自然形式4.5纵向小扰动运动方程组纵向非耦合的方程组有引入纵向动力学导数，用来表示推力和气动力，或气动力矩对于运动参数的导数4.5.1纵向小扰动方程的自然形式耦合的纵向小扰动方程组可写成4.5.2纵向小扰动方程的矩阵形式将小扰动运动方程变换成如下的标准形式：取状态量为控制变量为由可得纵向小扰动运动方程的矩阵形式:非耦合方程则为：4.5.2纵向小扰动方程的简化形式1、简化情况Ⅰ基准运动为水平直线飞行该方程可用来研究飞行器的水平巡航飞行特性，特别是飞行高度稳定性问题。2、简化情况Ⅱ不计高度变化引起的外力和力矩的影响，3、简化情况Ⅲ

仅研究扰动初始阶段的情况，扰动引起的速度变化不大，略去速度变化引起的外力和力矩影响

此时油门杆的操纵实际意义不大，Ⅱ进一步简化为分析飞行器短周期模态特性，若基准运动为水平直线飞行得最常用的的短周期运动近似方程：4.6横航向小扰动运动方程组4.6.1衡航向小扰动方程的自然形式所考虑的基准运动时对称运动，所有横航向变量都等于零，衡航向扰动偏量为类似于纵向扰动方程组，将方程分为耦合与非耦合两类。耦合的方程组（包括六个变量）非耦合的方程组（包括四个变量）4.6.2横航向小扰动方程的矩阵形式消去方程中的Izx项取小扰动倾斜力矩方程式和偏航力矩方程式将横航向力矩表达式代入，分别求导得修正的横航向动力学导数引人侧向力方程中的动力学导数得横航向小扰动方程的矩阵形式：4.6.3横航向小扰动方程的简化形式对于轴对称