数学人教A版必修3预习导航2.2用样本估计总体（第2课时）

预习导航1．掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征．2．会求众数、中位数、平均数、标准差、方差，并能用来解决有关问题．1．众数(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．(2)特征：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势．名师点拔众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．【做一做1】数据组8，－1,0,4，eq\f(1,7)，4,3的众数是__________．答案：42．中位数(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．(2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．名师点拔中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．【做一做2】数据组－5,7,9,6，－1,0的中位数是__________．解析：将该组数据按从小到大排列为－5，－1，0,6,7,9，则中位数是eq\f(0＋6,2)＝3.答案：33．平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n).(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．【做一做3】10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，则其平均数是__________．解析：平均数是eq\f(1,10)(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7.答案：4．标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算s＝eq\r(\f(1,n)[(x1－\x\to(x))2＋(x2－\x\to(x))2＋…＋(xn－\x\to(x))2]).可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小．【做一做4】一组数据的单位是m，平均数是eq\x\to(x)，标准差为s，则()A．eq\x\to(x)与s的单位都是kmB．eq\x\to(x)与s的单位都是cmC．eq\x\to(x)与s的单位都是mD．eq\x\to(x)与s的单位不同解析：eq\x\to(x)与s的单位都与数据组中的数据单位相同，是m.答案：C5．方差(1)定义：标准差的平方，即s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．(2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．(3)取值范围：[0，＋∞)．知识拓展数据平均数方差标准差x1，x2，x3，…，xneq\x\to(x)s2sx1＋b，x2＋b，…，xn＋b(b为常数)eq\x\to(x)＋bs2sax1，ax2，…，axn(a为常数)aeq\x\to(x)a2s2|a|sax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b为常数)aeq\x\to(x)＋ba2s2|a|s【做一做5】下列刻画一组数据离散程度的是()A．平均数B．方差C．中位数D．众数解析：方差刻画一组数据离散程度的大小．答案：B6．用样本估计总体现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常用样本的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计．这与上一节用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．归纳总结用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差．样本容量越大，估计就越精确．【做一做6－1】下列判断正确的是()A．样本平均数一定小于总体平均数B．样本平均数一定大于总体平均数C．样本平均数一定等于总体平均数D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数答案：D【做一做6－2】电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则该日生产电池的平均寿命估计为()A．27