第二章电力系统状态估计

第二章电力系统状态估计第1页，课件共176页，创作于2023年2月第二章电力系统状态估计一．概述

二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性

三．最小二乘估计

四．静态最小二乘估计的改进

五．支路潮流状态估计法

六．电力系统的递推状态估计

七．不良数据的检测与辨识

八.电力系统网络拓扑分析及网络结构辨识的基本概念

第2页，课件共176页，创作于2023年2月一状态估计的概念如果已知目标状态的运动规律，则可根据运动方程从状态初值推算出任一时刻的状态。这种方法是确定性的，没有估计问题。如果计及随机因素的影响，则这种运动方程是无法精确求解的。即使采取近似处理，其计算结果也会出现某种程度的偏差而得不到实际状态（或称为状态真值）。一．概述第3页，课件共176页，创作于2023年2月这种环境称为噪声环境，这些介入的和不可预测的随机因素或干扰称为动态噪声。干扰或噪声具有随机性，因而，状态计算值的偏差也具有随机特性。一．概述第4页，课件共176页，创作于2023年2月

在实际应用中经常遇到的另一种情况是对运动目标的参数进行观测以确定其状态。假若测量系统是理想的，则所得到的测量量向量是理想的，即可以用来确定状态的真值。但是实际的测量系统是有随机误差的，测量向量不能直接通过理想的测量方程，直接求出状态真值。一．概述第5页，课件共176页，创作于2023年2月

可见，由于随机噪声及随机测量误差的介入，无论是理想的运动方程或测量方程均不能求出精确的状态向量。只有通过统计学的方法加以处理以求出对状态向量的估计值。这种方法，称为状态估计。一．概述第6页，课件共176页，创作于2023年2月状态估计分为动态估计和静态估计两种。根据运动方程以某一时刻的测量数据作为初值进行下一个时刻状态量的估计，叫做动态估计；仅仅根据某时刻测量数据，确定该时刻的状态量的估计，叫做静态估计。一．概述第7页，课件共176页，创作于2023年2月二电力系统状态估计的意义电力系统的信息需通过远动装置传送到调度中心，由于远动装置及传送过程各个环节造成的误差，使这些数据存在不同程度的误差和不可靠性。此外，由于测量装置在数量上或种类上的限制，往往不能得到电力系统分析所需的完整、足够的数据。为解决上述问题，除了不断改善测量与传输系统外，还可采用数学处理的方法来提高测量数据的可靠性与完整性。电力系统状态估计就是为适应这一需要而提出的。一．概述第8页，课件共176页，创作于2023年2月从了解电力系统运行情况的要求来看，希望有足够多的测量信息送到调度中心，但从经济性与可能性来看，只能要求将某些必不可少的信息送到调度中心，通常称能足够表征电力系统特征所需最小数目的变量为电力系统的状态变量。电力系统状态估计就是在测量量有误差的情况下，通过计算得到可靠的并且为数最少的状态变量值。一．概述第9页，课件共176页，创作于2023年2月为了满足状态估计的上述需要，对电力系统的测量量在数量上要有一定的裕度。通常将全系统中独立测量量的数目与状态量数目之比，称为冗余度。只有具有足够冗余度的测量条件，才能通过电力系统调度中心的计算机以状态估计算法提高实时信息的可靠性与完整性，建立实时数据库。一．概述第10页，课件共176页，创作于2023年2月由于电力系统远动装置的工作情况经常变化，当远动信息量严重不足时，状态估计无法工作。因此，在状态估计之前应先进行可观察性检验。如果系统中某些部分被判定是不可观察的，无法通过状态估计建立实时数据库，则应把它从状态估计的计算中退出来，或用增加人工设置的虚拟测量或称伪测量数据来使它变成可观察的。一．概述第11页，课件共176页，创作于2023年2月协同状态估计工作的是不良数据的检测与辨识，如果有误差很大的，一般没有随机性的数据（也称不良数据），就应该将它剔除，并重新进行状态估计，最终建立起完整的电力系统模型。由于状态估计必须在几分钟内完成，因此它通常可以跟踪节点负荷的变化规律，在必要时可用来提供补充的测量量。因此，状态估计的计算结果也可以用于负荷预测。一．概述第12页，课件共176页，创作于2023年2月一．概述图2-1电力系统状态估计的功能流程框图第13页，课件共176页，创作于2023年2月电力系统的测量向量包括支路功率、节点注入功率、节点电压模值等测量量，待求的系统状态量是各节点的电压模值与电压相角。通过网络方程从估计出的状态量求出支路功率、节点注入功率等的估计计算值。如果测量有误差，则计算值与实际值之间有误差，称为残差向量。一．概述第14页，课件共176页，创作于2023年2月假定状态量有个，测量量有个。各测量量列出的计算方程式有个，当存在测量误差时，通过状态估计由测量量求出的状态量不可能使残差向量为零。但可以得到一个使残差平方和为最小的状态估计值。一．概述第15页，课件共176页，创作于2023年2月

1970年F.C.Schweppe等人首先提出用最小二乘估计法进行电力系统状态估计。与之同时，J.F.Dopozo等人也提出使用支路潮流测量值的最小二乘法。随后R.E.Lorson、A.S.Debs等人提出了应用卡尔曼滤波的递推状态估计算法。至20世纪70年代末期,状态估计在电力系统的应用的效果已被肯定,并在数十个电力系统中得到成功的应用。一．概述第16页，课件共176页，创作于2023年2月三状态估计与常规潮流计算的比较图2-2状态估计与潮流计算的比较框图(a)潮流计算；(b)状态估计一．概述第17页，课件共176页，创作于2023年2月潮流计算方程式的数目等于未知数的数目。而状态估计的测量向量的维数一般大于未知状态向量的维数，即方程数的个数多于未知数的个数。其中，测量向量可以是节点电压、节点注入功率、线路潮流等测量量的任意组合。此外，两者求解的数学方法也不同。潮流计算一般用牛顿-拉夫逊法求解个非线性方程组。而状态估计则是根据一定的估计准则，按估计理论的方法求解方程组。一．概述第18页，课件共176页，创作于2023年2月本章主要介绍：状态估计的基本概念，电力系统状态估计的理论与计算方法，不良数据的检测与辨识的理论与计算方法，以及电力系统网络拓扑分析和网络结构辨识的基本概念。一．概述第19页，课件共176页，创作于2023年2月一电力系统测量系统的数学描述电力系统的运行状态可以用节点电压模值、电压相角、线路有功与无功潮流、节点有功与无功注入量等物理量来表示。状态估计的目的就是应用经测量得到的上述物理量通过估计计算求出能表征系统运行状态的状态变量。二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第20页，课件共176页，创作于2023年2月电力系统静态运行的状态变量，通常取节点电压模值与电压相角。当有一个平衡节点时，个节点的电力系统状态变量维数为。如果系统结构与参数都已知，根据状态变量就不难求出各支路的有功潮流、无功潮流及所有节点的注入功率。二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第21页，课件共176页，创作于2023年2月状态变量需借助测量方程式，即联系状态向量与测量量向量之间的函数关系间接求得。在考虑有测量噪声时，它们之间的关系为

(2-1)

式中：为维的测量量向量；为测量函数向量(2-2)

为测量噪声向量，其表达式为

(2-3)二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第22页，课件共176页，创作于2023年2月状态变量与支路潮流的非线性函数表达式，称为节点电压测量方程式；节点注入功率与支路潮流的非线性函数表达式，称为注入功率测量方程式。表2-1列出五种基本测量方式。第一种测量其维数为，显然没有冗余度，这在状态估计是不实际的。第五种测量方式具有最高的维数和冗余度，但所需投资太高，也是不现实的。因此，实际测量方式是第一到第四的组合。二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第23页，课件共176页，创作于2023年2月表2-1五种基本测量方式

测量方式的分量方程式的维数（1）平衡节点除平衡节点外所有节点的注入功率、式(2-4)、(2-5)、(2-9)（2）（1）加上所有节点的电压模值式(2-4)、(2-5)、(2-9)（3）支路两侧的有功、无功潮流

式(2-6)、(2-7)（4）（3）加上所有节点的电压模值式(2-6)、(2-7)、(2-9)（5）完全的测量系统式(2-4)~(2-7)、(2-9)二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第24页，课件共176页，创作于2023年2月

相应的方程式为

(2-4)(2-5)(2-6)(2-7)(2-8)(2-9)二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第25页，课件共176页，创作于2023年2月图2-3形线路元件模型二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第26页，课件共176页，创作于2023年2月用测量量来估计系统的状态存在若干不准确的因素，概括起来有以下几点。（1）数学模型不完善。测量数学模型通常有工程性的近似处理。此外，还存在模型采用参数不精确的问题，另外，网络结构变化时，结构模型不能及时更新。上述问题属于参数不精确的，通常用参数估计方法解决；属于网络结构错误的，则采用网络接线错误的检测与辨识来解决。二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第27页，课件共176页，创作于2023年2月（2）测量系统的系统误差。这是由于仪表不精确，通道不完善所引起的。它的特点是误差恒为正或负而没有随机性。一般这类数据属于不良数据。清除这类误差的方法，主要是依靠提高测量系统的精确性与可靠性，也可以用软件方法来检测与辨识出不良数据，并通过增加测量系统的冗余度来补救，但这仅是一种辅助手段。二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第28页，课件共176页，创作于2023年2月（3）随机误差。这是测量系统中不可避免会出现的。其特点是小误差比大误差出现的概率大，正负误差出现的概率相等，即概率密度曲线对称于零值或误差的数学期望为零。状态估计式(2-1)和式(2-3)中的误差向量就是这种误差。二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第29页，课件共176页，创作于2023年2月测量的随机误差或嗓声向量是均值为零的高斯白噪声，其概率密度为式中：是误差的标准差；方差越大表示误差大的概率增大。二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第30页，课件共176页，创作于2023年2月对进行多次测量后就可以用协方差表示不同时刻测量数据误差之间均值的相关程度

(2-10)

若时，；时，，这表示不同时间的测量之间是不相关的。一般情况下，不同测量的误差之间是不相关的。二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第31页，课件共176页，创作于2023年2月由于误差的概率密度或协方差很难由测量或计算确定，因此在实际应用中常用测量设备的误差来代替。测量误差的方差为

(2-11)

式中：为仪表测量误差，一般取0.01~0.02；为远动和模数转换的误差，一般取0.0025~0.005；为满刻度时的仪表误差；为规格化因子。二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第32页，课件共176页，创作于2023年2月每个测量量的方差为。测量误差的方差阵，可以写成每个测量误差方差的对角阵为

(2-12)二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第33页，课件共176页，创作于2023年2月二电力系统的可观察性电力系统状态能够被表征的必要条件是它的可观察性。如果对系统进行有限次独立的观察（测量），由这些观察向量所确定的状态是唯一的，就称该系统是可观察的。卡尔曼最初提出可观察的概念只是在线性系统范围内，在电力系统的问题中可以由式(2-1)的雅可比矩阵来确定

(2-13)二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第34页，课件共176页，创作于2023年2月只要阶测量矩阵的秩为，则系统是可观察的，这表示通过测量量可以唯一地确定系统的状态量，或者说，测量点的数量及其分布可以保证系统是可观察的。在非线性系统中，可观察性问题虽复杂得多，但可观察的一个必要但非充分条件仍是雅可比矩阵的秩等于，每一时刻的测量量维数至少应与状态量的维数相等。二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第35页，课件共176页，创作于2023年2月电力系统测量需要有较大的冗余度。有冗余度的目的是提高测量系统的可靠性和提高状态估计的精确度。保证可观察性是测量点布置的最低要求。前面说过，电力系统出现异常大误差的数据，称为不良数据。查找出不良数据，并将其剔除是建立实时数据库的基本要求。测量具有冗余度则是实现这一工作的基本条件。二．电力系统运行状态的数学描述与可观察性第36页，课件共176页，创作于2023年2月一基本原理静态估计是用一定的统计学准则通过测量向量求出状态向量，并使之尽量接近其真值。是一个估计值，估计值与真值之间的误差称为估计误差

(2-14)

估计误差值是维向量。判断估计方法的优劣不是根据中个别分量的估计误差值，而是根据的整个统计特性来决定。三．最小二乘估计第37页，课件共176页，创作于2023年2月如果估计量的分量大部分密集在真值附近，则这种估计结果比较理想。因此，可用的二阶原点矩作为衡量估计质量的一种标志，均方误差阵是阶的。如果所用的估计方法遵循最小方差准则，则称这种方法为最小方差估计。但最小方差估计作为一种统计学的估计方法，要求事先掌握较多的随机变量的统计特性，这在电力系统状态估计实践中难以做到。以下介绍的最小二乘法是一种非统计学的估计方法。三．最小二乘估计第38页，课件共176页，创作于2023年2月最小二乘估计是在电力系统状态估计中应用最为广泛的方法之一。最早的最小二乘方法是高斯解决天体运动轨迹问题时提出的。这种方法的优点之一是不需要随机变量的任何统计特性，它以测量值和测量估计值之差的平方和最小为目标准则，即应用在电力系统，状态估计是按测量值与系统数学模型确定的值的误差平方和最小来确定的系统状态，即目标函数为(2-15)三．最小二乘估计第39页，课件共176页，创作于2023年2月二加权的意义这一方法对于任一个测量分量的误差都以相同的机会加进目标函数，即它们在目标函数中所占的份额一样。但由于各个测量量的量测精度不一致，因此它们以同样的权重组成目标函数是不合理的。为提高整个估计值的精度，应该使各个量测量各取一个权值，精度高的测量量权大一些，而精度低的测量量权小一些。根据这一原理提出了加权最小二乘准则。三．最小二乘估计第40页，课件共176页，创作于2023年2月加权最小二乘准则的目标函数为

(2-16)

式中：为一适当选择的正定阵，当为单位阵时(2-16)就是最小二乘准则。假设，为式(2-12)的测量误差方差阵。其中各元素为于是目标函数可写成

(2-17)三．最小二乘估计第41页，课件共176页，创作于2023年2月三最小二乘算法㈠为线性函数先假定是线性向量函数。

(2-18)

或式中：为矩阵，其元素为。状态量的值与测量值的关系为三．最小二乘估计第42页，课件共176页，创作于2023年2月按最小二乘准则建立目标函数或

(2-19)

对目标函数求导数并取为零，即

(2-20)

亦即这是一组有个未知数的维方程组，联立求解即可求得的最佳估计值。三．最小二乘估计第43页，课件共176页，创作于2023年2月㈡为非线性函数以上是在为线性函数的前提下讨沦的。但电力系统的测量函数向量是非线性的向量函数，这时无法直接由目标函数的极值条件求解，需要用迭代的方法求解。

1设状态变量的初值为将在处线性化，并用泰勒级数在附近展开，即

(2-27)三．最小二乘估计第44页，课件共176页，创作于2023年2月是函数向量的雅可比矩阵，其元素为

(2-28)2目标函数略去的高阶项，取目标函数为

(2-29)

取，有

(2-30)三．最小二乘估计第45页，课件共176页，创作于2023年2月

3极值条件即则式中由此可得

(2-31)三．最小二乘估计第46页，课件共176页，创作于2023年2月

4迭代格式当充分接近时泰勒级数略去高阶项后才是足够近似的。用式(2-31)作逐次迭代，可以得到。若以表示迭代序号，式(2-31)可以写成

(2-32)(2-33)三．最小二乘估计第47页，课件共176页，创作于2023年2月

5收敛判据按式(2-32)和式(2-33)进行迭代修正，直到目标函数接近于最小为止。所采用的收敛判据可以是以下三项中的任一项（1）(2-34)

（2）(2-35)

（3）(2-36)三．最小二乘估计第48页，课件共176页，创作于2023年2月上三式是三种收敛标准。其中式(2-34)表示状态修正量绝对值最大者小于规定的收敛标准，这是最常用的判据。可取基准电压模值的。满足收敛标准时的即为最优状态估计值。此时测量量的估计值是。三．最小二乘估计第49页，课件共176页，创作于2023年2月

6状态估计的计算步骤及程序框图当是的非线性函数时，进行状态估计的步骤如下：

1)从状态量的初值计算测量函数向量和雅可比矩阵。

2)由遥测量和计算残差和目标函数，并由雅可比矩阵计算信息矩阵和向量。三．最小二乘估计第50页，课件共176页，创作于2023年2月

3)解方程式(2-32)求得状态修正量，并取其中绝对值最大者。

4)检查是否达到收敛标准。

5)若未达到收敛标准，修改状态量，继续迭代计算，直到收敛为止。

6)将计算结果送入不良数据检测与辨识入口。三．最小二乘估计第51页，课件共176页，创作于2023年2月图2-4是加权最小二乘估计程序框图，其中框1包括输入各测量量的权值。框1的初值在实际应用中一般取前一次状态估计的电压值，以加快迭代的收敛速度。框3中用现有的状态量（如电压模值与电压相角）计算及其偏导数。框4求解电压模值与相角的修正量，选出及，供框5作收敛检查。框6转入下一次迭代并对状态变量作修正。三．最小二乘估计第52页，课件共176页，创作于2023年2月图2-4加权最小二乘估计框图三．最小二乘估计入口输入测量信息给定初值计算计算计算解非线性方程式(2-30)求及≤l=l+1＞到不良数据检测与辨识入口l＝1第53页，课件共176页，创作于2023年2月四信息矩阵（阵）的特点㈠稀疏性和对称性因为一般为稀疏矩阵，所以可以用稀疏矩阵技巧进行求解。以下先讨论这个矩阵的结构，由式(2-32)可得

(2-38)

或写成(2-39)

为了求解式(2-39)，先研究阵的特点。三．最小二乘估计第54页，课件共176页，创作于2023年2月阵的元素：因为是对角阵，所以阵的结构与的结构一致。由于是稀疏的，而且和换位并不影响的值，因此阵是的对称稀疏矩阵。阵的结构与导纳矩阵不一样，取决于网络结构与测点的布置。式(2-38)中阵的每一行元素是相应的一个测量量对状态量的偏导数，即式(2-28)。三．最小二乘估计第55页，课件共176页，创作于2023年2月从的累加计算式看，累加顺序并不影响

的值，所以改变测量量的顺序（即的行互换）并不影响计算结果。当然，也不影响阵的结构。三．最小二乘估计第56页，课件共176页，创作于2023年2月

㈡的结构与系统网络结构和测量系统配置的关系

1支路功率测量对于连接节点、的支路，当有有功、无功测量时，因测量值只与该支路两端的状态变量有关，所以在阵相应的测量量行中在列与列有非零元素（若测量量为第个，则非零元素为和），阵将出现非零的元素（、、和均非零）。因此，不论有功或无功,不论在线路哪一侧，有一个测量就能出现元素。三．最小二乘估计第57页，课件共176页，创作于2023年2月

2节点注入功率测量节点的有功或无功注入的测量值，不仅与节点的状态量有关，而且还与同节点直接连接的相邻节点的状态量有关。对于图2-5例子，在阵中，相应于节点注入测量的行（设为行）的列以及与相关的各节点（如、、）的列均为非零元素，即、、、为非零元素，即相应的阵为三．最小二乘估计第58页，课件共176页，创作于2023年2月图2-5节点注入对H阵影响示意图iekj三．最小二乘估计第59页，课件共176页，创作于2023年2月

根据式(2-38)可看出，这一测量值，在阵中将使、、、、、六个非对角元发生变化（由于是对称阵，这里仅列出下三角部分）并成为非零元素（这时、、、、、、、、、、、、、、、均非零）。它的作用相当于在、、、、、六条支路上装有测量，而实际上图2-5中以虚线表示的线路是不存在的。三．最小二乘估计第60页，课件共176页，创作于2023年2月

3节点电压测量节点的电压测量值仅在阵列有非零元素，在阵中也只影响相应的行对角元。根据上述，对于图2-6(a)的网络与测点布置情况，其阵的结构如图2-6(b)所示，其中列号为节点号，亦即该节点的状态量电压模值与电压相角的序号。图中有9个测量量，7个状态量。三．最小二乘估计第61页，课件共176页，创作于2023年2月由式(2-38)，，阵结构如图2-6(c)所示。用图2-6(c)的关联关系可以绘出阵的线图2-6(d)，比较图2-6(a)与图2-6(d)可见，凡没有配置支路功率测量，且其两侧又无注入功率的，其阵的。如果在节点有注入功率测量，则与有关联的各节点间就形成一闭合的回路。三．最小二乘估计第62页，课件共176页，创作于2023年2月图2-6信息矩阵的结构示意图(a)系统网络示意图;(b)H矩阵;(c)A矩阵;(d)A矩阵网络示意图○－电压测量；×－支路功率测量；↗－注入功率测量三．最小二乘估计432（a）1（d）4321（c）××××××××××××（b）P12

Q12P23

Q23P34

Q34V1P3

Q3××××××××××第63页，课件共176页，创作于2023年2月

一快速解耦状态估计加权最小二乘状态估计算法与潮流计算的牛-拉法相似。该算法具有良好的收敛性能，但占用内存较大，计算时间也较长。在式(2-38)中，如把信息矩阵常数化，在迭代过程中就只需进行一次因子分解。如再使之对角化，就可进一步提高计算效率，快速解耦状态估计就是在这个思想基础上建立的。快速解耦状态估计充分利用电力系统的物理特性，忽略次要因素的影响，在修正方程解算过程中减少了计算量，提高了计算速度、降低了内存占用量。四．静态最小二乘估计的改进第64页，课件共176页，创作于2023年2月㈠数学模型对极坐标形式的电力系统加权最小二乘状态估计基本算法进行简化。将状态变量按节点电压相角和模值分别排列，即将测量量按有功和无功分别排列，即

四．静态最小二乘估计的改进第65页，课件共176页，创作于2023年2月式中：表示支路有功潮流、节点有功注入测量量向量；表示支路无功潮流、节点无功注入、节点电压模值的测量向量。雅可比矩阵可表示为

(2-40)

同时，对角权矩阵也相应地按有功和无功分别排列，即

(2-41)四．静态最小二乘估计的改进第66页，课件共176页，创作于2023年2月信息矩阵可以写成

(2-42)

在高压电网中，有功主要取决于节点电压相角，无功主要取决于节点电压模值。即四．静态最小二乘估计的改进第67页，课件共176页，创作于2023年2月因此，可引入第一项简化假设：这样，矩阵变为准对角阵：式(2-42)可以转化为对角矩阵四．静态最小二乘估计的改进第68页，课件共176页，创作于2023年2月如再假定各支路电阻远远小于电抗，支路两端的相角差很小，各节点电压模值接近于参考节点电压，即，，，这样有取支路电抗倒数（不计变压器非标准变比及线路对地电容的影响）；

取支路导纳的虚部（电压测量的

元素取）。四．静态最小二乘估计的改进第69页，课件共176页，创作于2023年2月于是信息矩阵就成为常数矩阵，不必在迭代过程中修改。

(2-43)

对于修正方程右边项的处理不同于常规潮流计算。计算经验表明：矩阵元素采用上述两项假设比准确计算更有利于收敛性的改善，提高迭代计算的速度。四．静态最小二乘估计的改进第70页，课件共176页，创作于2023年2月

迭代的修正方程式可以写成

(2-44)(2-45)

展开为

(2-46)(2-47)四．静态最小二乘估计的改进第71页，课件共176页，创作于2023年2月其中：

(2-48)(2-49)

式中：为节点电压相角的向量，为节点电压模值的向量。方程式(2-44)和式(2-45)的方法，称为快速解耦状态估计算法。四．静态最小二乘估计的改进第72页，课件共176页，创作于2023年2月当有功测量的维数为，无功测量的维数为时，状态量、的维数是网络节点数中减去平衡节点的状态量数，分别为、，于是是阶的，是阶的，是阶常数对称矩阵，是阶常数对称矩阵，是维向量，是维向量。四．静态最小二乘估计的改进第73页，课件共176页，创作于2023年2月为进一步加快速度，可对式(2-44)和式(2-45)右边也做类似简化。这种方法，也称为模分解估计算法。其简化式为

(2-50)(2-51)四．静态最小二乘估计的改进第74页，课件共176页，创作于2023年2月图2-7快速解耦法状态估计程序框图四．静态最小二乘估计的改进第75页，课件共176页，创作于2023年2月二正交变换法在状态估计中感兴趣的问题是，哪些测量量对提高估计精度是最有利的，或者在一组已有的测量中应增加哪些新的测量量，就可以取得最佳估计效果。现用一个二维例子分析如下：

(2-52)四．静态最小二乘估计的改进第76页，课件共176页，创作于2023年2月

观察矩阵的转置为

(2-53)

式中：时的秩为2。如不考虑测量误差，将、绘成图形，如图2-9所示。忽略测量误差后,由式(2-52)得

(2-54)四．静态最小二乘估计的改进第77页，课件共176页，创作于2023年2月图2-9、向量及其正交向量示意图图2-10含误差时向量与的交叉图

四．静态最小二乘估计的改进第78页，课件共176页，创作于2023年2月由式(2-54)可以看出，当接近时，此两方程式差别很小，于是其差值的倒数项很大。导致测量量的不精确性放大，使估计值误差增大。当等于零时，计及测量误差，式(2-52)的两个方程式交叉的解如图2-10所示的阴影部分。显然，若式(2-52)中两个方程式正交，则阴影面积最小。四．静态最小二乘估计的改进第79页，课件共176页，创作于2023年2月在这个二维例子中，若要增加一个测量，使得测量的估计值误差达到最小，显然，其最佳选择应是正交于、的向量

,如图2-9所示。四．静态最小二乘估计的改进第80页，课件共176页，创作于2023年2月根据以上讨论，产生了如何求最正交方程式的问题。定义:满足的单位向量为最正交单位向量。正规化矩阵，将其列向量的模值规格化，保留角度关系，于是正规化的矩阵为

(2-55)四．静态最小二乘估计的改进第81页，课件共176页，创作于2023年2月定义一个函数为

(2-56)

若的方向使内积之和最小，则由式(2-56)得

(2-57)

将式(2-55)代入式(2-57)得

(2-58)四．静态最小二乘估计的改进第82页，课件共176页，创作于2023年2月为了使最小，可以采用Lagrange乘子形成函数(2-59)

最小化的条件为

(2-60)

即

(2-61)

由微分算法关系，其中为对称矩阵，所以式(2-61)为

(2-62)

式中：为单位矩阵。四．静态最小二乘估计的改进第83页，课件共176页，创作于2023年2月当且仅当矩阵是奇异的，即，式(2-62)才具有非平凡解，其个根为的特征根，而且对应与每个特征根，均具有至少一个非平凡解，这个解就是特征向量。如果是式(2-62)的特征值的特征向量，则代入式(2-58)得到待求函数为

(2-63)

由式(2-62)可以看出

(2-64)四．静态最小二乘估计的改进第84页，课件共176页，创作于2023年2月所以最小的待求函数，即为对应于最小特征值；而最正交向量，即是对应于此特征值的特征向量。在最小二乘估计中假定观察矩阵的最正交向量为，则增加的测量向量方向应是最靠近正交向量。当这个测量是电压模值，则可以直接增加。若是电压相角，则必须用另外一组潮流或注入功率的测量量来代替。在测点布置时应尽可能选择那些可使状态估计取得最好效果的测量量。四．静态最小二乘估计的改进第85页，课件共176页，创作于2023年2月支路潮流状态估计法是早期应用于美国AEP电力公司的一种较成功的算法。用这种算法进行状态估计仅需支路潮流测量量，在状态估计计算时将支路功率转换成支路两端电压差的量，最后得到与基本加权最小二乘估计相类似的迭代修正公式。由于这种方法只用支路测量量，所以也称“唯支路法”。又由于这种方法需用支路测量量转变成支路两端电压差的量，所以又称“量测量变换法”。五．支路潮流状态估计法第86页，课件共176页，创作于2023年2月一数学模型支路潮流测量量，表示连接节点、的支路上测量到的复功率。若应用加权最小二乘的算式，其目标函数为这里，测量量向量是支路复潮流，以表示；测量函数向量用表示，它是状态向量-节点复电压的函数。五．支路潮流状态估计法第87页，课件共176页，创作于2023年2月这样，状态估计目标函数为

(2-65)

式中，

是维实数对角矩阵，对每一个测量量的实部和虚部使用同一权值。若该支路两端的节点电压为，则该支路两端的电压差为(2-66)

规定支路潮流由测量侧流入为正，则支路、的潮流方程（测量方程）可写为：

(2-67)五．支路潮流状态估计法第88页，课件共176页，创作于2023年2月式中：为支路的侧复功率；、为图2-11中等值电路的参数。对于线路：对于变压器：五．支路潮流状态估计法第89页，课件共176页，创作于2023年2月图2-11输电线与变压器等值电路(a)输电线;(b)变压器五．支路潮流状态估计法第90页，课件共176页，创作于2023年2月潮流测量量与经转换得到的与之相应的支路电压差的关系为

(2-68)

由此可求出以支路潮流测量值表示的该支路电压差“测量值”：线路

侧：

线路

侧：五．支路潮流状态估计法第91页，课件共176页，创作于2023年2月变压器侧：变压器侧：五．支路潮流状态估计法第92页，课件共176页，创作于2023年2月若定义这个线路电压差的向量为功率测量变换来的电压差向量，则写成矩阵形式后为

(2-69)

即(2-70)

式中：支路功率测量向量与对应的支路电压差值向量是维的；为阶的对角矩阵.五．支路潮流状态估计法第93页，课件共176页，创作于2023年2月的元素为

(2-71)五．支路潮流状态估计法第94页，课件共176页，创作于2023年2月

为复数向量，其元素为(2-72)上两式中：表示测点号。五．支路潮流状态估计法第95页，课件共176页，创作于2023年2月当支路功率的估计值为，与之相应的支路电压值为，它们之间的关系也可以用式(2-70)表示

(2-73)

将式(2-70)、式(2-73)代入式(2-65)得

(2-74)

至此，通过测量量的变换，原来以支路潮流表示的目标函数已经化成了以支路电压差来表示的目标函数。五．支路潮流状态估计法第96页，课件共176页，创作于2023年2月在式(2-74)中，电压差值的估计值向量可以分别用平衡节点电压与其余节点的电压向量表示，即

(2-75)

式中：为测量点所在支路与节点的关联矩阵。由于平衡节点的状态是给定的。所以可以把阵写成

(2-76)五．支路潮流状态估计法第97页，课件共176页，创作于2023年2月矩阵各行+1和-1表示对应于每一个支路测量点，各有两个非零元素。若测量点在支路的侧，则列为+1,列为-1。若在侧，则反之；其余元素均为零。当线路两端均有测量点时，此线路将在中出现两次。当节点数为时，为阶矩阵。于是式(2-75)可写成(2-77)

将(2-77)、式(2-76)代入式(2-74)得

(2-78)

式中，为阶实对角矩阵.五．支路潮流状态估计法第98页，课件共176页，创作于2023年2月若以表示测量点号，其元素为在求目标函数最小化时，可以假定在电力系统运行中电压变化不大，因此可以取为常数矩阵。五．支路潮流状态估计法第99页，课件共176页，创作于2023年2月于是,极值条件：因为所以(2-79)

迭代格式为

(2-80)

若己知上一次迭代的值，就可以求解下一次迭代的值。式(2-80)中的由上一次迭代求出：式中：和与有关。五．支路潮流状态估计法第100页，课件共176页，创作于2023年2月二算法特点支路潮流估计法与最小二乘估计法的差别在于：

1.信息矩阵中，是测点与节点的关联矩阵，是常数对角阵，信息矩阵的结构与节点导纳矩阵结构完全相同，因而稀疏程度高，程序设计方便。

2.信息矩阵的常数化，可在网络结构和测点配置不变时只进行一次因子分解，从而节约每次迭代的计算量，同快速分解法一样。五．支路潮流状态估计法第101页，课件共176页，创作于2023年2月

3.实部和虚部的迭代合用同一个实数信息矩阵，既节约内存，又节约矩阵分解计算时间。

4.只能处理支路潮流测量量，而不能处理其他形式的测量量，如节点注入功率。在实际系统中，如果排除掉支路潮流以外的其他测量量后，系统可观测性被破坏，则本方法不能使用。而且，因不能充分利用全部测量量而降低了状态估计结果的可信度。五．支路潮流状态估计法第102页，课件共176页，创作于2023年2月

(5)解出的是待求量，而不是修正量。支路潮流状态估计程序框图，如图2-12所示。其计算步骤如下：

(1)给定节点电压向量的初值，可取所有节点电压与平衡节点的电压相同。

(2)利用测量量计算支路电压差值

(3)利用迭代方程式(2-80)求解。

(4)重复步骤(2)、(3)，直至符合收敛条件(2-81)五．支路潮流状态估计法第103页，课件共176页，创作于2023年2月图2-12支路潮流状态估计程序框图

五．支路潮流状态估计法第104页，课件共176页，创作于2023年2月前面讨论的是静态估计方法。由于电力系统的运行状态不断变化，事实上不存在静态问题，只有在时间间隔足够短时才可近似地看作是静态的。如果能追踪电力系统的缓慢变化，用一个时间段的状态变量作为下一个采样时段状态变量估计的初值，即采用追踪估计的方法，其效果可能比静态估计更好。但由于电力系统庞大，其模型维数很大，此外实时信息数量大，通道传送量及传送速度均有限制，因而目前递推状态估计只能用于解决静态问题。六．电力系统的递推状态估计第105页，课件共176页，创作于2023年2月应用前后两个时间段估计值()的最小二乘作为目标函数，可写成

(2-82)

式中：是状态变量的第次估计值的方差阵，并以其逆阵为权重。第次测量量与其相应的估计值的最小二乘目标函数为

(2-83)

由于与互不相关，所以可取总的目标函数为

(2-84)六．电力系统的递推状态估计第106页，课件共176页，创作于2023年2月第次递推估计值应满足条件应用矩阵微分公式可以写成

(2-85)

为求解方程式，在点上将线性化，即

(2-86)

由于，所以

(2-87)六．电力系统的递推状态估计第107页，课件共176页，创作于2023年2月于是式(2-85)可写成

(2-88)

令(2-89)

则(2-90)

式(2-90)是电力系统最小二乘递推估计的计算公式。六．电力系统的递推状态估计第108页，课件共176页，创作于2023年2月由于在电力系统状态估计中在不同时变化很小，所以可将它取为常数矩阵。于是式(2-89)及式(2-90)为

(2-91)(2-92)

为使上述递推公式能与常规的动态随机序列递推估计表达式相同，可将上式再作一些形式上的处理。六．电力系统的递推状态估计第109页，课件共176页，创作于2023年2月对于矩阵

(2-93)

由矩阵求逆修正引理,可得

(2-94)(2-95)

应用上述引理后，式(2-91)可以改写成式中：称为增益系数，用来构成状态变量的修正量。六．电力系统的递推状态估计第110页，课件共176页，创作于2023年2月

于是得(2-96)(2-97)(2-98)

式(2-96)~(2-98)表示由第次的估计值与方差阵及第次的测量量，可以推算出第次的估计值与方差阵。按此规律递推可以求出各次的估计值。在递推过程中只有与是验前知识。式(2-96)中称为新息，只有新息存在时才可以从中推算出。六．电力系统的递推状态估计第111页，课件共176页，创作于2023年2月

由于是验前知识，在毫无验前知识的情况下，估计值与真值之间的差可以是无穷大，亦即当时，由式(2-93)得。当时，由式(2-93)得依次类推，令得当时，。这说明即使在毫无验前知识的情况下，应用式(2-96)，也可以求得状态变量的正确估计值。六．电力系统的递推状态估计第112页，课件共176页，创作于2023年2月

在递推过程中，当，，即估计值的修正已很小时，则(2-99)

估计过程就结束。递推估计也可用解耦法迭代求解，其状态变量为电压模值及相角，有功、无功及电压模值的测量量可用解耦的形式写成向量，在点将式(2-87)线性化，并考虑到有功、无功与电压相角、电压模值之间的相互解耦关系，取，，六．电力系统的递推状态估计第113页，课件共176页，创作于2023年2月式(2-92)在计及式(2-91)后可以写成

(2-100)

六．电力系统的递推状态估计第114页，课件共176页，创作于2023年2月应用式(2-94)和式(2-95)，可写出类似于式(2-96)~(2-98)的解耦方程组如下

(2-101)(2-102)(2-103)(2-104)(2-105)(2-106)

求解时应用交替迭代求解的方法。当状态变量的估计值稳定后。即认为迭代收敛。六．电力系统的递推状态估计第115页，课件共176页，创作于2023年2月七．不良数据的检测与辨识一不良数据的检测电力系统的测量信息如果误差不大，测量系统的配置恰当，则用一般的状态估计方法可以得到满意的实时数据库。如果调度中心收到的远动测量数据具有异常大的误差，则常规状态估计算法无法估计出正确的数值，影响电力系统的实时调度管理。第116页，课件共176页，创作于2023年2月七．不良数据的检测与辨识电力系统中测量系统的标准误差大约为正常测量范围的，误差大于的测量值就为不良数据，但在实用中由于达不到这个标准，所以通常把误差达到以上的数据作为不良数据。当电力系统出现不良数据时，需要通过检测与辨识的方法处理，以满足状态估计计算对测量数据的要求。第117页，课件共176页，创作于2023年2月七．不良数据的检测与辨识检测是判定是否存在不良数据，而辨识则是为了寻找出哪一个数据是不良数据，以便进行剔除或补充。不良数据的出现，会在目标函数中得到反映，使它大大偏离正常值。因此，可以根据对的检测来确定不良数据的是否存在。第118页，课件共176页，创作于2023年2月七．不良数据的检测与辨识目标函数如式(2-16)所示，其中项可用残差表示

(2-107)

测量误差为，则残差可写成

(2-108)式中：是残差灵敏度矩阵。式(2-108)也就是前述的式(2-25)，称为残差方程，它表示了残差与测量误差间的关系。第119页，课件共176页，创作于2023年2月七．不良数据的检测与辨识下面定义加权残差

(2-109)

再定义加权测量误差

(2-110)

引入上述定义后，残差方程可以写成

(2-111)

式中：为加权残差灵敏度。其表示式为

(2-112)第120页，课件共176页，创作于2023年2月七．不良数据的检测与辨识采用加权残差灵敏度，从数学运算方面可以带来一些方便。例如：是不对称的，而是对称的，所以有

(2-113)(2-114)以及加权残差的协方差阵为

(2-115)

不良数据的检测一般通过检查目标函数是否远离正常值或残差是否超过正常值来反映，常用的方法有三种，分别介绍如下。第121页，课件共176页，创作于2023年2月㈠检测法

(1)假定电力系统没有不良数据，加权残差为，加权测量误差为。于是目标函数为将式(2-111)和式(2-114)代入上式得

(2-116)

可见为的二次型。正常情况下测量为正态分布时是-分布。其数学期望和方差可以分别由式(2-116)的展开式求出。七．不良数据的检测与辨识第122页，课件共176页，创作于2023年2月的数学期望和方差为式中：为测量冗余度，即-分布的自由度；为阶自由度的-分布的随机变量，可写为

(2-117)

随着自由度的增大，越来越接近正态分布，当时，可以用相应的正态分布代替-分布，的标准化随机变量形式为()(2-118)七．不良数据的检测与辨识第123页，课件共176页，创作于2023年2月

(2)假定在电力系统的测量量中，第个量是值为的不良数据，于是测量的误差向量为：(2-119)

式中：是维向量，其中仅元素为1，其余元素均为0，即(2-120)

此时加权测量误差向量为将上式代入式(2-111)得于是含一个不良数据时的目标函数将不同于式(2-116)，而是

(2-121)七．不良数据的检测与辨识第124页，课件共176页，创作于2023年2月式(2-121)右侧第一项即为，是-分布；第二项是0均值的正态分布。第三项为常数。所以的数学期望与方差分别为(2-122)(2-123)

时，式(2-121)右侧第一项趋于正态分布，此时整个也趋于正态分布。的标准化随机变量形式为

(2-124)七．不良数据的检测与辨识第125页，课件共176页，创作于2023年2月比较式(2-121)可以看出，存在不良数据后，目标函数急剧增大。利用这一特性可以检测不良数据，具体方法是用和两种假设性检验方法。内容如下：

1)假设：如(为检验阈值)，则没有不良数据，属真。

2)假设：如(为检验阈值)，则有不良数据，属真。七．不良数据的检测与辨识第126页，课件共176页，创作于2023年2月当确定了阈值后，如某次采样就认为属真。这时可能犯第一类错误，即属真而拒绝了，接受了。这类错误称误报警，其出现的概率为称为伪警概率。上述检验结果也可能犯第二类错误，即不真而接受了，拒绝了。这类错误称漏报，出现的概率为称为漏检概率。这两类错误的概率由阈值确定，一般漏检概率越小，伪警概率就越大，反之亦然。七．不良数据的检测与辨识第127页，课件共176页，创作于2023年2月为了减少这两类错误，通常将概率范围取为。若且，则可由给定的正态分布表查到相应的值为1.645。七．不良数据的检测与辨识第128页，课件共176页，创作于2023年2月㈡加权残差检测法由残差定义可知，当测量值符合正态分布时，其估计值可以认为等于其均值，所以残差也是一个按正态分布的随机变量。又由于加权残差的权值是相应测量量标准差的倒数，因而加权残差也符合正态分布。所以利用加权残差同样也可以用假设性检验的方法来检测不良数据。七．不良数据的检测与辨识第129页，课件共176页，创作于2023年2月由于是正态分布，故，的对角元素就是加权残差的方差即为正态分布随机变量通常测量情况下，若规定伪警概率为，则正常的加权残差取值范围为

(2-125)

于是加权残差阈值可定为

(2-126)七．不良数据的检测与辨识第130页，课件共176页，创作于2023年2月加权残差检测是将逐维残差按假设性检验的方法来进行。

(2-127)

式中：七．不良数据的检测与辨识第131页，课件共176页，创作于2023年2月㈢标准化残差检测法除了检测法与加权残差检测法外，有时可以采用标准化残差检测方法以取得更理想的效果。标准化残差的定义为(2-128)

其中(2-129)

于是

(2-130)

式中：是矩阵的第个对角元素。七．不良数据的检测与辨识第132页，课件共176页，创作于2023年2月由残差方程式(2-110)可以写出标准化残差方程式为

(2-131)

式中：为标准化残差灵敏度矩阵。在正常测量条件下，具有下列关系

(2-132)

将式(2-129)代入上式，可得上式右端矩阵的对角元素均为1，故有

(2-133)七．不良数据的检测与辨识第133页，课件共176页，创作于2023年2月当时，得到第个标准化残差的检测阈值为(2-134)

逐维残差的标准化残差检测方法为

(2-135)

式中：为第个标准化残差分量。七．不良数据的检测与辨识第134页，课件共176页，创作于2023年2月以上三种检侧方法的共同特点是利用采样的残差信息来检测不良数据，其检测效果与阈值的选择有关，当阈值较低时，检测不良数据的能力较强，但是过低的阈值又会使误检率增大。检测法是一种总体型的检测，它能测知不良数据是否存在，但不能知道哪一个是不良数据。在系统规模较大及冗余度大的情况下，个别不良数据对的影响相对减小，亦即式(2-121)右侧的第三顶相对减小，从而使检测的灵敏度较低。七．不良数据的检测与辨识第135页，课件共176页，创作于2023年2月与检测法与系统大小无关，它取决于或的对角元素。当测量系统完善，冗余度越大，则对角元素越占优势，检测不良数据越灵敏。在冗余度为时，法比法在灵敏度方面更优越，但是法需付出计算的代价，在冗余度更高时这两种方法的效果相近。与法在单个不良数据时一般可取得理想的效果，但有时除了不良数据点的残差超过检测阈值外，一些正常测点的残差也超过阈值，这种现象称为残差污染。七．不良数据的检测与辨识第136页，课件共176页，创作于2023年2月有多个不良数据时，由于相互作用可能导致部分或全部不良数据测点上的残差近于正常残差现象，这称为残差淹没。残差污染和残差淹没使不良数据点模糊，导致辨识不良数据的困难。在应用或检验时，增加测量可使矩阵的对角元素增大，同时使其非对角元素减小。七．不良数据的检测与辨识第137页，课件共176页，创作于2023年2月如果将前一采样时刻的测量信息作为伪测量与本采样时刻的测量量一起进行状态估计，其效果是加强了残差灵敏度矩阵的对角元素优势，可以有效地削弱单个不良数据情况下的残差污染和多个不良数据情况下的残差淹没现象。为了减少由于增加伪测量(增加维数)所导致的计算时间增长，应只在真正薄弱的某些测点增加相应的局部测量量。七．不良数据的检测与辨识第138页，课件共176页，创作于2023年2月

二不良数据的残差搜索辨识法对不良数据辨识的基本思路是：检测出不良数据后，设法找出这个不良数据并在测量向量中将其排除，然后重新进行状态估计。假设在检测中发现有不良数据。最简单的辨识方法是在个测量量中去掉第一个测量量，再用不良数据检测法检查余下的个中是否存在不良数据。如果个测量的值与个时的值差不多，则表示第一个测量量是正常量，应予以恢复。七．不良数据的检测与辨识第139页，课件共176页，创作于2023年2月然后试第二个测量量，直到找出不良数据为止。如果存在两个不良数据，则应试探每次去掉两个测量量的各种组合。这种方法试探的次数非常多,而且每次试探都要进行状态估计，因此问题的关键在于如何减少试探的次数。残差搜索辨识法，即用残差绝对值由大到小排队来逐维作试探，通常分为与。七．不良数据的检测与辨识第140页，课件共176页，创作于2023年2月㈠加权残差搜索法加权残差搜索法是按大小排队，逐维试探。加权残差可以写成

(2-136)

式中：为有不良数据时维加权残差向量；为没有不良数据时的维加权残差向量；为矩阵的第个列向量；为出现在第点上的不良数据值。七．不良数据的检测与辨识第141页，课件共176页，创作于2023年2月略去正常残差，式(2-136)可以写成

(2-137)