第二章点线面体的投影课件

第二章点、直线段和平面主讲：刘建学

第二章主讲：刘建学1点、直线、平面的投影

2.1投影法及其分类

2.2点的投影

2.3直线的投影

2.4平面的投影

2.5直线与平面及两平面的

相对位置

本章小结结束放映点、直线、平面的投影2.1投影法及其分类2.22平行投影法中心投影法2.1投影法及其分类投影法投射线物体投影面投影投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法——投影法。投射中心斜投影法正投影法平行投影法中心投影法2.1投影法及其分类投影法投射线物体投3中心投影法

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。投影特性物体位置改变，投影大小也改变。投射线物体投影面投影投射中心中心投影法投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对4平行投影法投影特性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。平行投影法投影特性投影大小与物体5投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法画透视图画斜轴测图6第二章点线面体的投影课件7第二章点线面体的投影课件8WHVOXZY空间点A在三个投影面上的投影a

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影注意：空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a

●a●a

●

A●WHVOXZY空间点A在三个投影面上的投影a点A的正面投影9●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不动投影面展开WVHaa●x●●azZaa

yayaXY

YO

●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不10●●●●XYZOVHWAaa

a

点的投影规律:①a

a⊥OX轴②aax=

a

ax=aay=xaazay●●YZaza

XYayOaaxaya

●

a

a

⊥OZ轴=y=Aa

（A到V面的距离）a

az=x=Aa

（A到W面的距离）a

ay=z=Aa（A到H面的距离）a

az●●●●XYZOVHWAaaa点的投影规律:①aa11●●a

aax例：已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:通过作45°线使a

az=aax解法二:用圆规直接量取a

az=aaxa

●●●aaax例：已知点的两个投影，求第三投影。●a●●a12三、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上B点在A点之前、之右、之下。b

aa

a

b

b●●●●●●XYYZo三、两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、13()a

cc

重影点：

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。●●●●●a

a

c

被挡住的投影加()A、C为哪个投影面的重影点呢？A、C为H面的重影点()acc重影点：空间两点在某一投影面上的14aa

a

b

b

b●●●●●●2.3直线的投影两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。⒈直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性

BA●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=AB.cos

●●AB●●ab

AMB●a≡b≡m●●●aaabbb●●●●●●2.3直线的投影15⒉直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置⒉直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面16⑴投影面平行线γβXZ″baaabbOYY′′″水平线实长①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：VHabAaaγβBbbWβγ′′″″⑴投影面平行线γβXZ″baaabbOYY′′″水平线实长17判断下列直线是什么位置的直线？侧平线正平线与H面的夹角:

与V面的角:β与W面的夹角:γ实长

β实长γ

b

a

aba

b

b

aa

b

ba

直线与投影面夹角的表示法：判断下列直线是什么位置的直线？侧平线正平线与H面的夹角:18反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。⑵投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线②

另外两个投影，①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●a

b

a(b)a

b

●c

(d

)cdd

c

●e

f

efe

(f

)反映线段实长，且垂直于相应的投影19⑶一般位置直线Z

YaOXabbaYb

三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。投影特性HaβγaAb

VBbWa

b

⑶一般位置直线ZYaOXabbaYb三个投20cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″二、直线与点的相对位置◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。

◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b=a

c

:c

b

定比定理cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBa21例1：判断点C是否在线段AB上。②c

abca

b

●●abca

b

c

①●●在不在a

b

●c

●●aa

b

c

b③c不在应用定比定理另一判断法?例1：判断点C是否在线段AB上。②cabcab●●ab22例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。解法一：（应用第三投影）解法二：（应用定比定理）●aa

b

bka

b

●k

●k

●aa

b

bk●●k

●例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。解法一：解法二：23三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）。⒈两直线平行空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。bcdHAd

aCcVaDbB

acdbc

dabOX

三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：⒈两直线平行24例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。AB与CD不平行。对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。a

b

c

d

cbadd

b

a

c

②b

d

c

a

①abcdc

a

b

d

例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要25⒉两直线相交若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。交点是两直线的共有点a

c

VXb

HDacdkCAk

Kd

bOBcabdb

a

c

d

kk

⒉两直线相交若空间两直线相交，则其同名投影必相交，26●cd

k

kd例1：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影a●bb

a

c

●cdkkd例1：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面27′例2：判断直线AB、CD的相对位置。c′′a′bdabcd相交吗？不相交！为什么？交点不符合空间一个点的投影特性。判断方法？⒈应用定比定理⒉利用侧面投影′例2：判断直线AB、CD的相对位置。c′′a′bdabcd28⒊两直线交叉为什么？两直线相交吗？不相交！交点不符合一个点的投影规律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′⒊两直线交叉为什么？两直线相交吗？不相交！交点不符29accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′302.4平面的投影一、平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线平面图形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

2.4平面的投影一、平面的表示法不在同一直线上的三个点直31二、平面的投影特性垂直倾斜投影特性★平面平行投影面——投影就把实形现★平面垂直投影面——投影积聚成直线★平面倾斜投影面——投影类似原平面实形性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性平行二、平面的投影特性垂直倾斜投影特性★平面平行投影面——32⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分33c

c

⑴投影面垂直面为什么？是什么位置的平面？abca

b

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面γβ投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。cc⑴投影面垂直面为什么？是什么位置的平面？abca34a

b

c

a

b

c

abc⑵投影面平行面积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。abcabcabc⑵投影面平行面积聚性积聚性实35a

b

c

a

c

b

abc⑶一般位置平面三个投影都类似。投影特性：abcacbabc⑶一般位置平面三个投影都类似36a

c

b

c

a

●abcb

例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？45°acbca●abcb例：正垂面ABC与H面的夹角37三、平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：⒈平面上取任意直线●●MNAB●M若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。三、平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：⒈平面上38abcb

c

a

d

d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一:解法二:有多少解？有无数解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

abcbcadd例1：已知平面由直线AB、AC所确39例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab唯一解！有多少解？例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到nmnm10c40⒉平面上取点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。baca

k

b

●①c

面上取点的方法：利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解首先面上取线k●d

d②●abca

b

k

c

k●⒉平面上取点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为41bckada

d

b

c

k

b例2：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一:解法二:cada

d

b

c

bckadadbckb例2：已知AC为正平线，补全42ded

e

1010m

●m●例3：在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。bcXb

c

aa

Odede1010m●m●例3：在△ABC内取一点M，并432.5直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题

直线与平面平行平面与平面平行包括⒈直线与平面平行

若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。2.5直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和44n

●●a

c

b

m

abcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？d

dn●●acbmabcmn例1：过M点作直线MN平行45正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。唯一解c

●●b

a

m

abcmnn

d

d正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。唯一解c46⒉两平面平行①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。c

f

b

d

e

a

abcdeff

h

abcdefha

b

c

d

e

⒉两平面平行①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上47acebb

a

d

dfc

f

e

khk

h

OXm

m由于ek不平行于ac,故两平面不平行。例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行,已知AB∥CD∥EF∥MHacebbaddfcfekhkhOXmm由48直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。●●直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。二、相交49例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。还可通过重影点判别可见性。作图用线上取点法⑴平面为特殊位置abcmnc

n

b

a

m

k

●k●1

(2

)2●1●●例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分501

(2

)km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直线为特殊位置空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

为不可见。k

●2

●1●作图用面上取点法●1(2)km(n)b●mncbaac⑵直线为51⒉两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：⑴求两平面的交线方法：①确定两平面的两个共有点。②确定一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。⑵判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。⒉两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面52可通过正面投影直观地进行判别。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。①求交线②判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能!如何判别？例：求两平面的交线

MN并判别可见性。⑴能否不用重影点判别？OX可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdb53abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)●例：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴①求交线②判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。m●n●空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。OXabcdefcfdbeam(n)●例：求两平54a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(2)′′空间及投影分析

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n

即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故m

c

可见。作图⑵2●1●m′●m●n●●n′●a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(255abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′空间及投影分析

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n

即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①求交线②判别可见性

点Ⅰ在MC上,

点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc可见。作图⑵m●n●n′●m′●abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′空间及投影分析56c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析

N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。

所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交cdefababcdef⑶投影分析N点57c

d

e

f

a

b

abcdef⑶互交m●k●k

●m

●投影分析

N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。

所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。cdefababcdef⑶互交m●k●k●m58abca

b

c

①直线为一般位置时②直线为特殊位置时bab

ka

k

●●

小结

★点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线与平面的投影特性。重点掌握：★点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。一、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。⒊判断方法abcabc①直线为一般位置时②直线为特殊位置时b59二、两直线的相对位置⒈平行同名投影互相平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。abcdc

a

b

d

①对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。cbdd

b

a

c

②a二、两直线的相对位置⒈平行同名投影互相平行。对于一60⒉相交⒊交叉（异面）同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。●●cabb

a

c

d

k

kd①c′′a′bd′abcd②⒉相交⒊交叉（异面）同名投影相交，交点是两直线的61三、点与平面的相对位置面上取点的方法baca

k

b

●①c

利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解②●abca

b

k

c

三、点与平面的相对位置面上取点的方法bacakb●①c62四、直线与平面的相对位置⒈直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。⒉直线与平面相交⑵投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。⑴一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性，采用直线上取点的方法求解。abcmnc

n

b

a

m

m(n)b●m

n

c

b

a

ac四、直线与平面的相对位置⒈直线与平面平行⒉直线与平面相交63五、两平面的相对位置⒈两平面平行⑴若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。⑵若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。c

f

b

d

e

a

abcdeff

h

abcdefha

b

c

d

e

五、两平面的相对位置⒈两平面平行⑴若一平面上的两相交⑵64⒉两平面相交⑴两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。⑵一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。abcdefc

f

d

b

e

a

a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⒉两平面相交⑴两特殊位置平面相交，分⑵一般位置平面与特65立体的投影

3.1体的三面投影—三视图

3.2基本体的三视图

3.3简单叠加体的三视图

本章小结结束放映立体的投影3.1体的三面投影—三视图3.2基本66VWH3.1体的三面投影——三视图一、体的投影体的投影，实质上是构成该体的所有表面的投影总和。VWH3.1体的三面投影——三视图一、体的投影体67用正投影法绘制的物体的投影图称为视图。二、三面投影与三视图1.视图的概念主视图——体的正面投影俯视图——体的水平投影左视图——体的侧面投影2.三视图之间的度量对应关系三等关系主视俯视长相等且对正主视左视高相等且平齐俯视左视宽相等且对应长高宽宽长对正宽相等高平齐用正投影法绘制的物体的投影图称为视图。二、三面投影与683.三视图之间的方位对应关系

主视图反映：上、下、左、右

俯视图反映：前、后、左、右

左视图反映：上、下、前、后上下左右后前上下前后左右上下左右前后3.三视图之间的方位对应关系主视图反映：上、下、左、右上693.2基本体的三视图常见的基本几何体平面基本体曲面基本体3.2基本体的三视图常见的基本几何体平面基本体曲面基本70在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。前后两侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。点的可见性规定：

若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。⑵棱柱的三视图⑶棱柱面上取点

a

a

a

(b

)

b⑴棱柱的组成

b

由两个底面和若干侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。1.棱柱一、平面基本体在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映71棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。()

s

s

2.棱锥⑵棱锥的三视图⑶在棱锥面上取点

k

k

k

b

abc

a

(c

)b

s

n

⑴棱锥的组成

n

由一个底面和若干侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点——锥顶。

同样采用平面上取点法。

nABCS

a

c

棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在俯视图上反72圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的轮廓素线的投影表示。二、回转体1.圆柱体⑵圆柱体的三视图

⑶轮廓线素线的投影分析与曲面的可见性的判断

⑷圆柱面上取点

a

a

a

圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。⑴圆柱体的组成由圆柱面和两个底面组成。圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成。A1AOO1直线AA1称为母线。利用投影的积聚性1(2)1′2′1″2″3″4″3′4′3(4)圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个73⑶

轮廓线素线的投影与

曲面的可见性的判断

s

●在图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等边三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。圆锥面是由直线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。

S称为锥顶，直线SA称为母线。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。O1O⑴圆锥体的组成

s

●2.圆锥体⑵圆锥体的三视图⑷

圆锥面上取点

k

★辅助直线法★辅助圆法

(n

)s●n

k

k

N●由圆锥面和底面组成。SA如何在圆锥面上作直线？过锥顶作一条素线。圆的半径？(n

)●b′b″bd′d⑶轮廓线素线的投影与s●在图示位置，俯视图为一74三个视图分别为三个和圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向轮廓线的投影。3.圆球圆母线以它的直径为轴旋转而成。⑵圆球的三视图⑶轮廓线的投影与曲面可见性的判断⑷圆球面上取点

k

辅助圆法

k

k

⑴圆球的形成圆的半径？三个视图分别为三3.圆球圆母线以它的直径为轴753.3简单叠加体的三视图一、简单叠加体的叠加形式及表面过渡关系⒈回转体与回转体叠加形体之间一般有轮廓线分界⒉回转体与平面体叠加3.3简单叠加体的三视图一、简单叠加体的叠加形式及表面过渡76⒊平面体与平面体叠加有实线有实线有虚线无线两体表面共面时，中间无