江苏省江阴市南菁高级中学2020-2021学年高一下学期普通班第一次阶段数学试卷

20202021学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学普通班高一（下）第一次阶段数学试卷一、选择题（每小题5分）.1．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1 B．± C．﹣ D．2．设是任意向量，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．3．如图，已知点C为△OAB边AB上一点，且AC＝2CB，若存在实数m，n，使得，则m﹣n的值为（）A． B．0 C． D．4．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为370N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，＝1.732）A．64 B．70 C．76 D．605．已知向量，满足||＝2，＝（1，1），＝﹣2，则cos＜，＞＝（）A． B． C． D．6．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，现有周长为5+的△ABC满足sinC：sinA：sinB＝2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．37．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且＝，则的最大值为（）A．13 B． C． D．8．在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝2，∠A＝135°，E，F分别是AB，AD上的点，且，，（其中λ，μ∈（0，1）），且4λ+μ＝1．若线段EF的中点为M，则当||取最小值时，的值为（）A．36 B．37 C．38 D．39二、选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．本题共4小题，每小题5分，共20分）9．下列说法正确的是（）A．对于任意两个向量，若|，且与同向，则 B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为 C．设为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分不必要条件 D．若，则与的夹角是钝角10．对于△ABC，有如下命题，其中错误的是（）A．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形 B．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为 C．P在△ABC所在平面内，若，则P是△ABC的重心 D．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形11．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知，a＝7，则以下判断正确的是（）A．△ABC的外接圆面积是 B．bcosC+ccosB＝7 C．b+c可能等于16 D．作A关于BC的对称点A'，则AA'的最大值是12．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcosC＝3b2，则下列选项正确的是（）A．2（a2+b2）＝c2 B．tanA＝3tanB C． D．tanC存在最大值三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数5+2i与﹣2+4i分别表示向量与，则表示向量的复数的模为．14．已知点A、B、C满足，，，则的值是．15．已知A，B，C，D是平面内四点，且，，则的最小值为．16．已知向量、满足||＝1，||＝2，则|+|+|﹣|的最小值是，最大值是．四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题共6小题，共70分）17．已知复数（i是虚数单位）．（1）复数z是纯虚数，求实数m的值；（2）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的取值范围．18．在△ABC中，B＝45°，，．（1）求BC边的长；（2）求AB边上的中线CD的长．19．已知，，其中0＜α＜β＜π．（1）求向量与所成的夹角；（2）若与的模相等，求的值（k为非零的常数）．20．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin＝bsinA．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．21．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影、如图1，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB＝50mm（眼睛到水平面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．（1）求出山高BE（结果保留整数）；（2）如图2，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离MD＝xm，且记在M处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β．试问当x多大时，观测基站的视角∠AMB最大？参考数据：sin8°≈0.14，sin37°≈0.6，sin45°≈0.7．sin127°≈0.8．22．在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OM⊥BD．（1）求的值；（2）若N为线段AC上任意一点，求的最小值．参考答案一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1 B．± C．﹣ D．解：向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则，解得k＝．故选：D．2．设是任意向量，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．解：因为向量的数量积是数量，所以A不正确；是方向上的向量，是方向上的向量，显然等式不恒成立，所以B不正确．因为，所以C不正确，，向量的数量积满足乘法的运算法则，所以D正确．故选：D．3．如图，已知点C为△OAB边AB上一点，且AC＝2CB，若存在实数m，n，使得，则m﹣n的值为（）A． B．0 C． D．解：因为AC＝2CB，易得，所以m﹣n＝．故选：A．4．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为370N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，＝1.732）A．64 B．70 C．76 D．60解：由题意知，＝＝370N，夹角θ＝60°，所以++＝，即＝﹣（+）；所以＝＝3702+2×370×370×cos60°+3702＝3×3702；||＝370（N），则该学生的体重（单位：kg）约为37＝37×≈64（kg）．故选：A．5．已知向量，满足||＝2，＝（1，1），＝﹣2，则cos＜，＞＝（）A． B． C． D．解：cos＜，＞＝＝＝＝．故选：C．6．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，现有周长为5+的△ABC满足sinC：sinA：sinB＝2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．3解：周长为5+的△ABC满足sinC：sinA：sinB＝2：3：，利用正弦定理整理得：c：a：b＝2：3：，令，所以c＝2k，a＝3k，b＝，利用a+b+c＝2k+3k+k＝5+，解得k＝1，故c＝2，b＝3，b＝．故＝．故选：A．7．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且＝，则的最大值为（）A．13 B． C． D．解：以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y）则B（t，0），C（0，）（t＞0），，，所以，即P（1，2），故，，所以＝＝，当且仅当即时等号成立．故选：B．8．在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝2，∠A＝135°，E，F分别是AB，AD上的点，且，，（其中λ，μ∈（0，1）），且4λ+μ＝1．若线段EF的中点为M，则当||取最小值时，的值为（）A．36 B．37 C．38 D．39解：根据题意，建立如图直角坐标系，AB＝，AD＝2，∠A＝135°，所以B（﹣1.1），D（2，0），C（1，1），由＝λ（﹣1，1）＝（﹣λ，λ），得E（﹣λ，λ），由＝μ（2，0）＝（2μ，0），得F（2μ，0），所以M（，），CM2＝＝＝，当时，取到最小值，此时，故的最小值为37，故选：B．二、选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．本题共4小题，每小题5分，共20分）9．下列说法正确的是（）A．对于任意两个向量，若|，且与同向，则 B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为 C．设为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分不必要条件 D．若，则与的夹角是钝角解：对于任意两个向量，若|，且与同向，但是不能说，因为向量不能比较大小，所以A不正确；已知，为单位向量，若，则在上的投影为：＝﹣3，投影向量为，所以B正确；存在负数λ，使得，则与反向共线，夹角为180°，此时成立，当成立时，则与夹角满足90°＜θ≤180°，则与不一定反向共线，即“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件成立，故C正确，若，则与的夹角是钝角或平角，所以D不正确；故选：BC．10．对于△ABC，有如下命题，其中错误的是（）A．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形 B．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为 C．P在△ABC所在平面内，若，则P是△ABC的重心 D．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形解：对于A：sin2A+sin2B+cos2C＜1，整理得：sin2A+sin2B＜1﹣cos2C＝sin2C，即sin2A+sin2B﹣sin2C＜0，根据正弦定理：a2+b2﹣c2＜0，故，则△ABC为钝角三角形．故A错误；对于B：若AB＝，AC＝1，B＝30°，设BC＝x，则利用余弦定理：，解得x＝1或2，即BC＝1或2，当BC＝1时，，当BC＝2时，，故B错误；对于C：P在△ABC所在平面内，若，则P是△ABC的重心，故C正确；对于D：若sin2A＝sin2B，所以：2A＝2B，整理得：A＝B，或2A＝π﹣2B，整理得A+B＝，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D错误．故选：ABD．11．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知，a＝7，则以下判断正确的是（）A．△ABC的外接圆面积是 B．bcosC+ccosB＝7 C．b+c可能等于16 D．作A关于BC的对称点A'，则AA'的最大值是解：对于A，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，a＝7，由＝2R，可得R＝，可得△ABC的外接圆的面积是πR2＝，故正确；对于B，bcosC+ccosB＝b•+c•＝a＝7，故正确；对于C，b+c＝2R（sinB+sinC）＝[sin（﹣α）+sin（+α）]＝•2sincosα＝14cosα，（﹣＜α＜），可得b+c∈（7，14]，b+c不可能等于16，故错误；对于D，作A关于BC的对称点A'，设A到BC的距离为h，可得ah＝bcsin，即有h＝bc，由a2＝b2+c2﹣2bccos＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即bc≤49，当且仅当b＝c取得等号，可得h≤，则|AA'|的最大值是7．故错误．故选：AB．12．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcosC＝3b2，则下列选项正确的是（）A．2（a2+b2）＝c2 B．tanA＝3tanB C． D．tanC存在最大值解：∵a2+2abcosC＝3b2，∴由余弦定理可得：2a2＝2b2+c2，可得2（a2﹣b2）＝c2，故A错误，∴2sin2A＝2sin2B+sin2C，∴1﹣cos2A＝1﹣cos2B+sin2C，∴﹣2sin（B+A）sin（B﹣A）＝sin2C，∴2sin（A﹣B）＝sinC＝sin（A+B），∴2sinAcosB﹣2cosAsinB＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB＝3cosAsinB，锐角△ABC中．可得：tanA＝3tanB，故B正确，则必有tanB＞．否则C为钝角．﹣tanC＝＝．tanAtanBtanC＝＝，tanB＞，故C正确，令tanA＝x，则tanB＝3x，则tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣＝，令f（x）＝，x∈（，+∞），f′（x）＝＝＝，可知f′（x）在x∈（，+∞）恒小于0，所以f（x）在x∈（，+∞）单调递减，∴f（x）没有最大值，即tanC不存在最大值，故D错误．故选：BC．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数5+2i与﹣2+4i分别表示向量与，则表示向量的复数的模为．解：由题意得＝5+2i，＝﹣2+4i，则＝＝5+2i+2﹣4i＝7﹣2i，故||＝．故答案为：．14．已知点A、B、C满足，，，则的值是﹣25．解：∵∴∴∴＝＝故答案为﹣2515．已知A，B，C，D是平面内四点，且，，则的最小值为．解：设，则＝（x+1，y+2），，所以•＝（x+1）（x﹣2）+（y+2）2＝，故当时，•取得最小值．故答案为：16．已知向量、满足||＝1，||＝2，则|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是．解：记∠AOB＝α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：|+|＝，|﹣|＝，令x＝，y＝，则x2+y2＝10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z＝x+y，则y＝﹣x+z，则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为zmin＝1+3＝3+1＝4，当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以zmax＝×＝．综上所述，|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题共6小题，共70分）17．已知复数（i是虚数单位）．（1）复数z是纯虚数，求实数m的值；（2）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的取值范围．解：（1）复数z是纯虚数，则且m2﹣2m﹣15≠0⇒m＝3，（2）z对应复平面上的点在第四象限，则且m2﹣2m﹣15＜0⇒3＜m＜5，所以m的取值范围为（3，5）．18．在△ABC中，B＝45°，，．（1）求BC边的长；（2）求AB边上的中线CD的长．解：（1）由，得，，由正弦定理，得，（2）由正弦定理，得，，由余弦定理，得．19．已知，，其中0＜α＜β＜π．（1）求向量与所成的夹角；（2）若与的模相等，求的值（k为非零的常数）．解：（1）由已知得：，则：，因此：，因此，向量与所成的夹角为90°；（2），，∵，∴，∴（kcosα+cosβ）2+（ksinα+sinβ）2＝（cosα﹣kcosβ）2+（sinα﹣ksinβ）2，∴k2cos2α+cos2β+2kcosαcosβ+k2sin2α+sin2β+2ksinαsinβ＝cos2α+k2cos2β﹣2kcosαcosβ+sin2α+k2sin2β﹣2ksinαsinβ，整理得，2kcos（α﹣β）＝﹣2kcos（α﹣β），且k≠0，∴cos（α﹣β）＝0，∵0＜α＜β＜π，∴﹣π＜α﹣β＜0，∴，∴．20．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin＝bsinA．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：（1）asin＝bsinA，即为asin＝acos＝bsinA，可得sinAcos＝sinBsinA＝2sincossinA，∵sinA＞0，∴cos＝2sincos，若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin＝，由0＜B＜π，可得B＝；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b＝＝，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，且1+a2＞a2﹣a+1，解得＜a＜2，可得△ABC面积S＝a•sin＝a∈（，）．21．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影、如图1，某同学在一条水平